□ 胡良梅
兒童學習數(shù)學的主要矛盾是抽象和形象的矛盾,幾何直觀是化解這一矛盾的有效措施。何為“幾何直觀”?《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出:“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題,借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象,有助于探索解決問題的思路,預測結(jié)果?!睅缀沃庇^,本質(zhì)是借助直觀圖形獲得感性認識,描述、分析、理解問題,幾何直觀是種意識,是種思維方式,也是教學手段,它的主旨是加深學生對數(shù)學的理解,它存在于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等數(shù)學學習的各大領域教學中。
在代數(shù)領域,幾何直觀怎樣才能發(fā)揮更廣的價值?教師可積極尋找數(shù)學對象的直觀模型,構(gòu)造易于理解和運用的直觀形式,努力發(fā)揮幾何直觀的價值?,F(xiàn)舉例分析如下。
小學階段,認識自然數(shù)、分數(shù)、小數(shù),都是通過大量使用幾何直觀,如小棒圖、數(shù)珠圖、算盤圖、立方體模型圖、面積模型圖、特殊米尺圖等來完成的。除去教材編寫的這些幾何直觀,教學中還可以怎樣構(gòu)造直觀呢?
教材編排認數(shù)的邏輯順序一般是:直觀圖—數(shù)珠—數(shù)的符號,學生經(jīng)歷的是從具體數(shù)量逐步抽象,并用數(shù)學語言進行表達交流的過程。其實,還可以反其道而行之,引導學生經(jīng)歷從抽象到具體的構(gòu)造直觀的過程。如用不同圖示畫出一個數(shù):10表示什么意思?你能畫圖表示嗎?學生可以畫出10朵花、10根小棒、10個圓圈等具體情境圖,也可畫出1捆小棒、1個直條長方形等比較抽象的直觀圖。接著,教師出示:8個大大的圓圈圖和2個非常小的圓圈圖,問:這幅圖能用10表示嗎?強烈的大小反差,沖擊著學生的思維,有學生認為不能。經(jīng)過辯論,最后明確大小雖不同,但不影響數(shù)量的表示,這就加深了學生對數(shù)字10抽象意義的理解。之后,教師可再追問:與前面學習的0~9相比,10有什么不同?你能畫圖說明嗎?學生想到用計數(shù)器圖表示10占有兩個數(shù)位,并且發(fā)現(xiàn)10已經(jīng)不再用新的數(shù)字計數(shù),是用已學過的1和0計數(shù)……在這個創(chuàng)造圖示并區(qū)分、拓展的思維經(jīng)歷中,有抽象素養(yǎng)的自然孕伏,還有偉大的十位進制原理的體驗,學生歷經(jīng)了數(shù)的概念的理性認識過程,思維能力切實得到了提升。
知道數(shù)的特征是什么,還要理解數(shù)的特征為什么,才能揭開特征的面紗,促進學生的深度學習。如2,5倍數(shù)的特征,為什么只要看個位?3倍數(shù)的特征,為什么要看各個數(shù)位上數(shù)字相加的和?用直觀圖示畫出數(shù)的組成,可促進學生知其然并知其所以然。
看圖可直觀理解:多位數(shù)是整百整十和個位數(shù)合成的,前面的整百整十確定是2,5的倍數(shù),所以關鍵看后面的個位。并且,個位數(shù)除以2或5得到的余數(shù),與多位數(shù)除以2或5的余數(shù)具有一致性。3的倍數(shù)特征也同樣可以這樣構(gòu)造直觀,促進理解:245÷3=(200+40+5)÷3,一個百除以3會余1,2個百除以3就余2……幾個百除以3就余幾;一個十除以3會余1,2個十除以3就余2……幾個十除以3就余幾。(圖略)
整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算,也在一直使用幾何直觀。如整數(shù)的加減乘除,離不開小棒圖、點子圖的拆分組合,分數(shù)乘法的計算離不開直觀圖的探索理解等。那么,在數(shù)的運算學習中,又該如何引導學生去主動構(gòu)造幾何直觀呢?
