挖掘?qū)W習(xí)深度促進(jìn)思維躍遷
——拓展課《平行四邊形的等積變形》教學(xué)設(shè)計(jì)

文 何佳丹

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版五年級上冊第86 頁。

【教前思考】

下圖為人教版教材平行四邊形面積新授課后的一道習(xí)題。兩個平行四邊形同底，根據(jù)平行線間的距離處處相等，它們的高也相等，所以面積相同。這個問題通過觀察，不難解決，但其實(shí)像這樣等底等高面積相等的平行四邊形還有很多，明白等積變形背后的道理，這個性質(zhì)還可以推廣到后續(xù)三角形、梯形甚至更多的平面圖形面積中，實(shí)現(xiàn)從題教到類教。 因此從此題入手，整體考慮不同學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，深度整合相關(guān)習(xí)題，嘗試改一題為一課，從典型的長方形入手，逐漸將學(xué)生頭腦中關(guān)于平面圖形的認(rèn)知有序聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生操作實(shí)證，多向思考，把握平行四邊形等積變形本質(zhì)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷深度操作，畫面積相同的平行四邊形的過程，在獨(dú)立思考中培養(yǎng)分析推理能力，在動手操作中感悟等積變形思想，發(fā)展空間想象力。

2.推理驗(yàn)證等底等高的平行四邊形面積相等，以及利用積的變化規(guī)律解決平行四邊形面積的相關(guān)問題。

3.用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，感悟數(shù)學(xué)知識前后聯(lián)系，進(jìn)一步滲透“轉(zhuǎn)化思想”，發(fā)展遷移應(yīng)變能力。

【教學(xué)準(zhǔn)備】

教師準(zhǔn)備：課件、幾何畫板動態(tài)演示圖。

學(xué)習(xí)材料：格子圖、彩筆、剪刀、三角尺。

【教學(xué)過程】

一、直觀操作，探索新知

師：前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積，今天我們繼續(xù)研究平行四邊形面積里的奧秘。

1.自由畫: 激活已有經(jīng)驗(yàn)。

活動一：“畫”面積相等的平行四邊形，激活知識經(jīng)驗(yàn)。

要求：自己想辦法，畫出和長方形面積相等的平行四邊形，看看你能畫幾個。（學(xué)生畫三分鐘）

2.交流反饋：展示經(jīng)驗(yàn)思考。

師：你們畫的平行四邊形和長方形面積相等嗎？

生：長方形是特殊的平行四邊形，還可以畫面積也是12 的其他長方形。

生：長方形的面積是：2×6=12，就去想想（ ）×（ ）=12。

生：畫和長方形等底等高形狀不一樣的平行四邊形，底邊都是2，高都是6，2×6=12，所以面積相等。

生：平行四邊形和長方形底和高都相等，根據(jù)面積公式，可以確定乘積也相等，所以面積相等。

師：大家想到的辦法可真多，通過具體數(shù)據(jù)的計(jì)算，根據(jù)面積公式底乘高，驗(yàn)證了等底等高的平行四邊形面積相等。

二、推理分析，實(shí)證明理

師：大家想到的辦法可真多，通過具體數(shù)據(jù)的計(jì)算，根據(jù)面積公式底乘高，驗(yàn)證了等底等高的平行四邊形面積相等。

1.驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)：等底等高，面積相等的平行四邊形有無數(shù)個。

（1）圖形實(shí)證：等底等高，面積相等。

活動二：剪拼證明：為什么等底等高的平行四邊形面積相等？

師：這兩個圖形形狀很不一樣，還有辦法可以驗(yàn)證它們的面積相等嗎？拿出信封里的材料，自己動手試試看。

操作：學(xué)生嘗試對右邊的平行四邊形畫、剪、拼。

圖10 圖形實(shí)證面積相等的示意圖

生：我剪成了兩塊，①號與其中部分重合，剩下的②號和長方形剩下的一樣大。

生：你的看不出來面積相等。我再剪一次，分成三部分重新拼，剛好和長方形完全重合。

生：我剪成4 個完全相同的三角形，重新拼后和長方形完全重合，說明面積相等。

師：原來將平行四邊形多次割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成左邊的長方形，就能一眼看出等底等高的平行四邊形面積相等。

師：現(xiàn)在把將這個圖形平移過去，你還有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：除了公用部分，剩下兩塊圖形的面積也相等。

