從相似到相通，感悟神奇
——記“圓錐的體積”教學(xué)的重構(gòu)

□ 包春進(jìn)

多次聽過“圓錐的體積”一課，教師一般是先出示或讓學(xué)生準(zhǔn)備一組等底等高的圓柱和圓錐學(xué)具，進(jìn)而讓學(xué)生估計圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的幾分之幾，從而進(jìn)行驗證。教學(xué)的重點往往放在“驗證”環(huán)節(jié)上，這樣的安排感覺課堂上學(xué)生參與研究的狀態(tài)是被動的，例如，是怎么聯(lián)想到等底等高的圓柱的？學(xué)生研究圓錐體積的思維起點在哪里？學(xué)生利用了哪些以前的活動經(jīng)驗？……教者又該如何回答這些問題呢？基于這些思考，筆者對這一課進(jìn)行了教學(xué)重構(gòu)，教學(xué)片段如下。

一、從相似出發(fā)，助學(xué)生發(fā)現(xiàn)研究的路徑

【片段1】

師：同學(xué)們，你們發(fā)現(xiàn)了沒有，圓錐是一個很特別的立體圖形，它的外形是一頭細(xì)一頭粗。平面圖形中，有類似的圖形嗎？

生：三角形。

師：你有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，真棒！咦，當(dāng)時，我們是怎樣發(fā)現(xiàn)三角形的面積公式的？

生：是將兩個一樣的三角形拼成一個和它等底等高的平行四邊形。

師：確實是的（出示圖1），三角形的面積是這個和它等底等高的平行四邊形面積的幾分之幾？

圖1

師：看來，三角形的面積與和它等底等高的平行四邊形的面積之間有著很重要的關(guān)系。依照這樣的思路，你覺得圓錐的體積可能和什么有關(guān)系？

生：噢！我知道了，是圓柱。

三角形和圓錐在外形上有著類似的特征（即一頭細(xì)一頭粗），通過讓學(xué)生主動去發(fā)現(xiàn)，從而摸索到研究圓錐體積的路徑。這樣的設(shè)計激發(fā)了學(xué)生的興趣，十分切合學(xué)生的探究起點，學(xué)生的思路一下子被打開了，研究路徑從模糊走向清晰。圓錐對于學(xué)生來說并不是一個孤立的研究對象，而是一個和圓柱有著隱約關(guān)系的圖形，于是等底等高的圓柱也就不請自來了。

二、尋相通之處，讓學(xué)生帶著經(jīng)驗去探索

【片段2】

師：既然圓錐和圓柱可能有關(guān)系，那是不是隨便找一個圓柱來研究就行了呢？你覺得用怎樣的圓柱來幫助我們研究圓錐的體積比較好？

生：“等底等高“的圓柱。

師：厲害，給你點贊！

師（出示圖2）：這個圓錐和這個圓柱的體積相等嗎？

圖2

生：很明顯不相等。

師：你怎么知道的？

生：圓錐是一頭細(xì)一頭粗的，而圓柱的兩頭是一樣粗，體積肯定不等。這就跟三角形的面積與和它等底等高的平行四邊形面積不相等的道理是一樣的。

師：說得真好，請同學(xué)們估計一下，這個圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？

師：估計的不一定是正確的，還要干什么？

生：驗證。

師：怎樣進(jìn)行驗證呢？

生：可以做個小實驗，將圓錐里倒?jié)M水向圓柱里裝，看幾次能裝滿？

師：一定要用水嗎？沙子行不行？

生：水只是個替代品，沙子也可以。

師：誰來操作一下，看看究竟幾次能夠倒?jié)M？

在學(xué)生重拾了研究三角形和平行四邊形的活動經(jīng)驗后，教師拋出一些疑問：你覺得用怎樣的圓柱來幫助我們研究圓錐的體積比較好？這個圓錐和這個圓柱的體積相等嗎？估計一下這個圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？這些問題也就成了學(xué)生的“剛需”。因為有了活動經(jīng)驗的支撐，學(xué)生的探究變得更加從容和有底氣。

三、感悟神奇，讓學(xué)生收獲成功喜悅

【片段3】

師：同學(xué)們，幾次能夠倒?jié)M？

生：3次。

師：現(xiàn)在，你知道圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的幾分之幾嗎？

師：在平面圖形中，三角形的面積是和它等底等高平行四邊形的在立體圖形里，圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的

生：我發(fā)現(xiàn)了一個神奇的現(xiàn)象：二維空間里的三角形和平行四邊形的面積關(guān)系是而到了三維空間里，圓錐的體積和圓柱體積的關(guān)系就變成了正好對應(yīng)，好神奇。

（其他同學(xué)情不自禁地鼓起掌來）

師：接下來請大家思考一下，圓錐的體積可以怎樣求？

……

因為相似，所以學(xué)生便想到了等底等高的圓柱體，使得圓錐體積的研究不再是孤立的，而是有了一個好“幫手”，從而順利地找到了研究的路徑；因為相通，所以學(xué)生的研究不再是“赤手空拳”，而是懷揣指導(dǎo)研究的“錦囊”；因為神奇，所以學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的魅力。