研究考點(diǎn)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)，回歸課本消除盲區(qū)
——以“銳角三角函數(shù)”中考一輪復(fù)習(xí)為例

☉江蘇省常熟市王莊中學(xué) 王裕龍

中考一輪復(fù)習(xí)的主要功能是梳理知識(shí)、查漏補(bǔ)缺，復(fù)習(xí)過(guò)程中離不開(kāi)鏈接地區(qū)考題，關(guān)注高頻考點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生大面積過(guò)關(guān).然而，教材也應(yīng)該是一輪復(fù)習(xí)的一個(gè)重要關(guān)注點(diǎn)，但是常常被忽略.本文以“銳角三角函數(shù)”的中考一輪復(fù)習(xí)為例，記錄一次磨課經(jīng)歷，供分享.

一、“銳角三角函數(shù)”中考一輪復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)初稿概述

活動(dòng)1：知識(shí)梳理，銳角三角函數(shù)的有關(guān)概念

引入問(wèn)題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c.你能得出哪些結(jié)論？

教學(xué)組織：學(xué)生得出三角函數(shù)的概念，教師板書(shū)課題，并繼續(xù)復(fù)習(xí)特殊銳角的三角函數(shù)值.對(duì)照表格，引導(dǎo)學(xué)生觀察銳角度數(shù)的變化，函數(shù)值如何變化？教學(xué)對(duì)話時(shí)，可以安排幾個(gè)學(xué)生講解幾種銳角三角函數(shù)的增減性.進(jìn)一步，已知兩邊的長(zhǎng)度，能否求其他元素？學(xué)生肯定之后，教師小結(jié)這就是解直角三角形.接下來(lái)跟進(jìn)一些考題鏈接.

練習(xí)1：如圖1，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD=2，AC=3，則sin∠B的值是 .

教學(xué)組織：PPT上跟進(jìn)了不同的變式，如求∠ACD的其他三角函數(shù)值，進(jìn)一步安排學(xué)生求出其他一些銳角的正弦值.成果擴(kuò)大，有效復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義.再將中線變式為AB邊上的高，安排學(xué)生繼續(xù)求圖中各個(gè)銳角的三角函數(shù)值.

圖1

圖2

練習(xí)2：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA過(guò)點(diǎn)（2，1），求tanα的值.

預(yù)設(shè)變式：點(diǎn)M在第一象限，OM=，作射線OM與x軸所成夾角為α，tanα=2，分析M點(diǎn)的坐標(biāo).

活動(dòng)2：典例剖析，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

例1如圖3，從熱氣球P看一棟樓頂部A的仰角α為45°，看這棟樓底部B的俯角β為60°，樓與熱氣球的水平距離為150米，求樓高AB.

圖3

圖4

練習(xí)3：如圖4，某燈塔P的周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁.有一海輪以20海里/時(shí)的速度由西向東航行，在A處測(cè)得燈塔P在北偏東60°方向上，經(jīng)過(guò)30分鐘的航行到達(dá)B處，此時(shí)燈塔P在北偏東30°方向上.請(qǐng)分析：該海輪若不改變航線，在向東航行過(guò)程中有可能觸礁嗎？

活動(dòng)3：拓展提高，較難題中銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

例2如圖5，矩形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，將△BCE沿CE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處……

教學(xué)組織：先讓學(xué)生理解題意，提出一個(gè)問(wèn)題，在小組內(nèi)交流，大組適當(dāng)展示之后，教師把課前預(yù)設(shè)在PPT上的一些問(wèn)題漸次呈現(xiàn)，比如：

（1）求證：△ABF是直角三角形；

圖5

學(xué)生講解思路，老師簡(jiǎn)要評(píng)析之后又鏈接了一道以拋物線為背景的綜合題（只是條件中含有一個(gè)正切函數(shù)值），預(yù)設(shè)教學(xué)用時(shí)10分鐘，限于篇幅，不再摘引.

二、“銳角三角函數(shù)”中考一輪復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)（第2稿）

活動(dòng)1：舊知復(fù)習(xí)，梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

帶著下面的問(wèn)題，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知.

問(wèn)題1：你是怎樣理解銳角三角函數(shù)的定義的？可以舉例說(shuō)說(shuō).

問(wèn)題2：你熟悉哪些特殊銳角的三角函數(shù)值？列表整理一下，并分析隨著銳角度數(shù)的增大，不同的三角函數(shù)值的增減性如何變化.小組內(nèi)交流.

問(wèn)題3：你在判定兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，會(huì)選擇哪些判定方法？可以結(jié)合畫(huà)圖講解你的理解.

問(wèn)題4：解直角三角形時(shí)，最少需要具備哪幾個(gè)條件？

在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，PPT上呈現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，如圖6.

圖6

活動(dòng)2：典例剖析，考題鏈接與變式跟進(jìn)

引用上面“第1稿”中練習(xí)1、2及例1.使用3道例、習(xí)題即可，不再增大題量，這類(lèi)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，教學(xué)時(shí)注意規(guī)范格式，選取一道例題讓學(xué)生上臺(tái)板演，教師對(duì)照參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)評(píng)分.

活動(dòng)3：回歸教材，經(jīng)典問(wèn)題變式再練習(xí)

教材經(jīng)典習(xí)題1：已知等邊三角形邊長(zhǎng)為a，求它的面積.

