初中數(shù)學“分式”的深度學習

☉山東省淄博市張店區(qū)第九中學 高軼群

☉山東省淄博市張店區(qū)第九中學 牛文軍

分式屬于代數(shù)式的外延，是用來表達情境數(shù)量關系和解決生活問題的一種工具.它與整式、分數(shù)、方程、不等式、反比例函數(shù)及圖形部分都有著千絲萬縷的聯(lián)系，對它的掌握程度直接影響到對這些內容的掌握.所以，教師要深入理解分式的概念，探究它的本質，通過現(xiàn)象觀其“形”，透過本質抽絲剝繭觀其“里”，兼顧內外全面理解探究分式的內涵.

一、透過數(shù)學史，觀分式之背景

分式源自于代數(shù)式，想要透徹地理解分式，首先需追本溯源到代數(shù)式.人類數(shù)學發(fā)展史中首先出現(xiàn)的是具體的“量”，如1棵樹、3只羊等，經過漫長的歲月洗禮，“量”也得到相應的發(fā)展，產生了如1、2、3、、等具有抽象意義的“數(shù)”，這是具體的“量”發(fā)展為抽象的“數(shù)”的過程，也是數(shù)學史上一次“質”的飛躍，“數(shù)”的產生決定了算術理論的產生.隨著人類思維的發(fā)展和生活現(xiàn)實的需要，抽象的“數(shù)”也不能滿足人類的需求了.如：想要表述數(shù)量之間的規(guī)律性，例如，加法或乘法交換律等，用純粹的“數(shù)”難以表達清楚，數(shù)學史上的第二次“飛躍”應運而生，即使用字母代表相應的數(shù).法國的韋達先生在1591年，在總結前人“數(shù)”的經驗基礎上，通過《美妙的代數(shù)》這本書，表達了使用一些字母符號對已知和未知的數(shù)量關系進行表達，打響了代數(shù)和算術區(qū)別的第一槍.抽象的字母符號在代數(shù)中使用的方式，有效地推進了代數(shù)的歷史發(fā)展“.數(shù)”和“字母符號”同時參與數(shù)學運算的方法使“代數(shù)式”走上數(shù)學史的大舞臺.

人類文化早期階段，分數(shù)隨著生活的實際需要，在均分和度量的基礎上產生.生活中的兩個數(shù)無法進行整除，則使用分數(shù)來表達其結果.所謂的分數(shù)，“分”源自于平均分配，這也是“分數(shù)”名稱的由來.從分數(shù)到分式的變化，除了“形似”，還要把分數(shù)的分母、分子從具體的數(shù)朝字母表示的數(shù)發(fā)展.如、、……之間的規(guī)律可以使用字母表達，分式也隨之產生.同樣，在整式相除的運算中，也需要將分式運用到其中.因為分式和分數(shù)在形式上雷同，根據人類常規(guī)思維模式，根據分數(shù)的名稱命名分式.當前數(shù)學教材中，對于分式使用的是形式性概念，如：字母A和B分別是兩個整式的代表，而字母B中又含有字母，則這個代數(shù)式就稱為分式，字母A是這個分式的分子，字母B是這個分式的分母.

二、代數(shù)思想，解析分式內涵

分式具有分數(shù)的一切特點.但是，代數(shù)式又有著區(qū)別于分數(shù)的內涵，它的抽象性決定了自己具有獨特的基本屬性.

1.分數(shù)與分式的比較

分式起源于分數(shù)，是在分數(shù)的基礎上，根據生活需要而衍生出的新內容.運用字母代表“數(shù)”，將一些辯證思想滲透到分式中，使分數(shù)與分式產生橫向的關聯(lián).由此可見，分數(shù)與分式性質相通，形式相同，分式可以理解為分數(shù)的一種常用形式，而分數(shù)又是分式的特別案例.在數(shù)學課堂學習中，根據分式和分數(shù)的性質進行對比和轉化的過程中，既要符合表面的“形”，也要深入理解由“形”導致的內涵之變.分式的運算中，要根據其性質和屬性進行類比分析，找出其中的異同點.

