根據(jù)教材例題，開發(fā)一題一課

☉安徽省合肥市行知學(xué)校 吳子赟

近日，在研讀中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)期刊過程中，發(fā)現(xiàn)刊發(fā)了大量的基于中考?jí)狠S題的“一題（圖）一課”的設(shè)計(jì)案例，即首先在認(rèn)真分析的基礎(chǔ)上給出該中考試題難點(diǎn)的突破方法及求解思路，然后開發(fā)設(shè)計(jì)成可以在一個(gè)課時(shí)內(nèi)完成的教學(xué)案例，讀后受益匪淺.筆者在近期教學(xué)中思考：上述方式針對(duì)中考專題復(fù)習(xí)有效，那么，能否在日常教學(xué)中（比如一個(gè)知識(shí)點(diǎn)講完后的綜合復(fù)習(xí)課或單元復(fù)習(xí)課）中適用呢？帶著這樣的想法，開展了基于教材例題的“一題（圖）一課”設(shè)計(jì)的有益嘗試.下面簡(jiǎn)單介紹，并給出一些初步的思考，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

一、教材例題

如圖1，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

說明：上述例題是在學(xué)生自主探究得出旋轉(zhuǎn)的三條基本性質(zhì)后教材中出示的一道例題，主要考查學(xué)生對(duì)新知的掌握程度和靈活應(yīng)用情況，教材中的方法是：首先運(yùn)用“對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角”確定了點(diǎn)A和點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等”這一性質(zhì)作出了點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′，進(jìn)而將問題解決，顯然對(duì)旋轉(zhuǎn)的另一性質(zhì)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”沒有涉及.

二、“一題（圖）一課”設(shè)計(jì)

1.解答例題

在上述例題的題干后面增加提示語：你能想到幾種作法？每種作法的依據(jù)是什么？先獨(dú)立思考，再與同伴交流.

設(shè)計(jì)意圖：從教材例題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題.一題多解需要用到旋轉(zhuǎn)的不同性質(zhì)，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)新知的認(rèn)識(shí).同時(shí)，在學(xué)生回答后，引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行解題后的反思，比如，例題的解答依據(jù)是什么？解答本題你還有什么方法？依據(jù)是什么？引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)知識(shí)的本質(zhì)，進(jìn)一步加深學(xué)生的印象.

教學(xué)預(yù)設(shè)：還可以過點(diǎn)A作AE的垂線，截取AE′=AE（如圖2），應(yīng)用“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”這一性質(zhì)將問題解決，彌補(bǔ)教材的不足.

圖1

圖2

2.變式練習(xí)

（1）如圖3，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=BF，連接AE、AF、EF.

①填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)_____度得到；

②若BC=8，DE=6，則△AEF的面積為_______.

（2）如圖4，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，若AE=4，則四邊形ABCD的面積為_____.

圖3

圖4

設(shè)計(jì)意圖：上述變式練習(xí)針對(duì)教材例題采用變式設(shè)計(jì)的典型方法（變條件）進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)圖形中所蘊(yùn)含結(jié)論的理解，其中變式練習(xí)第（1）題第①問直接針對(duì)教材例題給出，第②問考查學(xué)生簡(jiǎn)單的推理能力（在△ADE △ABF的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到∠FAE=90°，從而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，即△AEF是等腰直角三角形）；第（2）題考查學(xué)生一定的逆向推理能力及轉(zhuǎn)化意識(shí)，將未知問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題進(jìn)而解決問題.

3.自主探究

（1）如圖5，在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°，你能得到哪些結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：通過增加特殊角的形式改變條件，進(jìn)而引發(fā)圖形的變化，隨之而來的是一系列結(jié)論的變化.同樣，開放式的問題設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力，為培育學(xué)生的理性思維進(jìn)行一定的嘗試.

圖5

圖6

教學(xué)預(yù)設(shè)：

①三角形全等：△AEF △AHF；

②角：∠AFH=∠AFE（AF平分∠HAE）、∠AED=∠AHF=∠AEF；

③線段：EF=DE+BF；

④面積：S△ABH+S△ABF=S△AEF.

（1）—1：如圖7，在正方形ABCD內(nèi)，∠EAF=45°，AG⊥EF，求證AG=AB.

（1）—2：如圖5，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠EAF=45°，則△CEF的周長(zhǎng)為_____.

設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)上述四個(gè)結(jié)論的理解和靈活運(yùn)用，比如（1）—1需要用到結(jié)論②（也可以從面積相等的角度得出結(jié)論），（1）—2需要用到結(jié)論③.

圖7

圖8

（2）如圖8，在正方形ABCD內(nèi)，∠EAF=45°，對(duì)角線BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，試探究BN、MN、DM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：采用變式的另一種方式，增加特殊線段：對(duì)角線；鞏固教材例題的典型方法：旋轉(zhuǎn).

教學(xué)預(yù)設(shè)：將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABM′，進(jìn)而得到一個(gè)直角三角形M′BN，再結(jié)合三角形全等可以得到BN2+DM2=MN2（如圖9）.

（3）追問：第（1）題中第③個(gè)結(jié)論的逆命題成立嗎？第（2）題得到的結(jié)論的逆命題成立嗎？

設(shè)計(jì)意圖：提出更具有挑戰(zhàn)性的問題，使“不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.

圖9

三、兩點(diǎn)思考

1.教材例題要具有生長(zhǎng)性

通過上述案例的介紹可以看出，圍繞一道教材例題，從變條件、變結(jié)論、變圖形三個(gè)角度開展變式練習(xí)，設(shè)計(jì)形成“一題（圖）一課”，這需要所選的教材例題具有生長(zhǎng)性，否則的話不能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.

從教材例題出發(fā)，各變式練習(xí)漸次生長(zhǎng)，互為依托，使課堂教學(xué)邏輯連貫，思路清晰，實(shí)現(xiàn)了課堂教學(xué)的優(yōu)質(zhì)、高效，同時(shí)，這樣的設(shè)計(jì)為學(xué)生后續(xù)開展自主學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)，與中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)中提出的“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”是不謀而合的.

2.問題設(shè)計(jì)要具有開放性

在上述案例中，通過設(shè)計(jì)開放性的問題，達(dá)到鍛煉學(xué)生思維能力的目的，比如，所提問題中的：你能想到幾種作法？你能得到哪些結(jié)論？等等.這樣的嘗試給學(xué)生打開了一扇窗，開闊了學(xué)生的思路，讓學(xué)生的回答具有開放性，比如，學(xué)生針對(duì)教材例題給出的第二種方法，以及（1）—1的兩種不同思路，這使課堂教學(xué)具有了一定的開放性，實(shí)現(xiàn)了課堂教學(xué)的“百花齊放”.