抓住關(guān)鍵“點” 頓悟其中玄*

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(池州市第一中學(xué)，安徽 池州 247000)

數(shù)學(xué)問題中，常常有一些關(guān)鍵的“點”，比如原點、端點、中點、零點、定點、焦點、切點、拐點、間斷點、中心點、對稱點等等，這些點往往是我們求解問題的“制高點”“切入點”“著眼點”“著力點”“落腳點”“平衡點”“易錯點”“突破點”，雖然只是一個“點”，但其作用不可小看，對整個問題的求解起到了核心關(guān)卡作用，牽一發(fā)而動全身.如果能善于發(fā)現(xiàn)這些“點”，用好這些“點”，就能頓悟其中隱含的玄機，迅速找到解決問題的突破口，把握求解方向，順流直下，順勢而為，勢如破竹，問題輕松求解，從中感悟到方法美、思想美、簡單美，美不勝收.

1 抓住關(guān)鍵“點”，把持“制高點”

有些關(guān)鍵“點”好比“制高點”，有“一夫當(dāng)關(guān)萬夫莫開”之勢，也好比“華山自古一條道”.也就是說，如果沒有抓住這個“點”，那么問題就很可能無法求解，就會思路出錯，思維偏差，就會產(chǎn)生錯誤的解法.如果抓住了這個“點”，也就把持了問題求解的“制高點”，就能打通關(guān)卡，問題求解也就勢如破竹，迎刃而解.

例1已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=x2+2x+mcosx，記a=-3f(-3)，b=-2f(-2)，c=4f(4)，則a，b，c的大小關(guān)系為

( )

A．b

C．c

解因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以

f(0)=0，

從而

m=0，f(x)=x2+2x(其中x≥0).

易知

a=3f(3)，b=2f(2)，

令

g(x)=xf(x)=x3+2x2(其中x≥0)，

則

g′(x)=3x2+4x≥0(其中x≥0)，

從而函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，又a=g(3)，b=g(2)，c=g(4)，于是b

評注這是一道高三模擬考試題.不少學(xué)生由于沒有抓住“奇函數(shù)在原點有定義時f(0)=0”，也就不能求出m=0，結(jié)果問題求解陷入困境.本題中的坐標“原點”是關(guān)鍵“點”，是問題求解的“制高點”，它直接控制著本題的進展，只有把持住這個“制高點”，這道題才能順利求解.

例2已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b為偶函數(shù)，定義域是[a-1,2a]，求f(x)的值域.

解因為函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b為偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱，即

2a=-(a-1)，

評注絕大部分學(xué)生都能求出b的值，但沒有想到偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，并利用這一重要條件求出a的值.大部分學(xué)生求解這道題時分a>0，a=0，a<0這3種情況討論，使問題求解走入誤區(qū).可見這里區(qū)間的“端點”是本題能夠順利求解的“制高點”.

2 抓住關(guān)鍵“點”，選準“切入點”

有些關(guān)鍵“點”是問題求解的“切入點”，這些“點”往往比較隱含，不容易被發(fā)現(xiàn)，需要我們有較強的探究能力，把這些“點”挖掘出來并加以利用,就能使問題順利求解.

例3已知函數(shù)f(x)=(2x2-a2x-a)lgx的值域是[0,+∞)，求a的值.

解令g(x)=2x2-a2x-a，h(x)=lgx，已知函數(shù)f(x)=g(x)·h(x)的值域是[0,+∞)，當(dāng)x>1時，h(x)>0，g(x)>0；又當(dāng)0

g(1)=2-a2-a=0，

得

a=-2或a=1，

經(jīng)檢驗知a=1符合題意，故a=1.

評注函數(shù)的值域是所有函數(shù)值的集合.本題中函數(shù)f(x)的值域是[0，+∞)，即對任意x>0，有

f(x)=g(x)·h(x)≥0，

即g(x)與h(x)同號.因為h(1)=0，又g(x)為二次函數(shù)，拋物線開口向上，所以g(1)=0，從而求出a的值.本題中的“分界點”x=1是問題求解的“切入點”.

