把錯因之脈 施辯證之法*──關(guān)于一道競賽題的證明、變式及推廣

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(武功縣教育局教研室，陜西 武功 712200)

在數(shù)學(xué)解題過程中,學(xué)生的思路出現(xiàn)問題是很正常的.在這種情況下,教師切不可輕易地放棄學(xué)生的解題思路,強(qiáng)制學(xué)生按照教師提供的方法來完成解題,那樣做往往會阻礙學(xué)生的思維發(fā)展,甚至扼殺學(xué)生的創(chuàng)造性思維.因此,教師要善于從學(xué)生出現(xiàn)的問題中辯證地分析錯因所在,做到因勢利導(dǎo),對癥下藥,這樣才能清除學(xué)生的思維障礙,引領(lǐng)學(xué)生思維沿著正確的方向前行.

1 問題提出

題目已知a,b,c≥0，且a+b+c=1，求證：

(1)

(2007年中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克試題第6題)

有一位學(xué)生試圖利用熟知的不等式

(2)

到此,這位學(xué)生的證明失敗,于是他提出了一個問題：對不等式(1),用這種方法能證明嗎？

2 問題解決

在數(shù)學(xué)解題中,解題方法的確定十分重要,尤其是入手時角度的選擇對整個解題起著舉足輕重的作用.上面這位學(xué)生確定用不等式(2)證明不等式(1),解題方法是對的,因?yàn)閺氖?1)左邊的結(jié)構(gòu)上看確實(shí)適合用不等式(2),但問題是一開始就直接使用不等式(2)進(jìn)行放縮,導(dǎo)致因放縮的步子過大而使證明失敗.如果將放縮的步子放慢一步,那么能使問題得到解決嗎？

方案1用假設(shè)法開路，借助換元，激活方程思想.

(3)

(4)

那么上述失敗的證法可以修改為

從而使問題得到解決.

現(xiàn)在，我們來探索一下正實(shí)數(shù)p，q是否存在呢？由式(3)和式(4)，得到

這樣，我們就找到了滿足條件的正實(shí)數(shù)p和q，方案1可行.

方案2從不等式入手，合理放縮，優(yōu)化解決途徑.

方案1雖然能解決問題，但是得到的兩個正實(shí)數(shù)p和q的表達(dá)式很復(fù)雜，能否得到簡化呢？

(5)

不等式(1)就可以轉(zhuǎn)化為它的一個加強(qiáng)不等式：

(6)

下面按照方案1的思路探尋式(6)的證明.

于是式(6)成立，故式(1)成立.

評注2不等式(2)是證明不等式的基本工具,但在具體應(yīng)用時要靈活掌握時機(jī),特別注意“先用”與“后用”的問題.“先用”有時會造成不等式放縮的步子過快,導(dǎo)致證題失效；“后用”雖然將不等式放縮的步子變慢了一些,但常常能“后發(fā)制人”,收到良好的效果.

3 問題變式

對以上證法進(jìn)行反思，我們可以通過改變式(1)左邊各項(xiàng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，得到下面4種變式：

4 問題推廣

證明由于

數(shù)學(xué)解題的過程是一項(xiàng)復(fù)雜又細(xì)致的思維工程.解題的方法和策略往往與學(xué)生掌握的知識程度、思維水平緊密相關(guān),因?yàn)閷W(xué)生的基礎(chǔ)不同,能力又有差異,所以解題中經(jīng)常會出現(xiàn)不同的解法.在這種情況下,教師必須從學(xué)生的角度出發(fā)，幫助學(xué)生對存在的問題進(jìn)行準(zhǔn)確地把脈與診斷，有針對性地找出解決問題的突破口，這樣才能從源頭上徹底激活學(xué)生的思維,引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力穩(wěn)步、健康地發(fā)展.