創(chuàng)造性挖掘教材 針對性提升素養(yǎng)*
——“橢圓標準方程的應用”教學札記

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(惠安第三中學，福建 惠安 362100)

首都師范大學王尚志教授指出：教師在教學中要全面落實“立德樹人”要求，深入挖掘?qū)W科的育人價值，樹立以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為導向的教學意識．通過教育促進學生各學科素養(yǎng)的發(fā)展，從整體把握學科課程，抓住學科本質(zhì)，進行主題(單元)教學，以問題引領意識，為學生創(chuàng)設合適情境，促進學生學會學習，使學生成為全面發(fā)展的人．教師在教學實踐中要結(jié)合情境不斷探索和創(chuàng)新教學方式，有效提升學生的各學科基本能力，實現(xiàn)普通高中各學科的課程目標.

之于數(shù)學教學而言，其學科核心素養(yǎng)體現(xiàn)在數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)處理這六大方面，這無疑為我們的日常教學定位指明了方向，也為評價課堂教學的有效性提供了參照.筆者認為：教師是落實核心素養(yǎng)教育體系的執(zhí)行者，課堂教學是培育學科核心素養(yǎng)的主陣地，教材知識是提升核心素養(yǎng)的重要源泉(載體)[1].

下面筆者通過截取人教A版《數(shù)學(選修2-1)》教材中“橢圓及其標準方程”中的一段推導過程，創(chuàng)造性地給予變形拓展，充分挖掘教材知識的教育價值，引領學生一同經(jīng)歷數(shù)學運算處理、尋求數(shù)學模型、發(fā)揮直觀想象等過程，促使學生主動參與教學活動、積極探究數(shù)學問題，從而有針對性地培育、提升學生的學科綜合素養(yǎng).

1 教學目標

1)由橢圓的標準方程探究橢圓的定義及性質(zhì)，通過數(shù)學運算變形、發(fā)現(xiàn)歸納、主動探索數(shù)學問題，感受橢圓標準方程的強大功能；

2)引導學生積極參與數(shù)學運算處理，建構(gòu)合理幾何模型，加強知識橫向聯(lián)系，自然滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程和轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學思想；

3)著力提升學生在數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理等方面的學科素養(yǎng)．

2 教學重點

由橢圓的標準方程探究橢圓的定義及性質(zhì)．

3 教學難點

橢圓標準方程及其定義與性質(zhì)的靈活運用．

4 教學過程

4.1 復習引入

4.1.1 橢圓的定義及其標準方程

|MF1|+|MF2|=2a(其中2a<|F1F2|),

設計意圖復習橢圓的定義及其標準方程形式，強調(diào)橢圓定義是推導橢圓標準方程的依據(jù)，也為展開本節(jié)教學活動奠定知識根基.

圖1

4.1.2 橢圓標準方程的推導

引導學生回顧閱讀人教A版《數(shù)學(選修2-1)》中“橢圓及其標準方程”中的推導過程：如圖1，以直線F1F2為x軸、線段F1F2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系xOy．設點M(x,y)是橢圓上任一點，橢圓的焦距為2c(其中c>0)，則焦點F1(-c,0),F2(c,0)．由|MF1|+|MF2|=2a(其中2a>2c)得

將左邊的一個根式移到右邊，得

兩邊平方，整理得

(1)

兩邊再平方得

a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2=a4-2a2cx+c2x2,

即

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，

亦即

設計意圖鼓勵學生積極參與橢圓方程的推導及生成過程，掌握數(shù)學運算、數(shù)據(jù)處理和變形優(yōu)化等技巧，感受橢圓標準方程形式的簡潔美與整齊美.另外，“溫故而知新”,以上復習引入環(huán)節(jié)也為開展探究活動提供了素材和鋪墊.