例4已知函數(shù)f(x)=lg (ax-kbx)(其中a>0,b>0,k>0)的定義域是(0,+∞)，是否存在這樣的a，b，使f(x)恰在(1,+∞)上取正值，且f(2)=lg 5？若存在，求出a，b的值;若不存在，請說明理由.

解因為函數(shù)f(x)=lg(ax-kbx)(其中a>0,b>0,k>0)的定義域是(0,+∞)，所以

a0-kb0=0，

即

k=1，

從而f(x)=lg (ax-bx)(其中a>0,b>0).

又f(x)恰在(1,+∞)上取正值，得f(1)=0，即

lg (a-b)=0，

從而

a-b=1.

又f(2)=lg 5，即

lg(a2-b2)=lg 5，

得

a2-b2=5，

從而

a=3,b=2.

評注函數(shù)的定義域是所有自變量取值的集合.x=0是方程ax-kbx=0的解，從而k=1，又f(x)恰在(1,+∞)上取正值，于是f(1)=0，得出a-b=1.本題中有兩個“分界點”x=0和x=1都是問題求解的“切入點”.

3 抓住關(guān)鍵“點”，看準“著眼點”

看準“著眼點”，就是眼光要重點盯在哪里、落在何處，從哪里開始順藤摸瓜、抽絲剝繭、分析判斷，最后快速形成解題方案，再精準出擊.看準“著眼點”，需要我們有一雙“慧眼”來發(fā)現(xiàn)和捕捉，更需要有一種思維意識和較深的數(shù)學(xué)功底，這樣才能將“著眼點”看得更準.

( )

圖1

即

則

從而

4 抓住關(guān)鍵“點”，把牢“著力點”

有些關(guān)鍵“點”是問題求解的“著力點”，也就是問題求解能夠“著力”的“點”.這些“著力點”往往隱含在題設(shè)條件中，需要我們有一雙“火眼金睛”來發(fā)現(xiàn)和捕捉，更需要培養(yǎng)思維意識，這樣才能發(fā)現(xiàn)這些關(guān)鍵“點”，感悟這些“點”的價值和作用.

例6已知f(x)=ax2+bx+c(其中a>0)，2a+3b+6c=0，求證：f(x)在(0,1)上有零點.

又

f(0)+f(1)=c+a+b+c=a+b+2c=

5 抓住關(guān)鍵“點”，立足“落腳點”

有些關(guān)鍵“點”是問題求解的“落腳點”，是解決問題的重點所在、重心所在.解決這類問題時要形成條件反射，首先要想到求這些“點”，然后把其他條件都轉(zhuǎn)化到這個“落腳點”上來，再立足這個“落腳點”，就能使問題順利求解.

例7當(dāng)0

解易知直線l1,l2均過定點A(2,2)，l1與y軸的交點為B(0,2-a)，l2與x軸的交點為C(a2+2,0)，所圍成的四邊形即為OBAC.設(shè)四邊形OBAC的面積為S，則

S=S△OAB+S△OAC=

評注直線l1與l2均為動直線，但我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)它們均經(jīng)過定點A(2,2)，抓住了這個定點，就掌握了解決這類問題的“關(guān)鍵技術(shù)”.以“定”解“動”是求解這類問題的重要方法和策略，求出的“定點”是解決這類問題的“落腳點”.

(|PF1|+2)-(|PF2|-1)= |PF1|-|PF2|+3=

6+3=9.

6 抓住關(guān)鍵“點”，巧用“平衡點”

有些關(guān)鍵“點”是問題求解的“平衡點”，考慮式子或圖像具有某種對稱性，根據(jù)這種對稱性，探尋圖像或兩點的“平衡點”，然后巧用這個“平衡點”，就能使問題求解變得簡單而美妙.

例9已知α是函數(shù)f(x)=xlogax-2 018的一個零點，β是函數(shù)g(x)=xax-2 018的一個零點，求α·β的值.

解由f(x)=0得

由g(x)=0得

得

α·β=2 018.

評注將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，再將方程變形為具有某種對稱意義的形式，利用互為反函數(shù)圖像的對稱性得出兩個關(guān)鍵“點”A,B，再求出AB的中點M，利用點M在直線上，使問題巧妙求解，這里的對稱點A,B及中點M都是“平衡點”.