2.分數(shù)到分式的轉化

（1）分母為0的情況.

分母在分式中代表的是除數(shù)，在數(shù)學運算中0是不可以做除數(shù)的，所以，在分式中，0不可以作為分母.那么，分式的概念中，怎么沒有附加上B≠0這一條件呢？其實，分式就代表著除法運算，既然是除法運算，就已經包含了0不做除數(shù)的條件.此時，在分式概念中再添加B≠0這一條件，會顯得多此一舉.如果添加上B≠0這一條件，容易讓學生誤解為分母永不能是0，而分式中的分母應該是它的值不能為0.這也是有意義和無意義分式的區(qū)別.若分式值是0，不能僅僅關注分式中的分子值為0，還要注意分母的取值不能為0.在y=（k是常數(shù)，k≠0）這個反比例函數(shù)中，x≠0的取值范圍由分母不是0所決定，簡而言之，只要是蘊含除法運算的函數(shù)關系，其分母均不為0.

（2）去除假分數(shù)、帶分數(shù)等類似的概念.

例1已知：，…，尋找出其中的規(guī)律，第n個等式是__________.

這些情況是數(shù)到式的變化.

三、從空間觀念中理解分式的形式

1175年，阿爾·哈薩創(chuàng)用“—”為分數(shù)線，表示“÷”.在數(shù)學運算中，簡單的“—”就能代表兩個整式相除，簡單、快捷地表達了分式，給數(shù)學的運算帶來便捷.

例如，將（m+n）÷（a+b）用分式的形式表達，則可以一目了然，從中也可以看出分數(shù)線本身就帶有括號的功能.在解分式方程的過程中，去分母后需要加括號也源于此.

3.除法與分數(shù)線的關系

在同一個分數(shù)中，除法和分數(shù)線所表達的含義是類似的，“÷”僅是運算，而分式卻可以代表運算的結果.分式屬于代數(shù)式，代數(shù)式是算式，而分式則是兩個整式相除的算式.同時，分式也可以理解為兩個整式的比值，即除法運算的“商”.在不同的場合分式有著不一樣的意義和作用.

例2想讓分式的值是正整數(shù)，則m該取何值？

想要解這道題，首先要知道數(shù)4能被什么數(shù)整除.商為正整數(shù)，即分母“m-1”是數(shù)4的正約數(shù).

例3想讓分式的值大于0，x該取何值？

想解這道題，只要找出怎樣的兩個數(shù)相除商是正數(shù)，即“x-1”與“2+x”同號.

例2和例3都是關于分式值的題型，可以清晰地看出分式中的除法運算.

4.分式計算中常見的錯誤類型分析

分數(shù)通分首先要尋找“最小公倍數(shù)”，將異分母化成同分母；而分式通分則是尋找“最簡公分母”，在分母的轉化中要特別注意括號的添加.

多項式的分子、分母運算，需要及時添加“（ ）”.

分數(shù)約分，只是分子和分母兩個數(shù)的約分；而分式在約分中，應該約去分子和分母的公因式，但是很多學生受分數(shù)約分的思維影響，出現(xiàn)約分變形的錯誤.

例4、5、6，導致錯誤產生的根本因素是，分數(shù)中的分母和分子僅僅是單項，涉及兩個數(shù)，而分式中的分母和分子是多項，涉及整式，在“單”和“多”之間產生了錯誤的比較，從而出現(xiàn)負遷移.

例8解方程：

錯解：方程的兩邊同時乘3（x-2），得 3·5x-4=4x+10-3x-6.

在解方程的過程中，去掉分數(shù)線則需要增加括號，但是這種性能在分數(shù)中幾乎沒有體現(xiàn).由此可知，分式是能夠化成兩個整式比的特殊代數(shù)式，它有三個方面的屬性：具有除法運算的性能，分子和分母分別是兩個整式，分式的分母中必須含有字母.

定義是人們對客觀事物認識的小結，也是思維的組成單位.分式的性質和運算法則，在其定義中有清晰的顯示，這一章節(jié)的核心內容是“運算”，只有在充分理解分式產生的背景、內涵和形式后，才能提升學生的運算能力.