幾何直觀在代數(shù)領(lǐng)域的構(gòu)造與運用策略

□ 胡良梅

兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要矛盾是抽象和形象的矛盾，幾何直觀是化解這一矛盾的有效措施。何為“幾何直觀”？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！睅缀沃庇^，本質(zhì)是借助直觀圖形獲得感性認識，描述、分析、理解問題，幾何直觀是種意識，是種思維方式，也是教學(xué)手段，它的主旨是加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，它存在于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各大領(lǐng)域教學(xué)中。

在代數(shù)領(lǐng)域，幾何直觀怎樣才能發(fā)揮更廣的價值？教師可積極尋找數(shù)學(xué)對象的直觀模型，構(gòu)造易于理解和運用的直觀形式，努力發(fā)揮幾何直觀的價值。現(xiàn)舉例分析如下。

一、畫出數(shù)的特征，揭開特征的面紗

小學(xué)階段，認識自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)，都是通過大量使用幾何直觀，如小棒圖、數(shù)珠圖、算盤圖、立方體模型圖、面積模型圖、特殊米尺圖等來完成的。除去教材編寫的這些幾何直觀，教學(xué)中還可以怎樣構(gòu)造直觀呢？

（一）逆向拓展，構(gòu)造直觀

教材編排認數(shù)的邏輯順序一般是：直觀圖—數(shù)珠—數(shù)的符號，學(xué)生經(jīng)歷的是從具體數(shù)量逐步抽象，并用數(shù)學(xué)語言進行表達交流的過程。其實，還可以反其道而行之，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從抽象到具體的構(gòu)造直觀的過程。如用不同圖示畫出一個數(shù)：10表示什么意思？你能畫圖表示嗎？學(xué)生可以畫出10朵花、10根小棒、10個圓圈等具體情境圖，也可畫出1捆小棒、1個直條長方形等比較抽象的直觀圖。接著，教師出示：8個大大的圓圈圖和2個非常小的圓圈圖，問：這幅圖能用10表示嗎？強烈的大小反差，沖擊著學(xué)生的思維，有學(xué)生認為不能。經(jīng)過辯論，最后明確大小雖不同，但不影響數(shù)量的表示，這就加深了學(xué)生對數(shù)字10抽象意義的理解。之后，教師可再追問：與前面學(xué)習(xí)的0～9相比，10有什么不同？你能畫圖說明嗎？學(xué)生想到用計數(shù)器圖表示10占有兩個數(shù)位，并且發(fā)現(xiàn)10已經(jīng)不再用新的數(shù)字計數(shù)，是用已學(xué)過的1和0計數(shù)……在這個創(chuàng)造圖示并區(qū)分、拓展的思維經(jīng)歷中，有抽象素養(yǎng)的自然孕伏，還有偉大的十位進制原理的體驗，學(xué)生歷經(jīng)了數(shù)的概念的理性認識過程，思維能力切實得到了提升。

（二）深入組成，構(gòu)造直觀

知道數(shù)的特征是什么，還要理解數(shù)的特征為什么，才能揭開特征的面紗，促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。如2，5倍數(shù)的特征，為什么只要看個位？3倍數(shù)的特征，為什么要看各個數(shù)位上數(shù)字相加的和？用直觀圖示畫出數(shù)的組成，可促進學(xué)生知其然并知其所以然。

看圖可直觀理解：多位數(shù)是整百整十和個位數(shù)合成的，前面的整百整十確定是2，5的倍數(shù)，所以關(guān)鍵看后面的個位。并且，個位數(shù)除以2或5得到的余數(shù)，與多位數(shù)除以2或5的余數(shù)具有一致性。3的倍數(shù)特征也同樣可以這樣構(gòu)造直觀，促進理解：245÷3=（200+40+5）÷3，一個百除以3會余1，2個百除以3就余2……幾個百除以3就余幾；一個十除以3會余1，2個十除以3就余2……幾個十除以3就余幾。（圖略）