7 抓住關(guān)鍵“點”，謹防“易錯點”

有些關(guān)鍵“點”是問題求解的“易錯點”.由于某些條件比較隱含，易被忽視，往往成為問題求解的“易錯點”.如果我們對這些“點”能高度重視，形成條件反射，就能增強思維的嚴密性和批判性，從而有效地謹防“易錯點”.

( )

A．3 B．5 C．7 D．9

f(0)=0，f(-1)=-f(1)=0，

進而可得f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=0，于是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點個數(shù)是7.故選C.

即

從而

進而可得

評注本題的錯解是審題不仔細造成的，對于關(guān)鍵的信息(區(qū)間的“端點”)審視不透，沒有洞察其中隱含的玄機，考慮問題不深刻、不全面，思維有漏洞.這里區(qū)間的“端點”是學(xué)生求解的“易錯點”.

8 抓住關(guān)鍵“點”，把準“突破點”

有些關(guān)鍵“點”是問題求解的“突破點”，對整個問題能否巧妙求解起到了至關(guān)重要的作用.如果能夠發(fā)現(xiàn)這個點隱含的玄機，就能把準突破口，找到簡潔思路，使問題的求解按照預(yù)定的程序順利進行，更加胸有成竹.

不合題意.

a2x+(2a-1)≥0，

即

2a-1≥0，

評注解法1是常規(guī)解法，過程有些復(fù)雜，關(guān)鍵是分類標準怎么想到，這對大多數(shù)學(xué)生來說還是比較困難的.解法2是根據(jù)區(qū)間端點函數(shù)值的特殊性：f(0)=0，得出f(x)在x=0的右側(cè)必須呈現(xiàn)上升的趨勢，從而f′(0)≥0，這種解法就是利用區(qū)間端點這個關(guān)鍵“點”作為“突破點”，首先鎖定參數(shù)的范圍，再驗證這個范圍的正確性，這種解法就簡單多了，而且便于操作.

評注“抓住本質(zhì)，回歸定義”是我們解決這類問題的有效策略.定義、定理、公式和法則是解題的依據(jù)，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了定理、公式和法則之后，容易忽視利用定義進行解題.其實，回歸本源是目前高考、學(xué)考的熱點所在.類似的高考題，如2018年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題、2018年11月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考試題第18題等.

2 定義型

所謂定義型信息題是指通過定義揭示事物的一類本質(zhì)特征、人為地解釋意義的一類問題.常見有定義新概念、定義新運算、定義新性質(zhì)等類型，主要考查學(xué)生對新定義的理解、應(yīng)用與轉(zhuǎn)化的能力.

例2設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若存在實數(shù)M>0，使得對任意的n∈N*，都有|Sn|

( )

A．若{an}是等差數(shù)列，且首項a1=0，則數(shù)列{an}是“L數(shù)列”

B．若{an}是等差數(shù)列，且公差d=0，則數(shù)列{an}是“L數(shù)列”

C．若{an}是等比數(shù)列，且公比q滿足|q|<1，則數(shù)列{an}是“L數(shù)列”

D．若{an}是等比數(shù)列，也是“L數(shù)列”，則數(shù)列{an}的公比q滿足|q|<1

分析本題是定義新概念型問題.閱讀本題定義的符號語言、文字語言，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}為“L數(shù)列”，就是-M

評注“讀懂定義，轉(zhuǎn)化問題”是解決定義型信息題的思維策略.對于新定義，首先理解題意，要做到：1)字面理解要求讀懂其中每一個句子的含義；2)深層理解要求深入理解新的概念的本質(zhì)屬性，分清新定義條件和結(jié)論，找到突破問題的關(guān)鍵等.然后轉(zhuǎn)化問題，通過對新定義信息的加工、改編處理，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)圖形等.最后，解決問題.類似的高考題，如2016年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅲ理科試題第12題、2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題等.

3 開放型

開放型研究題是指一些不能那么輕易地只用一個簡單的“是”“不是”或者其他一個簡單的詞、數(shù)字來回答的問題，與我們常見的數(shù)學(xué)封閉式問題相對.開放式問題可分為條件開放、問題開放、結(jié)論開放、綜合開放、策略開放等，常見的問題如在特定情境下命題的條件、結(jié)論不確定的開放型試題.

