應重視數(shù)學實驗中的理性思維

殷麗萍

摘? 要：數(shù)學實驗不僅是學生的實踐方式，更是學生的認知方式。當下的數(shù)學實驗，最為缺失的是學生的理性思維。其表現(xiàn)為教師把控的“被實驗”、束縛思維的“統(tǒng)實驗”和抹殺過程的“虛實驗”。在數(shù)學實驗中發(fā)展學生理性思維，需要融合學生經(jīng)驗、智慧與創(chuàng)造。

關鍵詞：數(shù)學教學;數(shù)學實驗;理性思維

數(shù)學實驗不僅是學生的實踐方式，更是認知方式。實驗過程就是學生在一定猜想、假設下，借助儀器或技術手段，通過數(shù)學化活動（包括觀察、操作等外顯活動和分析、推理等內隱思維活動）來理解、解釋、建構數(shù)學的過程 [1]。這個過程既包括探究，也包括驗證。數(shù)學實驗常借助操作，但數(shù)學實驗絕不能等同于操作。只有蘊含數(shù)學思維、想象的操作，才能被稱為數(shù)學實驗。

一、數(shù)學實驗中理性思維的缺失

實驗與操作既有聯(lián)系又有區(qū)別。當下，某些教師對實驗存在著誤解、誤讀乃至認識誤區(qū)。他們認為，只要讓學生操作了，也就是實驗了。由此導致實驗中學生理性思維的缺失。學生只滿足于動手做，有時完全淪落為一個操作工。實驗缺乏明顯的指向性、探索性。

1. 教師把控的“被實驗”

數(shù)學實驗應是學生提出假設、設計方案、操作探索、獲取結論的過程 [2]。教學中，筆者發(fā)現(xiàn)，許多教師不僅給學生提供實驗素材，而且預設實驗流程，實驗完全是教師把控下的實驗，學生完全處于被動狀態(tài)。一位教師教學《釘子板上的多邊形》，用學習單給出了三個活動，讓學生分別探究“圖形內釘子數(shù)為1”“圖形內釘子數(shù)為2”“圖形內釘子數(shù)為3”的圖形面積，從而不完全歸納出“皮克定理”。實驗過程中，學生完全按教師指示進行。盡管實驗過程一帆風順，但當所有素材由教師提供、所有步驟由教師規(guī)定、所有過程由教師掌控時，學生以后遇到類似探究，還能自主設計、開展實驗活動嗎？這里，學生按部就班，探究能力并沒有得到顯著提升。

2. 束縛思維的“統(tǒng)實驗”

由于學生生活經(jīng)歷不同，所以學生生活經(jīng)驗、學科經(jīng)驗也不同。教師應尊重差異，允許學生用自己的方式進行研究。但遺憾的是，許多實驗往往抹殺學生差異，以大一統(tǒng)方式展開。一位教師教學《圓柱的側面積》，要求學生沿著高將圓柱側面展開。于是，學生齊刷刷用剪刀將圓柱側面商標紙沿著高剪下來，形成長方形。然后，教師引導學生比較長方形和圓柱側面，形成側面積公式。盡管得出了實驗結果，但實驗過程卻是單薄的。學生沒有經(jīng)過嘗試、探索、思考，完全是步調一致地操作著。這種實驗沒有充分發(fā)揮實驗功能，反而將學生思維束縛，淹沒了個體思考，如有學生曾想將圓柱側面斜著剪，有學生曾想將圓柱曲折剪等。

3. 抹殺過程的“虛實驗”

