從幾何意義角度解決幾類距離問題*

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(麗水中學(xué),浙江 麗水 323000)

一份高質(zhì)量的數(shù)學(xué)試卷往往都配有高質(zhì)量的“小題”，這些小題很多時候都以簡潔美呈現(xiàn).教師在平時講解過程中也一直強調(diào)要洞察題目的背景，但是學(xué)生實踐起來卻沒有那么順利.追其究竟，其實是學(xué)生沒有看透問題的本質(zhì)，被題目的外表所迷惑.本文從幾何意義角度對距離問題的幾種形式進行探究.學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)過數(shù)軸上兩個點的距離公式，高中階段學(xué)習(xí)過兩點間距離公式和點到直線的距離公式，這兩類問題通過轉(zhuǎn)化都可以用距離的幾何意義去解決.正如法國數(shù)學(xué)家姬曼所說：代數(shù)不過是書寫的幾何，而幾何不過是圖形的代數(shù).

1 類型呈現(xiàn)

類型1d=|x-x0|.

例1已知f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值是5，則實數(shù)a=______．

分析f(x)可以看成是數(shù)軸上一個動點到-1的距離和到a的距離的兩倍之和.當x=a時，f(x)取到最小值|a+1|=5，故a=-6或a=4.

點評用數(shù)軸上點的距離去處理這個問題比分類討論簡單易懂，學(xué)生也容易掌握.

( )

分析|x-1|是圓x2+y2=4上一動點P(x,y)到定點(1,0)橫坐標之間的距離，則

|x-1|≤|x|+1.

例2設(shè)x,y∈R，則(3-4y-cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值為______．

點評式子結(jié)構(gòu)與兩點間距離公式一致，只不過點都是在變化的，找到動點滿足的軌跡分別是直線和圓，問題就轉(zhuǎn)化為直線上的點與圓上點的距離最小值的平方，那么所求就是圓心到直線的距離減掉半徑的平方.

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點評首先題目的條件有兩個變量，結(jié)構(gòu)是平方和，如果把平方乘開，處理起來比較麻煩.如果想到這個模型就是兩個動點之間的距離，那么分別找到動點所滿足的曲線方程，用數(shù)形結(jié)合去解題就可以化難為易.

圖1 圖2

變式2已知x,y均為非負實數(shù)，且x+y≤1，則4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范圍是______．

|OP|2=x2+y2+z2,

于是原問題轉(zhuǎn)化為求|OP|的取值范圍．顯然|OP|≤1，且|OP|的最小值為O到平面ABC的距離.利用等積法計算：因為VO-ABC=VA-OBC，得

所以

即

點評將題目的條件和目標聯(lián)系起來是雙元不等式問題，通過不等式放縮或者柯西不等式可以得到答案，但處理起來比較麻煩.經(jīng)過合理換元后目標式的結(jié)構(gòu)就與空間距離一致，利用空間距離的幾何意義就能很巧妙地解出了題目.

( )

航攝操作開始前，在主控計算機內(nèi)輸入所有相片曝光點位置以及航攝航線具體信息。航攝過程中，姿態(tài)測量系統(tǒng)的GPS接收機以2Hz的頻率對雙GPS天線做實時定位，同時，雙GPS天線位置對飛機的偏航程度做出計算。姿態(tài)測量系統(tǒng)檢測飛機位置已到達設(shè)計曝光點時，航攝控制器發(fā)出開啟相機快門的指令從而控制航攝儀的曝光，同時完成相機曝光脈沖信號的寫入操作，寫入于定位GPS接收機時標上，以保證所有像片曝光的精度[2]。

由a>b，知a>-a-c,從而

同理可知

點評例3處理的辦法比較多，可以用特殊值、均值代換、消元等，但是目標式的結(jié)構(gòu)與點到直線的距離結(jié)構(gòu)是一致的，難點在于條件中沒有現(xiàn)成的直線.巧婦難為無米之炊，需要對條件式進行構(gòu)造，構(gòu)造出一條過定點的直線，這是本題的點睛之筆.

變式1已知實數(shù)a,b,c滿足a2+b2≤c(其中0

分析設(shè)動點P(a,b)滿足直線方程z=a+b，由a2+b2≤c(其中0

從而

點評題目本身沒有顯而易見的距離結(jié)構(gòu)，條件與目標經(jīng)過合理的代換就具備了距離的幾何意義.借助幾何意義實現(xiàn)了整體消元，過程簡潔，化繁為簡,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學(xué)中的重要意義.

( )

圖3

點評構(gòu)造出點到直線的距離，借助數(shù)形結(jié)合思想，從圖形直觀上去破解問題，計算量小，過程簡潔[1].

類型4d=|h(x)-g(x)|.

例4f(x)=|x2-ax-b|(其中x∈[-1,2])的最大值為M(a,b)，對任意a,b∈R，求M(a,b)的最小值.

圖4

分析f(x)為h(x)=x2與g(x)=ax+b縱坐標之間的距離.因為a,b∈R，在直線旋轉(zhuǎn)的過程中，發(fā)現(xiàn)M(a,b)的最小值取到的位置如圖4所示：

1)聯(lián)結(jié)兩個端點(-1,1),(2,4),作直線l1:y=x+2；

圖5

(2018年浙江省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第12題)

分析設(shè)h(x)=x2，g(x)=-ax-b,當g(x)分別經(jīng)過點(0,0)，(1,1)時，-b分別為0和1+a，于是|1+a-0|≥2，得a≥1或a≤-3(如圖7和圖8)，經(jīng)檢驗成立.

圖7 圖8

2 一點感悟

高中數(shù)學(xué)以“距離”為背景命制的小題有很多，有些一目了然，有些卻隱藏得很深，我們需要練就火眼金睛去發(fā)現(xiàn)并解決那些深藏的距離問題.如果沒發(fā)現(xiàn)距離的幾何意義，解決此類問題就會遇到繁瑣的運算.數(shù)學(xué)的解題離不開運算，但是數(shù)學(xué)的解題不止考查運算，他還是數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)形結(jié)合等思想的結(jié)合，多想一點題目命制的背景，以形助數(shù)，把握數(shù)形之間的內(nèi)在聯(lián)系，真正做到小題小做.