變式1：求半徑為r的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)和面積.

變式2：求半徑為r的圓的內(nèi)接正六角形的邊長(zhǎng)和面積.

變式3：把一根長(zhǎng)為10cm的鐵絲折成底角為30°的等腰三角形，求此三角形的各邊長(zhǎng)（精確到0.1cm）.

教材經(jīng)典問(wèn)題2：證明平行四邊形的面積等于相鄰兩邊的長(zhǎng)與其夾角的正弦值的乘積.

變式1：證明三角形的面積等于兩邊的長(zhǎng)與其夾角的正弦值的乘積的一半.

變式2：有一個(gè)內(nèi)角為72°的菱形，它的邊長(zhǎng)為2cm，求該菱形的兩條對(duì)角線之和（精確到0.1cm）.

意圖：這兩個(gè)經(jīng)典題組都改編自教材上的例、習(xí)題，將它們以題組形式呈現(xiàn)，有利于學(xué)生關(guān)聯(lián)復(fù)習(xí).

活動(dòng)4：課堂小結(jié)，探索銳角α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系

小結(jié)問(wèn)題1：從特殊銳角的三角函數(shù)值的列表回顧分析中，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)銳角的度數(shù)與正弦和余弦函數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？（學(xué)生可以從增減性或同角三角函數(shù)之間的關(guān)系分析，為后面的兩個(gè)小結(jié)問(wèn)題鋪墊）

小結(jié)問(wèn)題2：有人發(fā)現(xiàn)同角的正弦、余弦函數(shù)值的平方和恰好相等，即sin2α+cos2α=1.你覺(jué)得有道理嗎？如何證明？你還能提出類(lèi)似的命題嗎？

小結(jié)問(wèn)題3：互余的兩個(gè)銳角，它們的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？（預(yù)設(shè)sinα=cos（90°-α），tanα·tan（90°-α）=1）

小結(jié)問(wèn)題4：還有人提出一個(gè)奇異的性質(zhì)，畫(huà)出銳角三角形的外接圓，得出一個(gè)美妙的性質(zhì)：=2r.你能給出證明嗎？

三、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.中考一輪復(fù)習(xí)要梳理舊知，讓知識(shí)結(jié)構(gòu)化

一輪復(fù)習(xí)梳理舊知是很多教師都能做到的，但是將知識(shí)結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)就有了差距.有些初任教師往往只是簡(jiǎn)單地組織學(xué)生回顧知識(shí)點(diǎn)，以填空形式復(fù)習(xí)知識(shí)，而有經(jīng)驗(yàn)的教師則會(huì)在復(fù)習(xí)舊知的過(guò)程中，漸次生成結(jié)構(gòu)化板書(shū)或知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，使得學(xué)生在舊知復(fù)習(xí)時(shí)能通過(guò)結(jié)構(gòu)圖感受到這節(jié)課所復(fù)習(xí)內(nèi)容的前后關(guān)聯(lián)（鄭毓信教授指出“數(shù)學(xué)知識(shí)求聯(lián)”，說(shuō)的也是這個(gè)道理），達(dá)到相對(duì)深刻的理解.

2.中考一輪復(fù)習(xí)要關(guān)注考點(diǎn)，讓備考更精準(zhǔn)

功利一點(diǎn)看，中考復(fù)習(xí)主要是復(fù)習(xí)備考應(yīng)試，而當(dāng)前中考以地區(qū)命題為主，所以復(fù)習(xí)備考需要關(guān)注本地區(qū)近年來(lái)中考真題，認(rèn)真研究本課復(fù)習(xí)內(nèi)容在中考真題中的分配、考查題型與形式十分重要，這樣才能讓備考更加精準(zhǔn).需要指出的是，有些復(fù)習(xí)內(nèi)容在中考試題中并不能找到直接考查的考題，但是可以在一些綜合題中查找，甚至有些題目的呈現(xiàn)中都找不到相關(guān)元素，但在它們的解答過(guò)程中能找到本課復(fù)習(xí)主題，也可“抓取”其中的關(guān)鍵步驟，鏈接到本課內(nèi)容中來(lái)，這樣分散綜合題的難點(diǎn)或關(guān)鍵步驟進(jìn)行專(zhuān)題訓(xùn)練，可以讓備考更加有效.

3.中考一輪復(fù)習(xí)要回歸教材，讓復(fù)習(xí)無(wú)盲區(qū)

我們知道，平時(shí)的教學(xué)需要認(rèn)真研讀教材，“以本為本”，從“教教材”走向“用教材教”.然而在中考復(fù)習(xí)時(shí)，不少教師的教學(xué)設(shè)計(jì)被大量的來(lái)自全國(guó)各地的“中考題”填滿了課堂，使得復(fù)習(xí)時(shí)要回歸教材成為一句空話.我們?cè)谏衔恼n例打磨過(guò)程中，注重引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，一方面，重視選用教材章末小結(jié)時(shí)的一些“提示語(yǔ)”，另一方面，對(duì)教材相關(guān)章節(jié)中的經(jīng)典例、習(xí)題進(jìn)行改編選用，使得它們以題組的形式呈現(xiàn)在復(fù)習(xí)課學(xué)案中，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行題組訓(xùn)練，以達(dá)到較好的訓(xùn)練效果，消除復(fù)習(xí)盲區(qū).