除法豎式的理解,一直是學習的難點。如教學92÷30時,部分學生會認為商是30,如果簡單否定,或是單純依靠正面示范和反復練習,效果不盡理想。這時,可引導學生主動構(gòu)造直觀:給學生提供方格紙,讓學生借助直觀的格子圖圈一圈、畫一畫,再通過交流和追問,學生就會結(jié)合直觀模型“自我否定”,完善認知建構(gòu),形象理解商和余數(shù)的意義。一些特殊的、復雜的、抽象的運算,也可引導學生主動構(gòu)造直觀探索簡便算法。如:,教師提供長方形紙片、圓形紙片或者數(shù)軸圖,讓學生折一折、畫一畫、標一標,借助操作與圖示,大多數(shù)同學都能領悟這道計算題可以化繁為簡,轉(zhuǎn)化為顯然,這是幾何直觀的神奇價值。
分數(shù)除以分數(shù),蘇教版教材分三步進行:分數(shù)除以整數(shù)—整數(shù)除以分數(shù)—分數(shù)除以分數(shù)。從平均分升果汁—平均分4個橙子—包含分4米長的彩帶—包含分升果汁,素材選取的都是同類量的分一分,比較單一,學生因此形成的理解也比較膚淺。為了豐富分數(shù)除法的數(shù)量關系,加深學生對算理的理解,可增設素材,構(gòu)造不同的直觀模型。如一輛汽車行千米用汽油升,1升汽油可供這輛汽車行駛多少千米?畫出的計算過程。
很多實際問題中的信息和數(shù)量關系都是可以畫出來的。從低段教學開始,可以先試著畫直觀形象的示意圖、直條圖、線段圖,到了高段,還可以適時引進矩形圖、韋恩圖等。
如乘加對比實際問題,部分學生往往混淆不清,類似下圖這樣的題目就可以引導學生畫示意圖幫助理解。也可以改為:姐姐送給弟弟9枚郵票后,兩人郵票的枚數(shù)同樣多。原來姐姐比弟弟多多少枚?學生往往易理解為姐姐比弟弟多9枚。可先指導學生畫實物示意圖幫助理解,再改動小數(shù)字為大數(shù)字,體驗示意圖的局限性,逐步抽象出直條圖、線段圖。
蘇教版四年級下冊“解決問題的策略”,重點編排了線段圖和矩形圖。如:擴建校園時,一個正方形操場的一組對邊各增加18米,操場的面積就增加了900平方米。原來操場的面積是多少平方米?其中“一組對邊各增加18米”學生不明白是什么意思,可借助直觀的矩形圖幫助分析,理解其中的數(shù)量關系。其實,矩形圖除了用于面積,還可遷移到更廣的范圍。如同類數(shù)量關系的直觀揭示、方法多元的思路尋求等。例如:美術小組計劃買20盒彩筆,每盒15元。實際每盒漲價3元,且多買5盒,實際多花多少元?圖中陰影部分就是多花的錢,借助矩形圖的直觀構(gòu)造,可以探索不同的解題思路。
如大家都熟悉的包含問題:一個班有35人,老師問:做完語文作業(yè)的請舉手。有18人舉手。又問:做完數(shù)學作業(yè)的有幾人?請舉手。有21人舉手。最后問:語文和數(shù)學作業(yè)都沒有做完的同學有嗎?沒有人舉手。請問,語文和數(shù)學作業(yè)都完成的有幾人?題中的數(shù)量關系比較隱蔽,部分學生會覺得很難理解。如果能夠幫助學生構(gòu)造幾何直觀,就會非常清楚。
先畫出一個班的35人,從左邊數(shù)18人是完成語文作業(yè)的,圈一圈;從右往左數(shù)21人是完成數(shù)學作業(yè)的,再圈一圈。借助直觀圖很容易看出重疊的4人就是既完成語文作業(yè)又完成數(shù)學作業(yè)的人數(shù)。進一步,還可以逐步抽象出韋恩圖。
小學高段的實際問題往往數(shù)量關系復雜,為了化繁為簡,化隱為明,教師可指導學生積極構(gòu)建線段圖。如,學校要組織兩組隊員去牡丹園春游。牡丹園距離學校有15千米,比較遠,并且學校只有一輛校車,每次最多只能容納一組的學生。假如車速每小時48千米,步行速度保持每小時4千米,請問,兩個小組怎樣輪流乘車,才能保證最短時間內(nèi)同時到達?讀完題目,似乎無從思考,不妨構(gòu)造線段圖幫助分析。思考:校車從A點出發(fā),先把第一小組送到C點,立刻回頭剛好到B點接送第二小組,最后兩個小組一起到達D點牡丹園。為了保證公平,兩個小組步行路程相同,即AB=CD。因為車速是步行速度的12倍,把AB路程看作1份,相同的時間內(nèi),校車行駛的路程就是12份,即BC之間的路程就是(12-1)÷2=5.5份。由此得出每個小組步行的路程是15÷(1+5.5+1)=2千米。
借助直觀的線段圖幫助分析,數(shù)量關系明晰可見,問題迎刃而解。其實,許多復雜的行程問題都可構(gòu)建線段圖簡明數(shù)量關系。再如比較經(jīng)典的年齡問題:徒弟問師傅今年多少歲?師傅說:“當我像你這么大時,你才5歲;當你像我這么大時,我已經(jīng)71歲了。”師傅今年多少歲?此題表達雖簡單,只告訴了兩個量,但內(nèi)涵豐富,理解起來頗有難度。不過,依據(jù)題意,抓住年齡差不變,畫出線段圖,就可以轉(zhuǎn)化成容易解答的差倍問題了。如右圖,可以直觀看出,師徒之間的1個年齡差是(71-5)÷3=22(歲),師傅今年的年齡是5+22×2=49(歲)。
此外,在探索規(guī)律、常見的量、式與方程等的學習中也可積極創(chuàng)建幾何直觀。
如0.1小時和0.1元的理解,學生往往會認為0.1小時就是10分鐘。引導學生借助數(shù)軸畫出直觀圖,就能幫助學生形象理解鐘表上的小數(shù):因為鐘表用的是60進制,60÷10=6分鐘,0.1小時就是6分鐘;而“元、角、分”用的是10進制,0.1元=1角,所以就不一樣了。
當然,自覺運用幾何直觀,形成幾何直觀的意識,離不開靈活運用中的成功體驗。因此教師要引導兒童經(jīng)常性地構(gòu)造幾何直觀,并常常反思體會幾何直觀的優(yōu)勢,要有意識地培養(yǎng)兒童的幾何直觀意識與能力,幫助兒童逐步形成一種“遇抽象畫形象”的穩(wěn)定的思維方式。當然,構(gòu)造幾何直觀之后,還需要重點關注幾何推理、直觀洞察的思維發(fā)展。此外,在圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等數(shù)學領域,我們也要進行深入研究,豐富實例,逐步形成幾何直觀的構(gòu)造系列。