從初等數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)分析

吳延科 李乃醫(yī)

【摘要】 初等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析是兩個不同階段的知識體系，前者是大眾教育，而后者是專業(yè)教育.本文通過具體的例子，討論了如何在現(xiàn)有初等數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生順利學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)分析的知識體系和內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】 初等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)分析;新課程改革

對數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)新生來講，從中學(xué)經(jīng)歷高考的洗禮進入大學(xué)，首先面對的就是數(shù)學(xué)分析這門最基礎(chǔ)和最重要的專業(yè)課的學(xué)習(xí).隨著我國基礎(chǔ)教育的不斷改革，中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容和難度幾經(jīng)變換，教學(xué)內(nèi)容已經(jīng)大幅拓展，融入了很多高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，同時，一些應(yīng)用不太廣泛的內(nèi)容進行了刪減或降低難度.盡管如此，大多數(shù)的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生從中學(xué)走進大學(xué)，還是不能適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)尤其是數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)分析是初等數(shù)學(xué)的升華，可以高屋建瓴地對初等數(shù)學(xué)問題提供新的解決手段和方法.更為重要的是，這些新的手段和方法可以毫無困難地進行推廣，方便地用來解決初等數(shù)學(xué)不能解決的問題.從中學(xué)數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)分析，學(xué)生需要從方法、內(nèi)容等方面進行重新認識，從心態(tài)、精力等自身因素進行調(diào)整，才能順利過渡到知識的彼岸.

中學(xué)數(shù)學(xué)既包括數(shù)學(xué)的基本概念、性質(zhì)、法則、公式、定理等表層知識，也涉及數(shù)學(xué)的一些思想和方法等深層知識.在學(xué)習(xí)中，中學(xué)數(shù)學(xué)由于學(xué)習(xí)時長較長，更關(guān)注的是一些技巧性的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)分析是一個完整的數(shù)學(xué)體系，在學(xué)習(xí)中，更關(guān)注的是對基本概念、性質(zhì)、法則、邏輯推理的理解和掌握.從初等數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)分析，應(yīng)該有一個平緩的過渡，使學(xué)生能夠相對自然地接受新的更高層次的知識.

一、適當補充初等數(shù)學(xué)知識

數(shù)學(xué)分析因其內(nèi)容龐雜，使得很多通用教材在涉及初等數(shù)學(xué)的地方一筆帶過.學(xué)生如果在之前并未系統(tǒng)學(xué)習(xí)過這方面的內(nèi)容，將會無所適從.筆者從個人的教學(xué)經(jīng)驗出發(fā)，僅舉兩例加以說明.

第一個例子是在劉名生等編著的《數(shù)學(xué)分析（三）》中的一道習(xí)題，這個題目的證明需要使用n次單位根的性質(zhì)，而中學(xué)數(shù)學(xué)里面有關(guān)復(fù)數(shù)的內(nèi)容已經(jīng)做了大量縮減，大多數(shù)學(xué)生對此知識是一片空白的，此處需要教師做些補充.

第二個例子是正割和余割這兩個三角函數(shù)，很多同學(xué)對此一無所知，盡管其概念五分鐘就可以解釋清楚，但有關(guān)這兩個三角函數(shù)的一些三角變換公式學(xué)生并不熟悉，而這些公式在求導(dǎo)數(shù)、換元法求積分中都要經(jīng)常用到，因此，需要詳細補充.

此外，還有很多需要在教師教學(xué)過程中強化或補充的內(nèi)容，比如，反三角函數(shù)及其定義域和值域，這些內(nèi)容在求導(dǎo)數(shù)和求積分時都是常用到的，需要對學(xué)生進行一個系統(tǒng)的強化;再比如，極坐標變換和參數(shù)方程，這些知識在中學(xué)階段以選修形式出現(xiàn)，并且應(yīng)用不多，大多數(shù)學(xué)生對此部分并不熟悉，極坐標變換在重積分的計算中經(jīng)常用來作坐標變換來簡化積分區(qū)域，而參數(shù)方程在求曲線弧長、曲線積分中經(jīng)常用到.

二、作為引例的初等數(shù)學(xué)

曲線的切線斜率和曲邊梯形面積是經(jīng)常用的從初等數(shù)學(xué)引入概念導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)和定積分的兩個例子，這兩個例子可以很好地體現(xiàn)初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的必要性.

圓的切線斜率是初等數(shù)學(xué)的一個重點，也是我們引入曲線的切線斜率問題的出發(fā)點，由此出發(fā)，從學(xué)生熟知的結(jié)論入手，進而得出更為一般的曲線的切線，其斜率歸結(jié)到一個增量比的極限，從而得到導(dǎo)數(shù)的概念，學(xué)生容易理解，我們在數(shù)學(xué)分析中是把切線的概念推廣，得到應(yīng)用更為廣泛的導(dǎo)數(shù)，從而解決了初等數(shù)學(xué)中無法解決的曲線的切線斜率問題，知識層次上是初等數(shù)學(xué)的一個升華.

規(guī)則平面圖形的面積是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，從長方形或梯形的面積出發(fā)，引出了一般平面圖形的面積的計算問題，進而導(dǎo)出了定積分的概念.

此外，將數(shù)列前n項和的概念推廣到無窮項和就得到級數(shù)的概念，高中數(shù)學(xué)中比較重要的無窮遞縮等比數(shù)列的和可以作為數(shù)項級數(shù)的引例，從而得到重要的等比級數(shù)的概念.將多項式作為引例可以得到冪級數(shù)，將三角函數(shù)進行推廣得到三角級數(shù)和傅立葉級數(shù)，等等，這樣的例子還有很多.

使用初等數(shù)學(xué)的知識作為引例，容易使學(xué)生進入狀態(tài)，知識上更為連貫.更為重要的是，學(xué)生從初等數(shù)學(xué)過渡到數(shù)學(xué)分析，更容易理解數(shù)學(xué)分析解決初等數(shù)學(xué)知識的便捷性和重要性.

本文討論了從初等數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)分析的過渡問題，主要關(guān)注的是如何在現(xiàn)有初等數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)之上，幫助學(xué)生順利學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)分析的知識體系和內(nèi)容.從初等數(shù)學(xué)的知識入手，可以加深對中學(xué)數(shù)學(xué)概念和定義的理解，解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題，同時，可以更為自然地過渡到數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)和理解上，使學(xué)生學(xué)習(xí)得更為輕松和自然.當然，數(shù)學(xué)分析的重點并不是解決一些計算問題，而是對一些邏輯推理和思想方法的理解，從初等數(shù)學(xué)過渡到數(shù)學(xué)分析，也可以幫助學(xué)生對這些內(nèi)容的理解.

【參考文獻】

[1]劉名生，尹景學(xué).數(shù)學(xué)分析（三）[M].北京：科學(xué)出版社，2009.