從一道中考?jí)狠S題說(shuō)開(kāi)去

☉安徽省六安市舒城第二中學(xué) 張 軍

縱觀全國(guó)各地的中考試卷，絕大部分壓軸題都與二次函數(shù)密切相關(guān).對(duì)于二次函數(shù)壓軸題，只要我們認(rèn)真審題、把握試題的特點(diǎn)與結(jié)構(gòu)，注意轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想的應(yīng)用，不斷總結(jié)解型規(guī)律與方法，問(wèn)題解決自然水到渠成.

原始母題：（2018·自貢）如圖1，拋物線y=ax2+bx-3過(guò)A（1，0）、B（-3，0）兩點(diǎn)，直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2，點(diǎn)P（m，n）是線段AD上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求直線AD及拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長(zhǎng)？

分析：對(duì)于第（1）問(wèn)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線的解析式.對(duì)于第（2）問(wèn)，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

圖1

當(dāng)x=-2時(shí)，y=（-2）2+2×（-2）-3y=-3，即點(diǎn)D（-2，-3）.

（2）由于點(diǎn)P在直線y=x-1上，可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m-1）.

由PQ∥y軸，得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)也為m.又點(diǎn)Q在拋物線y=x2+2x-3上，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，m2+2m-3）.

點(diǎn)評(píng)：與y軸平行的豎直線段的長(zhǎng)等于上點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理，與x軸平行的水平線段的長(zhǎng)等于右點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左點(diǎn)的橫坐標(biāo).求兩個(gè)函數(shù)圖像上兩點(diǎn)距離的最值需要建立二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)最值的性質(zhì)去解答.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用表示坐標(biāo)的代數(shù)式表示線段長(zhǎng)是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常用的方法.

變式方向一：求水平線段的最值

承原始母題第（2）問(wèn)，如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QM∥x軸，交直線AD于點(diǎn)M，則線段MQ有最大值還是最小值？請(qǐng)求出這個(gè)最值.

分析：我們已經(jīng)求得線段PQ的最大值，線段PQ與線段QM在同一三角形中，如果能得到這兩條線段的關(guān)系，就能利用線段PQ的最值求得線段QM的最值.

解析：由直線AD的解析式為y=x-1，得直線AD與直線y=x平行.又直線y=x與x軸的夾角是45°，則直線AD與x軸的夾角也為45°，即∠BAO=45°.又直線PQ∥y軸，即直線PQ垂直于x軸，則∠TPA=45°，則∠MPQ=45°.

圖2

點(diǎn)評(píng)：從本題得：欲求水平線段的最值，需要把水平線段轉(zhuǎn)化為豎直線段，通過(guò)豎直線段建立二次函數(shù)模型，求出豎直線段的最值，從而得到水平線段的最值，這里體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.不能認(rèn)為只有△PQM是特殊直角三角形，才能得到線段PQ與線段QM的關(guān)系，其實(shí)△PQM只要是直角三角形即可，因?yàn)橐鬃C△PQM與△OSA相似，而△OSA的三邊已確定.

變式方向二：求斜線段的最值

承原始母題第（2）問(wèn)，如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，則線段QE有最大值還是最小值？請(qǐng)求出這個(gè)最值.

圖3

分析：在第（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，已經(jīng)求得線段PQ的最大值，線段PQ與線段EQ同在△PEQ中，得到線段EQ與PQ的關(guān)系，就可以求得斜線段EQ的最值.

點(diǎn)評(píng)：從本題可以看到：欲求斜線段的最值，也需要把斜線段轉(zhuǎn)化為與y軸平行的豎直線段，因?yàn)榕cy軸平行的豎直線段的長(zhǎng)與動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間易建立二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)最值的性質(zhì)得豎直線段的最值，從而得到斜線段的最值.這里有一個(gè)中間環(huán)節(jié)，即得到線段EQ與PQ的關(guān)系式，上述解法是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到的，也可以根據(jù)△EPQ與△OSA相似，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得到斜線段EQ與豎直線段PQ的關(guān)系.

變式方向三：求三角形周長(zhǎng)的最值

承原始母題第（2）問(wèn)，如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，則△PQE的周長(zhǎng)有最大值還是最小值？請(qǐng)求出這個(gè)最值.

分析：△PQE的周長(zhǎng)=EP+EQ+PQ，在第（2）問(wèn)中，已得線段PQ的最值，如果能將其他兩條線段都轉(zhuǎn)化為用PQ表示的式子，就可以將△PQE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為用線段PQ表示的式子，從而求得△PQE的周長(zhǎng)的最值.

點(diǎn)評(píng)：從本題可以看出，欲求三角形周長(zhǎng)的最值，也需要將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為豎直線段的長(zhǎng)，其實(shí)，解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程就是不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程，把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把大問(wèn)題轉(zhuǎn)化為小問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解答.

變式方向四：求三角形面積的最值

承原始母題第（1）問(wèn)，如圖4，在直線AD下方的拋物線上有一點(diǎn)Q，連接QD、AQ，則△ADQ的面積有最大值還是最小值？請(qǐng)求出這個(gè)最值.

分析：當(dāng)點(diǎn)Q在直線AD下方的拋物線上移動(dòng)時(shí)，△ADQ的面積隨點(diǎn)Q位置的變化而變化，即隨點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的變化而變化，所以需要建立△ADQ的面積與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，然后求最值.

圖4

圖5

解析：如圖5，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸，交x軸于點(diǎn)F，交直線AD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥FQ于點(diǎn)H，則△ADQ的面積=△DPQ的面積+△APQ的面積=PQ·DH+PQ·AF=PQ·（DH+AF）.由DH+AF就是點(diǎn)A與點(diǎn)D的水平距離，點(diǎn)A（1，0）、D（-2，-3），得DH+AF=1-（-2）=3.則△ADQ的面積=PQ，則當(dāng)PQ最大時(shí)，△ADQ的面積也最大.由原始母題第（2）問(wèn)，得：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m-1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，m2+2m-3），則PQ=（m-1）-（m2+2m-3）=-.則△ADQ的面積

點(diǎn)評(píng)：從本題可以看出，欲求三角形面積的最值，同樣需要將三角形面積轉(zhuǎn)化為用豎直線段表示的式子，從而利用二次函數(shù)最值的性質(zhì)解答.在坐標(biāo)系中求三角形的面積，如果三角形的任何一邊都不是水平的或豎直的，應(yīng)將三角形分割與添補(bǔ)，使分割或添補(bǔ)后的三角形至少有一邊是水平的或豎直的，這樣才可能用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)，從而將圖形的面積轉(zhuǎn)化為用點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)的式子.

在二次函數(shù)壓軸題的最值問(wèn)題中，牢記一條線段：豎直線段，一個(gè)數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想，四種轉(zhuǎn)化：水平線段轉(zhuǎn)化為豎直線段，斜線段轉(zhuǎn)化為豎直線段，三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為豎直線段，三角形的面積轉(zhuǎn)化為豎直線段.其實(shí)，知識(shí)就像蘑菇一樣，會(huì)成堆地生長(zhǎng)，只要我們細(xì)心觀察與思考，很多知識(shí)或試題有相通的地方，通過(guò)這樣的總結(jié)與訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，更有利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).W