不等式選講試題的解題策略和教學(xué)啟示*

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(蕭縣中學(xué)，安徽 蕭縣 235200)

全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷選做試題的設(shè)置始于2011年，文理同題.到2017年，選考模塊刪去了“幾何證明選講”，考生從“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”“不等式選講”兩個(gè)模塊中任選一個(gè)作答，由原來(lái)的三選一，變?yōu)楝F(xiàn)在的二選一，進(jìn)一步增強(qiáng)了“不等式選講”的重要性.縱觀近幾年的全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷不難發(fā)現(xiàn)，“不等式選講”試題在命題特點(diǎn)和解題策略上都具有一定的規(guī)律性和經(jīng)驗(yàn)性，看似難度不大，但也不乏靈活性和綜合性.在備考訓(xùn)練和平常的教學(xué)中，對(duì)此塊內(nèi)容也應(yīng)加強(qiáng)重視，特別是在當(dāng)前以核心素養(yǎng)為主旋律的教學(xué)改革中，“如何將培養(yǎng)學(xué)生的能力、提升學(xué)生的核心素養(yǎng)落到實(shí)處”是一個(gè)值得探究的問(wèn)題[1].筆者從“不等式選講”本身出發(fā)來(lái)研究試題特點(diǎn)、解題策略和教學(xué)啟示.

1 考點(diǎn)回顧

1.1 解不等式多以含1～2個(gè)絕對(duì)值的不等式為主

命題主要方向:一是直接解不等式；二是已知不等式的解集，反過(guò)來(lái)求參數(shù)的取值.此類題大多放在題目的第1)小題，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

例1已知f(x)=|ax+1|(其中a∈R)，不等式f(x)≤3的解集為{x|-2≤x≤1}．

1)求a的值；

(2012年遼寧省數(shù)學(xué)高考試題第24題)

1)分析1由f(x)≤3得

|ax+1|≤3，

即

-4≤ax≤2.

作為一個(gè)解答題，不可直接寫出結(jié)果，要有嚴(yán)格的解題過(guò)程，因此，需要進(jìn)行分類討論.也可通過(guò)以下思路進(jìn)行解答：

分析2由條件知，x=-2和x=1為相應(yīng)方程|ax+1|=3的兩個(gè)根，代入可得

故a=2.

2)略.

本模塊內(nèi)容在高考中出現(xiàn)的解不等式問(wèn)題，主要還是含兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式.

例2已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|.

1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范圍.

(2017年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第23題)

分析11)不等式f(x)≥g(x)等價(jià)于

或

或

2)略.

此法采用的是零點(diǎn)分段討論法，段內(nèi)取交集，段間取并集，分界點(diǎn)處要做到“不重不漏”，格式上采取不等式組的結(jié)構(gòu)形式，顯得更為簡(jiǎn)單清晰.

1.2 不等式證明試題常采用綜合法和分析法解決，多以基本不等式為載體

通過(guò)研究近幾年的全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題發(fā)現(xiàn)：不等式證明問(wèn)題雖然難度不大，但是學(xué)生好像對(duì)不等式證明問(wèn)題的把握并不大，主要原因是平時(shí)訓(xùn)練相對(duì)較少，教師和學(xué)生的重視度不高.命題方式多以基本不等式為載體，常常利用分析法和綜合法進(jìn)行解決，重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

例3設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

(2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第24題)

分析1)由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca,得

a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

由題設(shè)得

1=(a+b+c)2，

即

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,

從而

3(ab+bc+ca)≤1，

于是

即

1.3 含參類恒成立、存在性問(wèn)題

含參絕對(duì)值不等式的恒成立、存在性問(wèn)題是近年來(lái)高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，此類問(wèn)題常與不等式、函數(shù)圖像與性質(zhì)、方程的根等知識(shí)交匯命題，具有一定的綜合性和靈活性，主要考查六大核心素養(yǎng)中的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等基本素養(yǎng).