數(shù)學實驗應當讓學生充分地經(jīng)歷過程，只有這樣，學生的感受、體驗才是深刻的。實驗過程難免會出現(xiàn)錯誤、失誤、誤差，教師應允許實驗中的“不和諧音符”。遺憾的是，許多教師眼中只有目標，對于實驗過程中可能出現(xiàn)的分歧、分叉急于抹平，將實驗拉回預設軌道。更有教師，為追求結果一步到位，對學生進行前置告知，由此導致學生思維膚淺。一位教師教學《可能性》，由于懼怕實驗過程中的意外生成，將豐富生動的“做實驗”簡化為“演實驗”“講實驗”“說實驗”。為了讓學生信服“等可能性”，教師用多媒體課件直接出示國外數(shù)學家研究“等可能性”的“拋硬幣”數(shù)據(jù)統(tǒng)計。學生只是模糊地感知到“等可能性”，但缺乏隨機體驗，更沒有形成概率思想。

二、數(shù)學實驗中理性思維的發(fā)展

數(shù)學實驗的目的是將學生從傳統(tǒng)紙筆數(shù)學中解放出來，形成以操作為主要特征的活動。數(shù)學實驗讓學生的學習方式從“動筆”轉向“動手”，從“學習”轉向“研究”。教學中，教師要將學生動手操作與理性思維結合起來，形成數(shù)學學習生長點。

1. 融合經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)實驗之理

杜威深刻地指出：“發(fā)展中的經(jīng)驗就是所謂的思維。”數(shù)學實驗應當融合學生經(jīng)驗，以經(jīng)驗為起點，調動學生主觀能動性，讓學生在實驗活動中積極參與、充分體驗，形成對數(shù)學實驗的理解。引導學生透過數(shù)學實驗表層、直觀現(xiàn)象去觸摸深層思想內核，體悟并習得實驗背后的數(shù)學本質 [3]。

教學《三角形三邊關系》，許多教師都會讓學生用小棒搭建三角形探索三邊關系。學生通過經(jīng)驗性操作，能認識到當兩邊之和大于第三邊時，能圍成三角形，因為圍成三角形的另兩根小棒可以拱起來。但在研究兩邊之和等于第三邊時，學生猶疑不決，有學生認為可以圍成三角形，因為兩根小棒也拱起來了（注：其實是由于小棒厚度造成的），有學生認為不可以圍成三角形。經(jīng)驗性實驗遭遇尷尬，但卻為學生推理性實驗、思維性實驗積淀了經(jīng)驗性基礎。在操作實驗基礎上，筆者引導學生畫三角形，在畫的過程中學生發(fā)現(xiàn)，當兩條線段長度之和等于第三條線段時，不能拱起來，因而不能圍成三角形。畫圖實驗成為學生純推理、純思維實驗的先導。學生將畫出的三角形看成是任意兩點之間的連線，顯然直線最短。所以三角形任意兩條邊長度之和必然大于第三條邊。

弗賴登塔爾認為，數(shù)學知識有程序性知識和思辨性知識?！叭切稳呹P系”屬于程序性知識，但又帶有思辨性質，是橫跨經(jīng)驗的超驗性知識。在實驗過程中，一方面要引導學生進行操作實驗，分析和解決問題;另一方面又要激發(fā)學生思維，引發(fā)思維互助、共振，并向數(shù)學學習最優(yōu)化方向發(fā)展。

2. 融合智慧，優(yōu)化實驗之態(tài)

借助數(shù)學實驗建構數(shù)學概念是一個動態(tài)過程，也是學生主動理解數(shù)學的重要方式、路徑。在實驗過程中，教師要將學生動手做活動與智慧培育融合起來，形成操作與思維共舞、與智慧共融的具身認知。在動手做過程中，要打開學生被掩蓋的思維軌跡，讓學生主動觀察、推理、想象，主動剪拼、繪制等。引導學生主動參與數(shù)學學習，增強實驗融入度，激發(fā)學生數(shù)學創(chuàng)造潛質。

