從考題中來 回到課本中去*
——例談高考三角函數(shù)復習備考策略

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(云南師范大學數(shù)學學院,云南 昆明 650500)

1 考點回顧

1.1 考點分布

近幾年的數(shù)學高考試題主要考查三角函數(shù)的概念、誘導公式與三角恒等變換，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解三角形，三角函數(shù)與向量、幾何、不等式的綜合應用這4個方面.

1.2 分值比重

分值穩(wěn)定在17～22分，所占比重較大，如果涉及向量、立體幾何、解析幾何、坐標系與參數(shù)方程等部分的內(nèi)容，那么比重將會更大.

1.3 整體難度分析

不論是全國數(shù)學高考卷還是北京、江蘇、浙江等課改試驗區(qū)的單獨命題試卷，對三角函數(shù)的命題近幾年都大致呈現(xiàn)著起點低、坡度緩、知識立意與能力立意并重的特點，既考查基礎(chǔ)知識與基本技能，又著重考查基本思想；亦不乏設置探究性相對較強的題目，重在考查學生的探究能力和運用基礎(chǔ)知識和基本技能解決實際問題的能力；突出對核心素養(yǎng)的考查，既體現(xiàn)數(shù)學抽象又注重邏輯推理，落腳點在數(shù)學運算，往往以考查數(shù)學建模為目的，滲透直觀想象.綜上分析，數(shù)學的命題始終基于核心素養(yǎng)，嚴格執(zhí)行課程標準和考試說明相關(guān)要求，突出高考選拔性功能的同時又體現(xiàn)大穩(wěn)定小調(diào)整的總體命題基調(diào).

1.4 考點預測與展望

結(jié)合歷年數(shù)學高考試題的題型設置、知識點分布、呈現(xiàn)方式、與其他知識點的交匯情況可以預測新一年的高考命題重點.其中，三角函數(shù)的概念、誘導公式與三角恒等變換考查更多的是基礎(chǔ)知識和數(shù)學運算；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考查更多的是數(shù)學抽象和直觀想象；解三角形多以數(shù)學建模的形式考查學生利用基礎(chǔ)知識和基本技能解決實際問題的能力；三角函數(shù)與向量、幾何、不等式的綜合應用重在體現(xiàn)三角函數(shù)在解決實際問題中的重要價值，往往滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、類比、分類討論等數(shù)學思想.

2 典題剖析

2.1 考查三角函數(shù)的概念、誘導公式與三角恒等變換

(2018年全國數(shù)學高考卷Ⅰ文科試題第11題)

(2018年全國數(shù)學高考卷Ⅱ文科試題第15題)

例3已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin(α+β)=______．

(2018年全國數(shù)學高考卷Ⅱ理科試題第15題)

例2重點考查誘導公式與兩角和與差的正切公式，易錯點在于對誘導公式的理解不到位，導致學生誘導時符號出錯.同時本題還考查了兩角差的正切公式，雖然運算難度不大，但是容易出錯，這就要求學生在學習的過程中注意細節(jié)的把握.

2.2 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

例4若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是減函數(shù)，則a的最大值是

( )

(2018年全國數(shù)學高考卷Ⅱ理科試題第10題)

該題從輔助角公式入手，重在考查學生轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，同時以三角函數(shù)的單調(diào)性為背景考查不等式的計算與處理能力，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想.當然本題也可以利用導數(shù)研究單調(diào)性從而得出正解.易錯點在于學生不能靈活把握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而在解不等式時達不到簡化計算的目的,另外普遍的錯解在于學生簡單地認為2a是f(x)的半個周期.

( )

A．f(x)的一個周期為-2π

(2017年全國數(shù)學高考卷Ⅲ理科試題第6題)

本題難度不大，但是對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考查得比較全面，將零點的概念考查進來，充分體現(xiàn)了在知識交匯處命題的意圖.學生不注意細節(jié)往往導致求解錯誤，尤其是對周期的理解和單調(diào)區(qū)間的理解.