例4已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.

1)當(dāng)a=-3時(shí)，求不等式f(x)≥3的解集；

2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2]，求a的取值范圍.

(2012年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷第24題)

分析1)略.

2)不等式f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2]，即f(x)≤|x-4|在x∈[1,2]上恒成立，亦即對(duì)任意x∈[1,2]，都有

|x+a|≤|x-4|-|x-2|.

由于|x-4|-|x-2|≤2,從而

|x+a|≤2，

于是-2-x≤a≤2-x在x∈[1,2]上恒成立，故

-3≤a≤0.

無(wú)論是恒成立問(wèn)題還是存在性問(wèn)題，首先要弄清不等式中“哪個(gè)變量”在“什么范圍”內(nèi)恒成立或存在性成立，然后再求出相應(yīng)的最值即可.在求解含絕對(duì)值的不等式的最值時(shí)，不得不提出一個(gè)極其重要的不等式——||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，這個(gè)不等關(guān)系被稱為絕對(duì)值三角不等式.對(duì)于這個(gè)不等式，不僅要在結(jié)構(gòu)上非常熟悉，其等號(hào)成立的條件也應(yīng)作深入探究.本例中，在求|x-4|-|x-2|的最大值時(shí)，可用此性質(zhì)進(jìn)行解決，即

|x-4|-|x-2|≤|(x-4)-(x-2)|=2，

1.4 不等式選講試題的傳統(tǒng)與創(chuàng)新

不等式選做試題的命制多以含絕對(duì)值的不等式和基本不等式為主流，但也常考常新，在內(nèi)容的選取、命題方式和語(yǔ)言描述上出現(xiàn)了“多元化”的發(fā)展趨勢(shì)，彰顯靈活之氣.如作圖題、探索性問(wèn)題、充要條件的證明題等等，甚至出現(xiàn)了對(duì)柯西不等式的考查與應(yīng)用.

例5已知a,b,c,d為實(shí)數(shù)，且a2+b2=4，c2+d2=16，證明：ac+bd≤8.

(2017年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

分析由柯西不等式可得

(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)，

因?yàn)閍2+b2=4，c2+d2=16，所以

(ac+bd)2≤64，

故

ac+bd≤8.

近年來(lái)，在陜西、福建等省的數(shù)學(xué)高考試卷中，時(shí)常出現(xiàn)對(duì)柯西不等式的考查及運(yùn)用，盡管全國(guó)卷中暫時(shí)還沒(méi)有出現(xiàn)，但在實(shí)際教學(xué)中仍要引起足夠的重視.教育部頒發(fā)的《2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》中明確要求：“要了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會(huì)證明.”其重要性由此可見(jiàn)一斑.

2 教學(xué)啟示

2.1 解題教學(xué)仍要注重通性通法

通性通法是指具有某種規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的解題方法.在解題教學(xué)中，“淡化特殊技巧，注重通性通法”的觀點(diǎn)已經(jīng)在大多數(shù)教師中達(dá)成共識(shí).在這種觀點(diǎn)的指導(dǎo)下，學(xué)生可以脫離題海戰(zhàn)術(shù)，避免解題“乏力”“低效”“無(wú)方向性”等現(xiàn)象.例如，在數(shù)學(xué)解題中，有一個(gè)永恒不變的轉(zhuǎn)化思想：

一個(gè)含有絕對(duì)值的函數(shù)解析式，往往需要轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式.同樣的道理，去絕對(duì)值也是解決含有絕對(duì)值不等式的通用轉(zhuǎn)化策略.對(duì)于很多問(wèn)題，若忽略了這種通性，則問(wèn)題的解決將陷入困境.

例6已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(a)=x+3.

