高中數(shù)學(xué)分析思想在數(shù)學(xué)解答中的應(yīng)用

劉淇

摘 要：在高中數(shù)學(xué)解答之前，數(shù)學(xué)分析有著極其重要的作用。數(shù)學(xué)分析包括分析提意、分析思路、分析方法、分析結(jié)果等。事實(shí)上，數(shù)學(xué)是一門用數(shù)學(xué)符號表示出來的找關(guān)系、尋規(guī)律的學(xué)科，而找關(guān)系、尋規(guī)律離不開數(shù)學(xué)分析的思想。高中數(shù)學(xué)不同于小學(xué)和初中，它要求學(xué)生可以主觀能動地學(xué)習(xí)，獨(dú)立地思考，自主地分析和解決問題。如何將數(shù)學(xué)分析思想應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解答中，是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；數(shù)學(xué)解答；高中；數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1005-5312（2016）35-0266-02

一、高中數(shù)學(xué)分析思想的內(nèi)涵

（一）數(shù)學(xué)審題思想

審題是數(shù)學(xué)解答的第一步，對答題至關(guān)重要。認(rèn)真審題能夠讓學(xué)生對題目中的已知條件和所求問題有一個全面的認(rèn)知。學(xué)生通過審題了解題意，并對題中已知條件進(jìn)行細(xì)致的研究和分析。通過對問題的分析，為問題的解答奠定基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)解答時(shí)，學(xué)生能否掌握題目的關(guān)鍵因素在于審題能力。審題能力強(qiáng)的學(xué)生可以充分理解題意，通過將復(fù)雜的已知條件進(jìn)行系統(tǒng)地歸納整理，發(fā)現(xiàn)隱性條件，從而快速、準(zhǔn)確地解決問題。

示例：sinα+sinβ=2，cosα+cosβ=2/3，求tgα*tgβ的值。

本題已知條件是兩個等式，表面看來與所求的tgα和tgβ之間沒有直接聯(lián)系。但是通過仔細(xì)審題與細(xì)致分析，綜合以前所學(xué)三角函數(shù)關(guān)系推演與轉(zhuǎn)換，可以很快地推演出已知條件與所求之解之間的聯(lián)系。即通過轉(zhuǎn)換tgα*tgβ的乘積形式為相除形式進(jìn)行求解。可見通過對本例的分析，可以發(fā)現(xiàn)審題能力的增強(qiáng)可以幫助學(xué)生對已知條件和所求之解進(jìn)行深入地挖掘。

（二）合理應(yīng)用知識、方法解決問題的思想

高中數(shù)學(xué)可以分為3大類。第一類為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容；第二類為數(shù)學(xué)思想（數(shù)學(xué)分析思想），包括函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論等；第三類為數(shù)學(xué)方法，包括待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、反證法、配方法等。要解決高中數(shù)學(xué)的一些基本問題，必須理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。這些是高中數(shù)學(xué)分析思想的依據(jù)，是數(shù)學(xué)解答的重中之重。在數(shù)學(xué)解答時(shí)，必須對題意作出合理的分析，合理地選擇數(shù)學(xué)知識、思想和方法，迅速、順暢地解決問題。

數(shù)學(xué)分析中常用的方法包括舉一反三法、一題多解法和比較歸納法。先說舉一反三法，課本中的例題，往往是最具代表性的例題，突出教學(xué)的重點(diǎn)。我們在分析和解答了例題之后，應(yīng)該注重發(fā)揮例題以點(diǎn)帶面的功能，嘗試從條件不變問題變和問題不變條件變等方面來綜合分析問題，以達(dá)到舉一反三的目的，提高數(shù)學(xué)分析能力。再說一題多解法，即通過不同的思路，融合不同的思想來求解多方面考慮一個問題，不斷分析找出最佳解法。最后說比較歸納法，即在數(shù)學(xué)分析時(shí)，從不同角度比較相互關(guān)聯(lián)的概念，將同一類問題歸類分析，不同類問題比較分析，從而提高數(shù)學(xué)分析的高效性和準(zhǔn)確性，準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)學(xué)解答。

（三）注重整體思維

嚴(yán)格地說，整體思維不是一種思維，而是一種技巧，一種手段。作為一種技巧，整體思維決定著數(shù)學(xué)分析和問題解決的情況，作為一種手段，它可以提高數(shù)學(xué)解題速度。整體思維的核心是整體處理，整體處理就是在處理問題時(shí)，充分利用整體與部分的關(guān)系，通過整體運(yùn)算，整體代入，整體消元，整體合并等方法，簡化問題解答。

示例：已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓斜率為且過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且與共線。

求：（I）橢圓的離心率；

（II）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，求證：為定值。

本題考查的基本知識包括直線方程、平面向量和橢圓的幾何性質(zhì)，充分體現(xiàn)了整體思維是數(shù)學(xué)分析思想的重要組成部分，是數(shù)學(xué)解答的關(guān)鍵。如果不能將直線方程、平面向量和橢圓的幾何性質(zhì)綜合考慮分析，就能準(zhǔn)確快速地對本題作出解答。