2.3 解三角形

對該知識點的考查往往基于學生對平面幾何知識的理解和掌握，以三角形的面積問題、周長問題、外接圓半徑等問題為載體，以正弦定理和余弦定理為主要工具計算求解三角形的邊角關(guān)系，再利用三角恒等變換進行運算推理，意在考查數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).該類題的易錯點在于學生不具有較強的運算求解能力和邏輯推理能力，往往因為運算錯誤丟分.此類題型既出現(xiàn)于解答題又出現(xiàn)于客觀題.

(2018年全國數(shù)學高考卷Ⅱ文科試題第7題)

例7在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

1)求cos∠ADB；

(2018年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題第17題)

對于以上兩個典型例題，我們透過現(xiàn)象看本質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)這兩道題均是借助正余弦定理和平面幾何的基礎(chǔ)知識解決三角形的邊角關(guān)系以及三角形的面積問題，運算主要集中于三角恒等變換，難度中等偏下.

2.4 三角函數(shù)與向量、幾何、不等式的綜合

(2014年陜西省數(shù)學高考理科試題第13題)

例9在極坐標系中，直線ρcosθ+ρsinθ=a(其中a>0)與圓ρ=2cosθ相切，則a=______．

(2018年北京市數(shù)學高考理科試題第10題)

例10在平面直角坐標系中，記d為點P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離，當θ,m變化時，d的最大值為______.

(2018年北京市數(shù)學高考理科試題第7題)

以上3個例題分別是三角函數(shù)與向量、解析幾何、不等式的綜合應用考題，難度不大.在知識點交匯處命題，這就要求學生的基本功必須扎實，知識儲備要達到一定的水平，同時還需要具備一定的運用基礎(chǔ)知識解決實際問題的能力.學生往往在一些易混知識點上出錯.

3 復習備考建議

3.1 落實雙基

通過對課標及考綱的解讀，以及對三角函數(shù)?？贾R點及常見題型的分析可以看出，本部分知識點在高考中所占比重較大，出題視角較寬，但是總體難度不大，方法相對單一，變化不大，學生容易上手；常在知識交匯點處命題，重在考查學生綜合運用所學知識解決一些實際問題的能力，需要在復習備考中緊抓基礎(chǔ)知識與基本技能，注重常規(guī)常法，重在培育學生的數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)，不僅要學到知識更要形成適應社會發(fā)展的必備品格和關(guān)鍵能力，最終學會用數(shù)學的眼光觀察世界[1].

3.2 回歸教材，注重變式

高考對本部分知識點的考查以及試題的呈現(xiàn)方式不乏有課本例題或是習題的影子，因此緊扣課本、回歸課本，注重對課本例題與習題的挖掘是新一輪復習備考必須要落實的事情，只有這樣才可能逃離枯燥乏味的題海，真正提高復習備考效率[2].

3.3 滲透思想，培育核心素養(yǎng)

思想是靈魂，核心素養(yǎng)是關(guān)鍵能力和必備品質(zhì).考查的知識點雖然相對穩(wěn)定，但是考題卻富有思想，學生只有充分把握整體，具有較強的整體意識，才能在具有靈魂的考卷上答出滿意的分數(shù)，這就需要我們在復習備考過程中注重思想方法的滲透與數(shù)學核心素養(yǎng)的培育.

3.4 注重過程，緊扣本質(zhì)

復習備考過程中總需要適量的練習題來鞏固所學知識點以及提升學生的運算能力和邏輯思維能力，在練習的過程中不能就題論題，要學會挖掘問題的本質(zhì)，緊扣本質(zhì)，體會知識的形成過程和題目的命制意圖，找準解題突破口，總結(jié)一般規(guī)律，以不變應萬變，將數(shù)學的備考輕量化、高效化[3].

4 精題集萃

筆者就課本上一些典型的例題與練習題進行適當?shù)淖兪?，從而為廣大師生提供參考.

(人教A版《數(shù)學(必修4)》第22頁B組第3題)

(人教A版《數(shù)學(必修4)》第147頁B組第1題)