4.2 研探新知

對于橢圓的標準方程，學生往往只在乎標準方程的結(jié)果形式，忽略了其生成及推導的過程．其實橢圓的標準方程“簡約不簡單，平淡不平凡”，其功能強大、意義非凡.

4.2.1 橢圓的第二定義

教師引導學生觀察上述推導過程中式(1)的結(jié)構(gòu)特征，鼓勵學生探尋其中蘊藏的幾何模型及幾何意義：將上述式(1)兩邊同時除以a，可得到

這說明求橢圓上的點到右焦點的距離可簡化為關于“a-ex”的計算．類似地，上述推導過程也可變形推得

于是自然地得到橢圓的焦半徑公式：

|MF1|=a+ex0， |MF2|=a-ex0．

設計意圖在橢圓已有的推導過程中稍微“變動”即可自然得出焦半徑公式，比兩點間距離求焦半徑的運算簡化多了，并且也再次印證了橢圓的定義|MF1|+|MF2|=2a，這無疑讓學生瞬間獲得運算簡捷并與定義前呼后應的喜悅感．當然也敦促學生意識到：只有真正動手參與到方程推導的具體運算中、多加反思琢磨、深入探究方可發(fā)現(xiàn)其中的奧妙所在.這就將學生對數(shù)學的被動運算激發(fā)為自身主動參與，數(shù)學運算素養(yǎng)鍛煉的必要性不言而喻.

圖2

(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題第17題改編)

分析1不妨設A(x1,y1)，B(x2,y2),則

依題意得

分析2不妨設A(x1,y1)，B(x2,y2),則

(2)

(3)

代入式(3),得

(4)

點評橢圓標準方程不僅刻畫了橢圓上點的橫、縱坐標之間的等量關系，也是我們進行等量代換、等價變形、消元化簡的運算樞紐，還是構(gòu)建幾何模型、揭示幾何意義的重要載體.

設計意圖例1的設置旨在鞏固師生剛剛探究獲得的“階段成果”，展現(xiàn)焦半徑公式的應用功能.分析2有回歸本源之功效，凸顯橢圓標準方程的工具性作用，其中“點差法”蘊含著數(shù)據(jù)處理的關鍵技巧，其靈活簡潔、優(yōu)化快捷的數(shù)學運算必然帶給學生無窮的魅力和濃厚的興趣.

倘若將上述式(1)再作變形,即

圖3

設計意圖讓學生在橢圓方程的探究中切身感悟：數(shù)學運算、變形整理是我們尋求、建立幾何模型的先決基礎，數(shù)據(jù)處理靈動地伴隨于提煉數(shù)學模型的過程中，合理建構(gòu)的數(shù)學模型有助于我們形象理解方程中的數(shù)量關系，應該說直觀想象賦予了橢圓方程嶄新的生命力，使得數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸思想在此昭然若揭.再者，我們又在橢圓特征的基礎上通過數(shù)學抽象概括出其第二定義，彰顯整個探究過程生動形象化與內(nèi)在本質(zhì)化同存并俱、交相輝映.

4.2.2 橢圓的第三定義

即

亦即

即

進而

由此又可得到橢圓的第三定義：在平面內(nèi)，與兩個定點A,B連線的斜率之積為常數(shù)k(其中k<0且k≠-1)的點的軌跡是橢圓(不含兩個定點)．

設計意圖繼續(xù)引領學生深入探究橢圓標準方程，經(jīng)過適當配湊變形，從中提煉斜率模型，師生共同歸納概括橢圓的第三定義，這就將數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)學抽象等素養(yǎng)的培育融合于橢圓方程的探究中.另外，距離結(jié)構(gòu)、斜率結(jié)構(gòu)是數(shù)量關系中最常提煉的兩種模型，其也正是滲透數(shù)形結(jié)合思想、發(fā)揮直觀想象的著力點.

( )

(2013年全國數(shù)學高考大綱卷理科試題第8題)

答案B．

設計意圖讓學生體會橢圓第三定義在全國高考中的作用與地位.

