數(shù)形結合在初中數(shù)學教學中的實效應用

劉貞

【摘要】數(shù)形結合是數(shù)學教學的基本思想，也是學生有效學習數(shù)學的方式.在小學學習階段，學生便掌握了數(shù)形結合的基本特點，而在初中教學中，教師要進一步加強數(shù)形結合的應用.文章從此出發(fā)，首先分析了數(shù)形結合在初中數(shù)學教學中的應用價值，包括降低學習難度、發(fā)展學習能力、培養(yǎng)數(shù)學思想，以及如何有效應用數(shù)形結合開展教學，如在概念講解中應用、在數(shù)學解題中應用、在難點突破中應用及在自主探究中應用等.

【關鍵詞】初中數(shù)學;數(shù)形結合;教學應用

數(shù)學好多的知識點都具有抽象性，所以數(shù)學課程都是初中教育的難點所在，不少學生在初中數(shù)學課程的學習中存在著畏難的情緒，不想學、不會學的現(xiàn)象比較普遍.這嚴重影響了數(shù)學課程的教學效果.當前初中數(shù)學教學中存在的問題，除了和數(shù)學課程自身的特點緊密相關外，也和教師未能采用有效的教學策略有著密切的聯(lián)系.對此，數(shù)形結合有著重要的教學應用價值.數(shù)學課程以數(shù)量關系和空間形式為教學內(nèi)容，且數(shù)量關系與空間形式有著非常密切的關系，在特定條件下可以相互轉化.著名數(shù)學家華羅庚先生對數(shù)形結合有精辟的論述，只有數(shù)沒有形，會導致數(shù)學知識不夠直觀;同樣的，只有形，沒有數(shù)，則會使數(shù)學知識難以入微.借助數(shù)形結合，不僅可以讓抽象的代數(shù)內(nèi)容直觀化，以圖形的形式呈現(xiàn)出來，也能讓宏觀的圖形具體化，用代數(shù)式子表達，對學生學習效果的鞏固以及學習能力的發(fā)展均有深遠的影響.

一、數(shù)形結合在初中數(shù)學教學中的價值

（一）激發(fā)學習興趣

學以趣為先，在初中生的數(shù)學課程學習中，興趣是最為重要的因素.濃厚的學習興趣，不僅是學生開啟學習大門的鑰匙，也是學習活動得以深入持續(xù)的保障.數(shù)學課程具有高度的抽象性，與學生的直觀思維有一定的差異，學生在數(shù)學課程學習中存在興趣不足的現(xiàn)象.借助數(shù)形結合就能很好的改善這一問題.數(shù)形結合從數(shù)量關系與空間形式相互聯(lián)系、相互轉化的角度出發(fā)，重視以形化數(shù)，以數(shù)化形，能夠提高數(shù)學知識的直觀性，契合學生的認知特點，從而調動學生的學習興趣.

（二）發(fā)展學習能力

隨著教學實踐的不斷深入以及教學改革的日益深化，初中數(shù)學的教學目標發(fā)生了很大的轉變，逐漸從知識的傳授、技能的培養(yǎng)轉變?yōu)閷W生學習能力的發(fā)展與提升.培養(yǎng)學生的自學能力是現(xiàn)階段初中數(shù)學課程教學的主要目標.對此，數(shù)形結合有著很好的應用價值.解題能力是學生自學能力的核心內(nèi)容，而解題技巧則是解題能力的中心.對初中生的數(shù)學解題而言，數(shù)形結合是最為常見的技巧，要求學生突破既有思維的禁區(qū)，從普遍聯(lián)系的角度出發(fā)，進行創(chuàng)造性的轉化，培養(yǎng)自身的結題能力，從而發(fā)展學習能力.

（三）培養(yǎng)數(shù)學思想

數(shù)學思想作為對數(shù)學學科的本質認識，在學生的數(shù)學學習中有著非常重要的作用.掌握了數(shù)學思想，不僅可以提升學生的學習效率，對學生數(shù)學認知水平的提升同樣發(fā)揮重要的作用.數(shù)形結合在初中教學中的應用能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學思想.首先，數(shù)形結合本身就是數(shù)學思想的重要組成部分，可以將數(shù)學問題化繁為簡.其次，數(shù)形結合與其他數(shù)學思想有著密切關系，比如轉化思想、函數(shù)方程思想等，對學生數(shù)學思想的整體發(fā)展有著重要價值.