（四）數(shù)學(xué)建模的思想

數(shù)學(xué)建模是根據(jù)題目的表述建立數(shù)學(xué)模型，并用反證法或數(shù)學(xué)歸納法等方法證明模型的準(zhǔn)確性，最后根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型對求出數(shù)學(xué)問題的最優(yōu)解。學(xué)生分析和解決問題的能力決定著數(shù)學(xué)建模的能力。高中學(xué)生，特別是高三學(xué)生面臨高考的壓力，所以在培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力時(shí)，不僅要完善學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，更重要的是對數(shù)學(xué)能力的實(shí)際應(yīng)用，這對于高考來說是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)建模思想可以為學(xué)生提供核心有效的數(shù)學(xué)解答的思想。因此，在培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力時(shí)，必須重視其數(shù)學(xué)建模能力。

示例：冷軋機(jī)由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出。輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度為β，若每對軋輥的減薄率不超過r，問冷軋機(jī)至少需要安裝多少對軋輥？

本題首先考察學(xué)生的文字轉(zhuǎn)化能力。讀懂題意之后，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是正確解答本題的關(guān)鍵。只有正確建立冷軋機(jī)工作模型，才能更好地理解題意，正確地分析問題，準(zhǔn)確地求解問題。因此，數(shù)學(xué)建模能力不僅是分析和解決實(shí)

際應(yīng)用問題的重要途徑和核心， 而且是數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)解答過程中不可或缺部分。

二、數(shù)學(xué)分析思想與高中數(shù)學(xué)解答的聯(lián)系

數(shù)學(xué)分析是根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成的一些概念。當(dāng)前數(shù)學(xué)分析中的一些重點(diǎn)，如導(dǎo)數(shù)、積分、無窮級數(shù)的收斂等都是根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)的一些基礎(chǔ)知識演變而來。一些中學(xué)代數(shù)和幾何無法解決的問題可以運(yùn)用數(shù)學(xué)分析有效地解決出來。從這一點(diǎn)看來，數(shù)學(xué)分析是為了解決中學(xué)數(shù)學(xué)不能解決的問題而逐漸發(fā)展起來的一門學(xué)科。由此可見，數(shù)學(xué)分析思想早已根深蒂固地融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)。因此，在進(jìn)行數(shù)學(xué)解答時(shí)，提前的數(shù)學(xué)分析是至關(guān)重要的。

數(shù)學(xué)分析對函數(shù)性質(zhì)的研究是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的。通常情況下，實(shí)數(shù)一般分為有理數(shù)和無理數(shù)兩種。但是中學(xué)數(shù)學(xué)無法回答，或者說中學(xué)學(xué)生無法理解無理數(shù)的一些問題。在中學(xué)數(shù)學(xué)解答過程中，函數(shù)是比較重要的內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)主要研究函數(shù)的一些簡單性質(zhì)和概念圖像，討論的內(nèi)容也僅僅局限于函數(shù)的定義域、值域、交點(diǎn)和極值等。在數(shù)學(xué)分析中，利用微積分去研究函數(shù)的解答是一個簡單易行的方法。事實(shí)上，數(shù)學(xué)分析源于高中數(shù)學(xué)解答。對于高中生而言，在數(shù)學(xué)解答過程中，會出現(xiàn)諸如函數(shù)、無理數(shù)等一些無法簡單理解的問題，這就需要數(shù)學(xué)分析來進(jìn)行論證，并推演出通用的、合情合理的解決方案。

三、如何將數(shù)學(xué)分析思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)解答

（一）重視基礎(chǔ)知識， 重視領(lǐng)悟、概括和提煉常見的數(shù)學(xué)分析思想和方法

扎實(shí)的基礎(chǔ)知識是數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)解答的關(guān)鍵，是提高思維水平和數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵。在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中，離不開數(shù)學(xué)分析思想的支持中。事實(shí)上，數(shù)學(xué)分析思想是一種數(shù)學(xué)意識，用來認(rèn)識、處理和解決數(shù)學(xué)問題。在數(shù)學(xué)解答過程中，數(shù)學(xué)解答的方法主要體現(xiàn)于數(shù)學(xué)分析思想，它可以決定解題的手段，具有模式化和易操作的特性。高中學(xué)生在數(shù)學(xué)解答時(shí)，需要綜合運(yùn)用所學(xué)知識，認(rèn)真領(lǐng)悟、概括并提煉某一數(shù)學(xué)思想，通過分析得出最有解決方法，這就是數(shù)學(xué)分析思想在數(shù)學(xué)解答中的應(yīng)用。對于高中學(xué)生而言，只有掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，靈活的數(shù)學(xué)基本技能，弄清知識系統(tǒng)內(nèi)在的聯(lián)系，才能具備優(yōu)秀的數(shù)學(xué)分析思想和數(shù)學(xué)分析能力。只有在數(shù)學(xué)分析時(shí)將各知識體系之間的交叉、滲透綜合起來，才能在數(shù)學(xué)解答時(shí)靈活自如地運(yùn)用數(shù)學(xué)分析思想，準(zhǔn)確地概括和提煉題意，得心應(yīng)手地解答問題。