教學《長方體和正方體》，有這樣一道習題：將一個長為26厘米、寬為18厘米的長方形紙，分別在四個角剪去邊長為4厘米的正方形，折成一個無蓋紙盒，盒子容積是多少？這樣的習題，一般教師在教學時往往著眼于問題解決，讓學生展開數(shù)學操作。但這種動手操作往往就是學生做手工。只是將一個平面圖形演變?yōu)榱Ⅲw圖形，如此而已。筆者在教學時，融入學生智慧，將習題向更深處推進，要求學生帶著問題深度實驗：將一張正方形紙的四個角剪去四個正方形后折成無蓋長方體，怎樣剪，長方體紙盒的容積最大？學生分小組展開實驗，將1號正方形（邊長為6厘米）、2號正方形（邊長為12厘米）、3號正方形（邊長為18厘米）、4號正方形（邊長為24厘米）紙分別剪開，然后折成長方體。經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，學生得出這樣的結論：當減去的小正方形邊長是大正方形邊長的六分之一時，折成的長方形紙盒容積最大。

這樣的數(shù)學實驗，學生經(jīng)歷了猜想、驗證、記錄、計算和分析的智慧實踐過程。學生意猶未盡，課后不斷假設正方形，探究規(guī)律。由此及彼、由表及里，不斷發(fā)現(xiàn)問題并解決問題。借助實驗，將“操作”與“智慧”完美結合，讓兩者相互促進、融合，形成深度理解。

3. 融合創(chuàng)造，欣賞實驗之美

在數(shù)學實驗過程中，教師要激發(fā)學生數(shù)學直覺，引發(fā)數(shù)學聯(lián)想，助推學生數(shù)學驗證、推理，讓學生能探索新問題、發(fā)現(xiàn)新規(guī)律。數(shù)學實驗解放了學生的手腦，讓學生數(shù)學創(chuàng)造成為可能。融合創(chuàng)造，不僅能改變學生的認知方式，而且能改變學生的審美方式、行動方式，讓學生數(shù)學學習變得有趣、生動。

教學《長方形、正方形面積》后，筆者借助推導過程中的“擺方格”，設計了這樣的數(shù)學實驗：用36個邊長為1厘米的小正方形拼成長方形，一共可以形成多少種不同規(guī)格？哪一種規(guī)格周長最大？學生剛開始擺往往是無序的。但擺著擺著，學生思路逐漸明晰起來，他們從“每行36個，擺一行”開始探索。當擺了兩種不同規(guī)格后，學生又擺脫實物操作，用列舉法，將不同規(guī)格的長方形及它們的周長列舉出來。結果發(fā)現(xiàn)，面積相等的長方形，長和寬越接近，周長越短。有了這種發(fā)現(xiàn)，學生猜想：是否所有周長相等的長方形都具有這種規(guī)律？由此展開了深度探索。在此基礎上，學生進一步猜想：周長相等的長方形，面積大小又有著怎樣的規(guī)律？通過實驗，學生們也發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。在整個過程中，學生的思維是發(fā)散的、變通的，他們大膽比較、質疑、論證。實驗與創(chuàng)造交融，讓學生思維品質獲得最大生長。

弗賴登塔爾說，“學習數(shù)學唯一正確的方法是實行再創(chuàng)造，也就是由學生本人把要學的東西，自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來”。數(shù)學實驗賦予了學生較大的學習自由和探索空間。在實驗過程中，學生能整合自身經(jīng)驗、能力，獲得創(chuàng)造性認知和行動。

伽達默爾說，“文本解讀的過程就是一個讀者視界與文本視界相互融合的過程”。數(shù)學實驗，就是師生將實驗資源、素材等有機組合，讓實踐操作和理性思維不斷走向融合。學生“學做玩共生、思創(chuàng)行一體”，由學習者轉變?yōu)檠芯空?、探索者和發(fā)現(xiàn)者。

參考文獻：

[1]? 劉正松. 小學數(shù)學實驗開發(fā)設計原則與方法例談[J]. 江蘇教育， 2016（5）.

[2]? 曹彬. 讓數(shù)學實驗成為學生思維的生長點[J]. 教學與管理（小學版）， 2017（5）.

[3]? 王嵐. “做中學”中“做數(shù)學”——小學數(shù)學實驗教學的實施策略[J]. 上海教育科研， 2015（6）.