1)當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f(x)

(2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第24題)

分析1)略.

f(x)=1+a，

從而不等式f(x)≤g(x)化為

1+a≤x+3,

即

例7已知f(x)=|x+1|-|ax-1|．

1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；

2)若當(dāng)x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍．

(2018年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第23題)

對(duì)于第2)小題，在x∈(0,1)的情況下，可以直接將|x+1|中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，繼而轉(zhuǎn)化為|ax-1|<1在x∈(0,1)內(nèi)恒成立的簡(jiǎn)單問(wèn)題.

2.2 細(xì)致、全面地講解知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程

知識(shí)的講解應(yīng)細(xì)致全面，不能急功近利，更不能只注重形式上的記憶和模仿訓(xùn)練，而忽略對(duì)知識(shí)本質(zhì)的提煉.“學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)是一個(gè)獲得經(jīng)驗(yàn)、思維投入的過(guò)程，是一個(gè)積極建構(gòu)的過(guò)程”[2]，只有讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，才能真正掌握知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

例如，絕對(duì)值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是如何產(chǎn)生出來(lái)的，其產(chǎn)生的背景是什么，為什么要建立、推導(dǎo)這樣一個(gè)不等關(guān)系,其工具性作用體現(xiàn)在什么地方,等號(hào)成立的條件又是什么……若單純記憶，則無(wú)法解決上述問(wèn)題，有時(shí)即使知道這個(gè)式子的存在，也想不到去運(yùn)用.

2.3 注重提煉數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)涵的思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最本真的方法，其蘊(yùn)含在知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過(guò)程中.教師應(yīng)在具體的教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地探索、發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟、總結(jié)知識(shí)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，這對(duì)于提高學(xué)生的思維、學(xué)習(xí)等能力是非常有利的.如在上述例2中，采取了分類討論的思想方法，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探索能否利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)進(jìn)行解決，由此可得出新的方法如下：

分析21)將函數(shù)g(x)=|x+1|+|x-1|化簡(jiǎn)可得

當(dāng)a=1時(shí)，作出函數(shù)圖像可得f(x)≥g(x)的范圍在點(diǎn)F和點(diǎn)G之間(如圖1).聯(lián)立

圖1 圖2

2)由f(x)≥g(x),知

-x2+ax+4≥2，

從而x2-2≤ax恒成立，根據(jù)圖2可知函數(shù)y=ax必須在l1,l2之間，故-1≤a≤1.

以上解法不僅僅是單純數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，里面還含有函數(shù)與方程思想，即函數(shù)、方程和不等式問(wèn)題間的互化，這是高考中著重考查的數(shù)學(xué)思想方法之一.本模塊內(nèi)容所蘊(yùn)含的思想方法豐富，在教學(xué)中，不能認(rèn)為數(shù)學(xué)思想屬于高大上的內(nèi)容就高高掛起，而應(yīng)將其滲透到每一節(jié)課之中，融化進(jìn)每一道題之中，使之成為解決問(wèn)題的有力工具，并通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng).

3 結(jié)束語(yǔ)

核心素養(yǎng)不是純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)積累，從通俗的角度來(lái)看，是通過(guò)知識(shí)基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)后所形成的精華，是一種必備品格和關(guān)鍵能力.素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升體現(xiàn)在教學(xué)活動(dòng)的各個(gè)環(huán)節(jié)，包括課前的教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂上的探究活動(dòng)以及課后的解題訓(xùn)練和評(píng)價(jià).通過(guò)以上對(duì)不等式選考內(nèi)容的分析可知，過(guò)程性教學(xué)的展示以及教學(xué)中對(duì)思想方法的提煉是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的必備要素.核心素養(yǎng)不是泛泛而談的大話，也不是不著邊際的空話，而應(yīng)在每個(gè)環(huán)節(jié)中實(shí)實(shí)在在地去做.本模塊內(nèi)容在培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)和能力方面還有許多需要探究的地方，希望我們一線教師能與時(shí)俱進(jìn)，結(jié)合課程改革，改進(jìn)教學(xué)方式，讓數(shù)學(xué)的課堂變得更有價(jià)值.