（二）加強(qiáng)對知識的綜合分析與應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)解題時(shí)運(yùn)用知識模式化的能力

高中數(shù)學(xué)解答是充滿模式的。只有合理地運(yùn)用知識和模式，才能合理地提高高中學(xué)生分析問題和解決問題的能力。事實(shí)上，情境的創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)定義、公式、定理和性質(zhì)等，對加固學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有著至關(guān)重要的作用。在學(xué)生對數(shù)學(xué)定義、公式和性質(zhì)有了一定了解之后，再引入適當(dāng)?shù)鼐C合提型來鞏固和強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)知識，提高其數(shù)學(xué)分析能力，提高其數(shù)學(xué)解答的準(zhǔn)確性，加快其數(shù)學(xué)解答速度。在數(shù)學(xué)解答過程中，通過利用數(shù)學(xué)分析的方法，學(xué)生能夠自主地總結(jié)、歸納各種題型的解題模式。只有這樣，學(xué)生才有能力在數(shù)學(xué)解答過程中有的放矢，合理運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)思想和方法去解決各種數(shù)學(xué)問題。

（三）進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練， 開拓學(xué)生知識面

在數(shù)學(xué)解答之前，只有分析清楚所要解答的問題屬于哪一種類型，才能快速準(zhǔn)確地作出解答。但是，實(shí)際中往往會出現(xiàn)一些讓學(xué)生根本摸不著邊的題型。出現(xiàn)這個問題的根本原因在于學(xué)生缺乏創(chuàng)新能力。事實(shí)上，學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)離不開新穎、靈活的問題模式，離不開多角度、多方位地思考問題。只有這樣，才能分析出合理解決問題的方法。換句話說，創(chuàng)新能力決定著學(xué)生分析問題和解決問題的能力。為了提高高中學(xué)生的創(chuàng)新能力，老師可以在教學(xué)過程中選擇適量的開放題和新型題進(jìn)行訓(xùn)練，這對于避免學(xué)生避免學(xué)生在數(shù)學(xué)解答時(shí)按照已學(xué)的某種固定模式去套、去思考或者按照形成的某種特定思維去分析，甚至束手無策，拓展學(xué)生知識面，牢固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，增強(qiáng)學(xué)生分析問題和解決問題地能力有著至關(guān)重要的作用。

（四）重視對問題的回顧，增強(qiáng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)造意識

數(shù)學(xué)解答過程包括審題、分析題意、分析思路。在分析解決方案時(shí)，我們需要運(yùn)用所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型，合理推理并得出結(jié)論，最后再回顧和反思前面環(huán)節(jié)是否出現(xiàn)差錯。各個環(huán)節(jié)之間相互鏈接，環(huán)環(huán)相扣。數(shù)學(xué)解答的最終目的不單純是對于結(jié)果的追求，更重要的是提高學(xué)生分析和解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造意識，這些恰恰需要通過回顧和反思問題來實(shí)現(xiàn)。因此，在數(shù)學(xué)解答過程中，重視分析回顧所求問題，對增強(qiáng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)造意識至關(guān)重要。

新課改下，高中數(shù)學(xué)體系更注重對學(xué)生思考和探索能力的培養(yǎng)。不斷思考可以加深學(xué)生更好地理解所學(xué)知識，勤于探索則可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力。一個學(xué)生思考和探索能力的提高，在某種意義上可以提高其歸納和分析問題的能力。對于常見例題，如果學(xué)生可以在老師講解之前發(fā)表自己的想法和解題技巧，那么這個學(xué)生就具備了寶貴的思考和探索能力，在數(shù)學(xué)解答時(shí)，可以憑借這項(xiàng)能力很快地進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，得出最優(yōu)的結(jié)果。事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)解答離不開數(shù)學(xué)分析，而思考與探索正是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分。

重視培養(yǎng)學(xué)生概括、歸納數(shù)學(xué)解題方法的能力

數(shù)學(xué)分析思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)解答過程中起著至關(guān)重要的作用。毫不夸張的說，數(shù)學(xué)分析思想在數(shù)學(xué)解答過程中比數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識占有更重要的比重，它代表著學(xué)生解答問題的思路和意識，貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)解答的整個過程。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)分析思想的關(guān)鍵之一在于培養(yǎng)學(xué)生概括，歸納數(shù)學(xué)解題方法的能力，只有具備這種能力，學(xué)生才能更好地認(rèn)識、分析和解答問題?？傊?，學(xué)會概括和歸納自己所學(xué)的數(shù)學(xué)解答之法，才能在數(shù)學(xué)分析時(shí)對各種數(shù)學(xué)方法運(yùn)用自如，不僅對于數(shù)學(xué)解答有著巨大幫助，也會讓學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中受益匪淺。

參考文獻(xiàn)：

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