（2）再次畫圖：發(fā)現(xiàn)等底等高的平行四邊形有無數(shù)個。

活動三：快速畫：篩選最佳策略。

要求：來個小小的比賽（2 分鐘計(jì)時）。看誰的速度最快，畫出盡可能多的和長方形面積相等的平行四邊形。

師：用手勢告訴我你們畫了幾個？

師：你們現(xiàn)在怎么一下子畫出了那么多個？

生：共用已有平行四邊形的一條底邊，可以節(jié)約畫一條邊的時間。根據(jù)平行線之間的距離處處相等，高也就相等了。將上面的底邊不斷向右移動就可以了。

生：上面的邊也可以往左邊方向平移。

師：如果格子圖足夠大，時間也足夠多，你能畫多少呢？

生：無數(shù)個。

小結(jié)：等底等高的平行四邊形不僅面積相等，且有無數(shù)個。

2.雙向辨析：深刻把握等積變形本質(zhì)。

（1）逆向反思：面積相等的平行四邊形，一定是等底等高嗎？

生：不一定，比如底3 高4 的平行四邊形。

小結(jié)：面積相等的平行四邊形，不一定等底等高，也有不等底不等高的情況。

（2）再次思考：不等底、不等高的平行四邊形一定面積相等嗎？如何保證？

生：只要底和高的乘積都是12 就可以。

生：平行四邊形面積=底×高，底和高就是兩個因數(shù)，利用積不變規(guī)律，一個因數(shù)乘幾另一個因數(shù)就除以幾（0 除外），也可以保證。

師：真棒，利用積不變規(guī)律，就能保證面積相等。

小結(jié)：不等底不等高的平行四邊形，底和高乘積相等時，面積相等。

（3）想象整理，在平行四邊形等積變形中滲透極限思想。

師：現(xiàn)在我們找到了5 個不等底、不等高但面積相等的平行四邊形。還有嗎？

生：2.4×5、24×0.5。

師：如果底是0.6，高就是？底是0.06，高是？底是0.006，高是？

小結(jié)：不等底、不等高但面積相等的平行四邊形有無數(shù)類。

師：如果用一生的時間去畫面積是12 的平行四邊形，你畫的完嗎？

生：畫不完。

小結(jié)：等底等高，面積相等的這一類平行四邊形有無數(shù)個。不等底、不等高面積相等的平行四邊形有無數(shù)類。

三、變式練習(xí)，拓展應(yīng)用

練習(xí)一：正方形的周長是32cm，你能求出平行四邊形的面積嗎？

生：平行四邊形的底和高就是正方形的邊長。

師：關(guān)于這個問題有不同的想法嗎？

生：這兩個圖形等底等高，面積相等，求平行四邊形的面積就是求正方形的面積。

練習(xí)二：如圖，長方形框架面積是400cm2，把它拉成一個平行四邊形，長方形的高度是平行四邊形的2 倍。拉動后的平行四邊形的面積是多少？

生：先算出平行四邊形的高，再求面積（400÷25）÷2×25=200（cm2）。

生：等底，高是2 倍，對應(yīng)面積也是平行四邊形面積的2 倍：400÷2=200（cm2）。

師：如果繼續(xù)拉動，長方形的高度是平行四邊形的4 倍，對應(yīng)平行四邊形的面積是多少？

生：長方形面積是平行四邊形面積的4 倍。

師：n 倍呢？

生：長方形面積是平行四邊形面積的n 倍。

小結(jié)：等底，高的倍數(shù)關(guān)系和面積的倍數(shù)關(guān)系一樣。 高是現(xiàn)在的幾倍，面積也是現(xiàn)在的幾倍。

對比反思：對比一下，這個問題，和剛才研究的內(nèi)容，一樣嗎？

生：之前研究的是等底等高，面積相等，等積變形?，F(xiàn)在這個問題是等底，高不同，面積也不同，相同的是周長，等周長變形。

師：是的，解決問題之前，我們要先觀察，思考判斷屬于哪種情況。

四、回顧反思，提煉經(jīng)驗(yàn)

師：這節(jié)課你有哪些收獲？

生：我掌握了等積變形的方法：可以利用等底等高畫出無數(shù)個面積相等的平行四邊形。

師：這是個不錯的方法。

生：也可以根據(jù)積不變規(guī)律。我還知道有的信息正向思考結(jié)論是對的，反過來就不一定了。

師：已知信息推理出的結(jié)論，有時候并不能作為條件反推。學(xué)習(xí)完還有新的問題嗎？

生：其他圖形中也有可以用這些方法進(jìn)行等積變形的嗎？

師：你提出了一個很好的問題，等我們學(xué)習(xí)了更多的平面圖形的面積后可以繼續(xù)探究。