4.2.3 橢圓中點弦的性質(zhì)

圖4

如圖4，OT是△AA′M的中位線，則OT∥A′M,從而

設計意圖展現(xiàn)“點差法”是橢圓方程發(fā)揮功能的常規(guī)渠道,通過不同視角的探究，給予了橢圓方程豐富的內(nèi)涵，橢圓弦的性質(zhì)特征與其第三定義一脈相承、彼此交融.

即

3x-4y-7=0．

推論1橢圓一組平行弦的中點同在一條過中心的直線上.

設計意圖讓抽象的探究結(jié)論在具體事例中得以形象、簡捷地應用，夯基固本、學以致用.另外,在題目變式設置中，倡導問題求解和問題探究并肩同行、相輔相成,這有利于促進學生養(yǎng)成學會思考、主動探究、深入鉆研的良好習慣．

4.3 課堂總結(jié)

1)課堂活動的主線是：

橢圓定義1(初始定義)?橢圓的標準方程?

2)橢圓標準方程“簡約不簡單，平淡不平凡”.

①運算變形、配湊整理是探索方程、發(fā)揮方程功能的基礎和支撐；

②方程中蘊含的幾何特征賦予了方程嶄新的生命力，也是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的著力點；

③橢圓定義與方程一脈相承、彼此交融,橢圓是定義的“化身”，方程是橢圓的“結(jié)晶”．

3)本節(jié)橢圓方程問題的探究有助于我們提升在數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)處理、邏輯推理、數(shù)學建模等方面的學科素養(yǎng).

4.4 作業(yè)布置(略)

5 評價反思

本節(jié)課內(nèi)容源于教材，但又不拘泥于教材.通過對橢圓方程生成之前和生成之后的變式探究，巧妙地將橢圓的初始定義、第二定義、第三定義和弦的性質(zhì)等有機地融為一體.整節(jié)課線索分明,系統(tǒng)高效、淋漓盡致地揭示了橢圓定義、方程以及幾何性質(zhì)之間的來龍去脈和內(nèi)部聯(lián)系，其中運算變形、數(shù)據(jù)處理、數(shù)形結(jié)合等得到了恰如其分的展現(xiàn)，橢圓標準方程自始至終閃耀著其光芒四射的強大功能，也散發(fā)著其靈巧奇妙的獨特魅力.

本節(jié)課旨在敦促學生自覺主動地參與運算變形、構(gòu)建模型、應用結(jié)論等探究活動，有針對性地提升學生在數(shù)學運算、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學建模等方面的學科素養(yǎng).另外教師通過引導學生參與猜想發(fā)現(xiàn)、數(shù)形結(jié)合、歸納概括等一系列過程，也可實質(zhì)性地培育學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象等方面的核心素養(yǎng).應該說，整個課堂活動結(jié)構(gòu)新穎、設計嚴謹、目標明確、線條清晰,創(chuàng)新務實地以知識為載體，展現(xiàn)知識價值,注重能力立意,突出數(shù)學素養(yǎng).

因此，在落實“立德樹人”根本任務、全面提升核心素養(yǎng)的教育形勢下，數(shù)學教師在課堂教學中要緊密聯(lián)系教學實際，充分發(fā)揮教材知識的教育價值，創(chuàng)設合理的問題情境或探索路徑，鼓勵學生廣泛參與各種探索活動，提高學生運用知識解決實際問題的能力，讓學生在實踐探索中加深對數(shù)學知識的理解感悟，感受到數(shù)學學習的樂趣和應用價值，真正促進學生的個性發(fā)展和核心素養(yǎng)的有效提升[2].這也就要求我們數(shù)學教師：要以教師的問題創(chuàng)設去激發(fā)學生的學科興趣，要以教師的深入研究去引領學生的主動探究，要以教師的良好涵養(yǎng)去培育學生的核心素養(yǎng).