二、畫出運算方法，理解算法的意義

整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運算，也在一直使用幾何直觀。如整數(shù)的加減乘除，離不開小棒圖、點子圖的拆分組合，分?jǐn)?shù)乘法的計算離不開直觀圖的探索理解等。那么，在數(shù)的運算學(xué)習(xí)中，又該如何引導(dǎo)學(xué)生去主動構(gòu)造幾何直觀呢？

（一）材料促思，構(gòu)造直觀

除法豎式的理解，一直是學(xué)習(xí)的難點。如教學(xué)92÷30時，部分學(xué)生會認為商是30，如果簡單否定，或是單純依靠正面示范和反復(fù)練習(xí)，效果不盡理想。這時，可引導(dǎo)學(xué)生主動構(gòu)造直觀：給學(xué)生提供方格紙，讓學(xué)生借助直觀的格子圖圈一圈、畫一畫，再通過交流和追問，學(xué)生就會結(jié)合直觀模型“自我否定”，完善認知建構(gòu)，形象理解商和余數(shù)的意義。一些特殊的、復(fù)雜的、抽象的運算，也可引導(dǎo)學(xué)生主動構(gòu)造直觀探索簡便算法。如：，教師提供長方形紙片、圓形紙片或者數(shù)軸圖，讓學(xué)生折一折、畫一畫、標(biāo)一標(biāo)，借助操作與圖示，大多數(shù)同學(xué)都能領(lǐng)悟這道計算題可以化繁為簡，轉(zhuǎn)化為顯然，這是幾何直觀的神奇價值。

（二）模型引路，構(gòu)造直觀

分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，蘇教版教材分三步進行：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)—整數(shù)除以分?jǐn)?shù)—分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)。從平均分升果汁—平均分4個橙子—包含分4米長的彩帶—包含分升果汁，素材選取的都是同類量的分一分，比較單一，學(xué)生因此形成的理解也比較膚淺。為了豐富分?jǐn)?shù)除法的數(shù)量關(guān)系，加深學(xué)生對算理的理解，可增設(shè)素材，構(gòu)造不同的直觀模型。如一輛汽車行千米用汽油升，1升汽油可供這輛汽車行駛多少千米？畫出的計算過程。

三、畫出數(shù)量關(guān)系，明晰解題思路

很多實際問題中的信息和數(shù)量關(guān)系都是可以畫出來的。從低段教學(xué)開始，可以先試著畫直觀形象的示意圖、直條圖、線段圖，到了高段，還可以適時引進矩形圖、韋恩圖等。

（一）于題意混淆處構(gòu)造示意圖

如乘加對比實際問題，部分學(xué)生往往混淆不清，類似下圖這樣的題目就可以引導(dǎo)學(xué)生畫示意圖幫助理解。也可以改為：姐姐送給弟弟9枚郵票后，兩人郵票的枚數(shù)同樣多。原來姐姐比弟弟多多少枚？學(xué)生往往易理解為姐姐比弟弟多9枚?？上戎笇?dǎo)學(xué)生畫實物示意圖幫助理解，再改動小數(shù)字為大數(shù)字，體驗示意圖的局限性，逐步抽象出直條圖、線段圖。

（二）于題意不明處構(gòu)造矩形圖

蘇教版四年級下冊“解決問題的策略”，重點編排了線段圖和矩形圖。如：擴建校園時，一個正方形操場的一組對邊各增加18米，操場的面積就增加了900平方米。原來操場的面積是多少平方米？其中“一組對邊各增加18米”學(xué)生不明白是什么意思，可借助直觀的矩形圖幫助分析，理解其中的數(shù)量關(guān)系。其實，矩形圖除了用于面積，還可遷移到更廣的范圍。如同類數(shù)量關(guān)系的直觀揭示、方法多元的思路尋求等。例如：美術(shù)小組計劃買20盒彩筆，每盒15元。實際每盒漲價3元，且多買5盒，實際多花多少元？圖中陰影部分就是多花的錢，借助矩形圖的直觀構(gòu)造，可以探索不同的解題思路。

