注重幾何直觀，著眼能力提升
——中考“旋轉(zhuǎn)伴隨相似模型”專題復(fù)習(xí)例談

☉浙江省衢州市衢江區(qū)廿里鎮(zhèn)初級中學(xué) 徐建兵

中考復(fù)習(xí)課教學(xué)是學(xué)生核心素養(yǎng)和能力提升的過程，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，可以把復(fù)雜的問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.旋轉(zhuǎn)是一種基本的圖形變換，若將三角形繞著一個頂點旋轉(zhuǎn)，再放大（或縮?。┑玫叫碌娜切危B接對應(yīng)點后會伴隨第二次相似的出現(xiàn)，這兩個相似以過旋轉(zhuǎn)中心點的四條線段成比例為紐帶，這一伴隨關(guān)系，在很多時候能使復(fù)雜問題簡明化.筆者就針對此類基于旋轉(zhuǎn)的三角形相似模型進(jìn)行教學(xué)實踐，讓學(xué)生在感知、應(yīng)用和構(gòu)造“旋轉(zhuǎn)伴隨相似模型”中培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng),提升解題能力．

一、呈現(xiàn)模型，知其性明其理

例1如圖1，在△ABD與△CBE中，已知∠ABD=∠CBE，要使△ABD與△CBE相似，還需要添加什么條件？當(dāng)△ABD △CBE時，連接對應(yīng)點AC和DE，還有沒有其他三角形相似呢？若有，請寫出對應(yīng)邊的比例式.

圖1

二、應(yīng)用模型，曉其法通其性

例2 如圖2，△ABC與△EDC均為正三角形，B、A、D三點在一直線上，連接AE，可得到AE//BC的結(jié)論.如圖3，在△ABC與△EDC中，AB=AC，DE=CE，∠B=∠ECD，上面的結(jié)論是否還成立？若成立，請說明理由.

圖2

圖3

解析:如圖3,通過觀察發(fā)現(xiàn)，△EDC可由△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)后放大得到，因此伴隨著會出現(xiàn)△DBC△EAC，所以∠B=∠EAC.因為∠B=∠ACB，所以∠EAC=∠ACB，所以AE//BC.

點評:在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)基本模型需要學(xué)生具有一定的幾何直觀素養(yǎng),需要有敏銳的觀察能力.如圖2,△ACB和△EDC中,具有AC=BC,DC=EC的特殊性，因此伴生出△DBC和△EAC既相似又全等.這與八年級全等章節(jié)中出現(xiàn)的“手拉手的全等模型”相一致，體現(xiàn)全等是相似的特殊形式，這樣有利于形成知識之間的相互聯(lián)系,使知識更加系統(tǒng)化.此外，本題的教學(xué)設(shè)計中，筆者還把另一個重點放在學(xué)生如何尋找二次相似的方法指導(dǎo)上，第一步找顯性的三角形相似，第二步找出第一次相似的對應(yīng)點，第三步連接對應(yīng)點構(gòu)成新的一對相似三角形，通過方法指導(dǎo)讓學(xué)生知曉它的用法，精通它的性質(zhì)，提升學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

三、構(gòu)造模型，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維

例3如圖4，正△ABC與正△DEF的邊AB、DE的中點重合于點O，△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)一定角度，連接AD、CF，當(dāng)AD=1時，求CF的長度.

圖4

圖5

解析：如圖5，連接OC、OF.Rt△AOC可由Rt△DOF繞點O旋轉(zhuǎn)后放大得到，因此伴隨著會出現(xiàn)△AOD和△COF，

例4如圖6，正方形AEFG是正方形ABCD繞其頂點A旋轉(zhuǎn)一定角度縮小后的圖形，連接DG和CF，求線段DG與CF的比值.

圖6

圖7

點評：《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用.從例3的圖形中看不出“旋轉(zhuǎn)伴隨相似”的模型，它是由兩個正三角形繞著一條邊的中點旋轉(zhuǎn)，這就需要學(xué)生有創(chuàng)造性的思維，通過添加輔助線，構(gòu)造出“旋轉(zhuǎn)伴隨相似模型”，當(dāng)連接OC、OF時，會出現(xiàn)Rt△AOC由Rt△DOF繞點O旋轉(zhuǎn)后放大得到，因此伴隨著會出現(xiàn)△AOD △COF.把毫無關(guān)聯(lián)的線段AD、CF聯(lián)系在相似三角形的對應(yīng)邊上.例4是正方形旋轉(zhuǎn).當(dāng)對應(yīng)點連接時會出現(xiàn)△ADG △ACF.DG和CF并不在需要的相似三角形中，這就需要連接對角線AC和AF，構(gòu)造出Rt△ACD由Rt△AFG繞點O旋轉(zhuǎn)后放大得到，伴隨著會出現(xiàn)△AGD △AFC，從而解決問題.在我們的教材中，很多四邊形相關(guān)內(nèi)容都是利用三角形知識來解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想，這種數(shù)學(xué)思想的滲透有利于學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)的能力.課堂中通過體會如何構(gòu)造模型培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與創(chuàng)造性思維.

四、拓展模型，經(jīng)驗積累中提升素養(yǎng)

例5如圖8，已知A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=-x于點N，若P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，點P在線段ON上運動時，點A不變，點B隨之運動，則點P從點O運動到點N時，求B點運動的路徑長.

圖8

圖9

點評：本題源于2013年浙江省湖州市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試填空題的壓軸題第16題，本題考查坐標(biāo)平面內(nèi)由相似關(guān)系確定的點的運動軌跡，難度很大，需要學(xué)生具有較好的幾何直觀素養(yǎng)，能從問題中找到“旋轉(zhuǎn)伴隨相似模型”的影子，利用相似關(guān)系求出點B運動路徑的長度，運用“旋轉(zhuǎn)伴隨相似模型”可以大幅簡化計算，避免陷入坐標(biāo)關(guān)系復(fù)雜運算之中.類似的應(yīng)用還出現(xiàn)在2017年浙江省衢州市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試第24題的第（2）問中：“在直角坐標(biāo)系中，過原點O及點A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC.連接OB，點D為OB的中點.點E是線段AB上的動點，連接DE，作DF⊥DE，交OA于點F，連接EF.已知點E從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動，設(shè)移動時間為t秒.如圖10，當(dāng)點E在線段AB上移動的過程中，∠DEF的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tan∠DEF的值.”將△DEE′繞點D旋轉(zhuǎn)，再擴(kuò)大（或縮?。┑谩鱀FF′，在這個變化過程中，伴隨著第二次相似，即當(dāng)E在AB邊上運動時，都有△DEF △DE′F′，得到∠DE′F′=∠DEF是個定值，所以tan∠DE′F′=?.因此學(xué)生對這種模型的經(jīng)驗積累，有利于提升學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)和解題能力.

圖10

學(xué)習(xí)需要天分，學(xué)習(xí)也需要積累，“旋轉(zhuǎn)伴隨相似模型”是一種圖形特性的經(jīng)驗積累.《標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要學(xué)生在不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動中，在“做”與“思”的過程中進(jìn)行積淀，因此學(xué)習(xí)除了善學(xué)善思，還應(yīng)做到善于總結(jié)經(jīng)驗.