例3在△ABC中，角A,B,C對應(yīng)邊a,b,c，若a2=b2+c2，則△ABC是直角三角形.請?zhí)骄浚喝鬭n=bn+c2(其中n>2)，則△ABC可能的形狀有哪些？請說明理由.

嘗試證明因為an=bn+cn(其中n>2)，所以a>b,a>c,即a為△ABC最大邊.要證△ABC是銳角三角形，只需證cosA>0,即證a2

a2(bn+cn)

即證

bn+cn

亦即證 0

由上述可知，不等式成立.若an=bn+cn(其中n>2)，則△ABC為銳角三角形.

評注解答這類數(shù)學(xué)開放題的策略是大膽猜測，小心求證.應(yīng)抓住問題中那些影響結(jié)論的動態(tài)因素，通過取特例、分類討論、構(gòu)造圖像，靈活運用數(shù)學(xué)知識，回顧相近或相似的題型、結(jié)論和方法等，大膽猜想，然后通過數(shù)學(xué)運算、合情推理、邏輯推理等手段，借助等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思維方法，小心求證猜想的結(jié)論.類似的高考題，如2018年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第19題、2015年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第20題等.

4 建模型應(yīng)用題

數(shù)學(xué)建模就是對實際問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型進行解題.一般考查如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力以及對不同模型的識別能力.

圖1

例4如圖1，在廣場上，一盞路燈掛在一根4.5 m的電線桿頂上(電線桿的底部記為點A)，假設(shè)把路燈看作是一個點光源S，身高1.5 m的女孩站在離點A處3 m的點B處，若女孩向點A前行2 m到達點D，然后從點D出發(fā)，繞著以BD為對角線的正方形走一圈，則女孩頭頂?shù)挠白榆壽E所圍成的圖形面積是______．

評注解決建模型應(yīng)用題的策略是數(shù)學(xué)抽象，建立模型.建模解題的一般過程為：根據(jù)實際問題進行數(shù)學(xué)抽象，建立數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)知識與方法,求解模型、檢驗?zāi)Ｐ?，最終獲得實際問題的解.類似的高考題，如2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第18題、2015年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第12題等.

5.精題集萃

圖2

1.如圖2，已知三棱錐D-ABC，記二面角C-AB-D的平面角是θ，直線DA與平面ABC所成角是θ1，直線DA與BC所成角是θ2，則

( )

A.θ≥θ1B.θ≤θ1C.θ≥θ2D.θ≤θ2

2.已知⊙C:(x-3)2+(y-4)2=1和點A(-m,0)，B(m,0)(其中m>0),若⊙C上存在點P，使得∠APB=90°，則m的最大值是

( )

A.7 B.6 C.5 D.4

圖3

3.如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是平面AA1D1D內(nèi)的動點，且點P滿足：直線PC1與平面AA1D1D所成角的大小等于平面PBC與平面AA1D1D所成角的銳二面角的大小，則點P的軌跡是

( )

A.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線

4.對于任意的實數(shù)x>0，不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立，則實數(shù)a的最小值是

( )

7.定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=f(x)圖像是連續(xù)不斷的，若對于任意實數(shù)x，存在實常數(shù)h使得f(x+h)=-hf(x)恒成立，則稱f(x)是一個“h”函數(shù).下列關(guān)于“h”函數(shù)的結(jié)論：

1)f(x)=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“h”函數(shù)；

3)f(x)=x2是一個“h”函數(shù).

其中正確的個數(shù)是______.

圖4

1)求橢圓C的方程.

2)設(shè)點P是橢圓上異于點A，B的任意一點，過點O作OM∥AP，ON∥PB，分別交橢圓于點M，N.問：△OMN的面積是否為定值？并證明你的結(jié)論.

參考答案

2)S△OMN為定值.設(shè)直線MN：y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2),則

因為AP∥OM，BP∥ON，所以

即

x1x2+2y1y2=0.

(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0，

且

Δ=8(4k2+2-m2)>0.

由韋達定理可得

又x1x2+2y1y2=(1+2k2)x1x2+2km(x1+x2)+2m2=0,得1+2k2=m2.因為