（三）于數(shù)量隱蔽處構(gòu)造韋恩圖

如大家都熟悉的包含問題：一個班有35人，老師問：做完語文作業(yè)的請舉手。有18人舉手。又問：做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有幾人？請舉手。有21人舉手。最后問：語文和數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完的同學(xué)有嗎？沒有人舉手。請問，語文和數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有幾人？題中的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，部分學(xué)生會覺得很難理解。如果能夠幫助學(xué)生構(gòu)造幾何直觀，就會非常清楚。

先畫出一個班的35人，從左邊數(shù)18人是完成語文作業(yè)的，圈一圈；從右往左數(shù)21人是完成數(shù)學(xué)作業(yè)的，再圈一圈。借助直觀圖很容易看出重疊的4人就是既完成語文作業(yè)又完成數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)。進一步，還可以逐步抽象出韋恩圖。

（四）于關(guān)系復(fù)雜處構(gòu)造線段圖

小學(xué)高段的實際問題往往數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，為了化繁為簡，化隱為明，教師可指導(dǎo)學(xué)生積極構(gòu)建線段圖。如，學(xué)校要組織兩組隊員去牡丹園春游。牡丹園距離學(xué)校有15千米，比較遠，并且學(xué)校只有一輛校車，每次最多只能容納一組的學(xué)生。假如車速每小時48千米，步行速度保持每小時4千米，請問，兩個小組怎樣輪流乘車，才能保證最短時間內(nèi)同時到達？讀完題目，似乎無從思考，不妨構(gòu)造線段圖幫助分析。思考：校車從A點出發(fā)，先把第一小組送到C點，立刻回頭剛好到B點接送第二小組，最后兩個小組一起到達D點牡丹園。為了保證公平，兩個小組步行路程相同，即AB=CD。因為車速是步行速度的12倍，把AB路程看作1份，相同的時間內(nèi)，校車行駛的路程就是12份，即BC之間的路程就是（12-1）÷2=5.5份。由此得出每個小組步行的路程是15÷（1+5.5+1）=2千米。

借助直觀的線段圖幫助分析，數(shù)量關(guān)系明晰可見，問題迎刃而解。其實，許多復(fù)雜的行程問題都可構(gòu)建線段圖簡明數(shù)量關(guān)系。再如比較經(jīng)典的年齡問題：徒弟問師傅今年多少歲？師傅說：“當(dāng)我像你這么大時，你才5歲；當(dāng)你像我這么大時，我已經(jīng)71歲了?！睅煾到衲甓嗌贇q？此題表達雖簡單，只告訴了兩個量，但內(nèi)涵豐富，理解起來頗有難度。不過，依據(jù)題意，抓住年齡差不變，畫出線段圖，就可以轉(zhuǎn)化成容易解答的差倍問題了。如右圖，可以直觀看出，師徒之間的1個年齡差是（71-5）÷3=22（歲），師傅今年的年齡是5+22×2=49（歲）。

此外，在探索規(guī)律、常見的量、式與方程等的學(xué)習(xí)中也可積極創(chuàng)建幾何直觀。

如0.1小時和0.1元的理解，學(xué)生往往會認為0.1小時就是10分鐘。引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸畫出直觀圖，就能幫助學(xué)生形象理解鐘表上的小數(shù)：因為鐘表用的是60進制，60÷10=6分鐘，0.1小時就是6分鐘；而“元、角、分”用的是10進制，0.1元=1角，所以就不一樣了。

當(dāng)然，自覺運用幾何直觀，形成幾何直觀的意識，離不開靈活運用中的成功體驗。因此教師要引導(dǎo)兒童經(jīng)常性地構(gòu)造幾何直觀，并常常反思體會幾何直觀的優(yōu)勢，要有意識地培養(yǎng)兒童的幾何直觀意識與能力，幫助兒童逐步形成一種“遇抽象畫形象”的穩(wěn)定的思維方式。當(dāng)然，構(gòu)造幾何直觀之后，還需要重點關(guān)注幾何推理、直觀洞察的思維發(fā)展。此外，在圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們也要進行深入研究，豐富實例，逐步形成幾何直觀的構(gòu)造系列。