二、數(shù)形結合在初中數(shù)學教學中的應用對策

（一）在概念講解中應用

數(shù)學概念是學生數(shù)學學習的基礎性內(nèi)容.準確地掌握數(shù)學概念的含義，對學生后續(xù)學習活動的深入開展有著重要的價值與意義.同時，數(shù)學概念也是學生學習的難點所在，數(shù)學概念的抽象性給學生帶來了一定的理解難度.因此，在數(shù)形結合的教學應用中，教師需要以概念講解的應用為重點，借助數(shù)形結合來降低概念的理解難度，讓學生更好地掌握基本知識點，提高數(shù)學課程的教學效果.相比于小學階段的數(shù)學課程而言，初中數(shù)學課程的知識容量大為提升，數(shù)學概念的總數(shù)以及層次也顯著提升.就以有理數(shù)為例，其是學生初中代數(shù)學習的初始內(nèi)容，學生在小學階段已經(jīng)掌握了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等知識點，這為學生的有理數(shù)學習鋪平了基礎.在實際的教學活動中，教師可以采用數(shù)軸，將抽象的數(shù)字轉變?yōu)橹庇^的結合圖形，將有理數(shù)的主要知識點，用數(shù)軸來一一呈現(xiàn).比如，有理數(shù)的正負、大小可以用數(shù)軸的左右順序來表示.又如，絕對值是學生有理數(shù)學習中的重要概念，借助數(shù)軸，可以將絕對值用原點與數(shù)軸上的點之間的距離來表示.這樣有效克服了單純文字介紹或者公式展示的弊端，對于學生理解絕對值的概念有著很好的效果.同樣的還有相反數(shù)的概念.有理數(shù)與數(shù)軸的巧妙結合，能夠幫助學生突破概念學習中的難點，優(yōu)化概念教學效果.

（二）在數(shù)學解題中應用

數(shù)學課程不同于語文、英語等課程，廣泛地數(shù)學練習是學生學好數(shù)學的先決條件.數(shù)學習題不僅是學生運用數(shù)學知識的主要載體，也是考查學生學習效果的重要工具.教師需要將數(shù)形結合作為學生解題能力訓練的重要手段，以數(shù)形結合及其應用來不斷提升學生的數(shù)學解題能力.數(shù)形結合可以分為三種基本模式，第一種是以形化數(shù)，第二種是以數(shù)化形，第三種是數(shù)形同一.不同的模式有著不同的適用范圍，教師要優(yōu)化題目的設置.就以平方差公式為例，平方差公式是初中數(shù)學教學的主要知識點之一，也是學生數(shù)學解題的利器，巧用平方差公式，可以提升學生的解題效率.但很多學生在平方差公式的運用中，僅僅知其然，不知其所以然，或者說，會用但不懂.這為學生的數(shù)學學習埋下了隱患.對此，教師可以借助數(shù)形結合的方法，讓學生更好地理解平方差公式的含義.比如，某正方形邊長為a，從其左下角除截取一段邊長為b的正方形，讓學生計算陰影部分的面積.正方形面積的求解是小學階段的知識點，學生很快便可以計算出陰影部分的面積為a2-b2，陰影部分可以拆分拼湊為長為a+b，寬為a-b的長方形，根據(jù)長方形的面積計算公式，新的陰影部分的面積為（a+b）（a-b）.

（三）在難點突破中應用

數(shù)學課程的知識點具有很強的抽象性，無論在基本知識的教學中，抑或在解題訓練中，學生都會遭遇到不少的難點，這也是數(shù)學課程畏難情緒普遍存在，兩極分化現(xiàn)象嚴重的主要原因.對此，數(shù)形結合有著很好的應用價值.數(shù)形結合以代數(shù)與幾何之間的有機轉化為重點，不僅可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，讓學生尋找最優(yōu)解，對抽象問題的直觀化也有著很好的作用，是突破教學難點，提高教學效果的重要方法.就以12+122+123+124+…+12n為例，本題實際上是等比數(shù)列的連加問題.等比數(shù)列的連加是高中階段的知識點，除了部分接受過奧數(shù)訓練的學生外，大部分學生并不知曉等比數(shù)列的知識，更不會使用等比數(shù)列連加的公式.因此，在解題中多以窮舉法、歸納法為主，不斷設置n的數(shù)值，觀察結果.比如當n=2時，答案為34，當n等于3時，答案為78，當n=4時，答案為1516，由此總結答案為1-12n.此種解題方法只能求出答案，卻不利于學生理解答案，難以幫助學生解決心中的困惑.對此，數(shù)形結合能夠發(fā)揮意想不到的作用.假設一個正方形的邊長為1，那么12就是正方形一半的面積，14就是正方形一半的一半的面積，如此類推，隨著n的數(shù)值不斷增加，12+122+123+124+…+12n的答案會越來越趨近于1，而圖形同樣直觀地表明了12+122+123+124+…+12n的答案為1-12n.

（四）在自主探究中應用

自主探究是學生數(shù)學學習的重要手段.借助自主探究，可以很好培養(yǎng)學生的探究意識，發(fā)展學生的自學能力.因此，在數(shù)形結合的教學應用中，教師要善于以數(shù)形結合為出發(fā)點，為學生布置與數(shù)形結合相關的自主探究題目，以此來提高學生數(shù)形結合思想的運用能力.在題目布置中，教師要遵循由淺入深的基本原則，先借助相對簡單的題目讓學生掌握數(shù)形結合的應用范圍以及應用方法，然后再提高數(shù)形結合的應用難度，逐步提升學生的應用水平.舉例而言，龜兔賽跑是學生耳熟能詳?shù)墓适?，兔子的跑步速度雖然快于烏龜，但由于自大，在中途睡了一覺，等睡醒后，烏龜已經(jīng)接近終點，最終兔子輸了比賽.筆者在教學中，要學生結合給出的數(shù)據(jù)條件，畫出龜兔賽跑的函數(shù)圖.從函數(shù)的角度出發(fā)，兔子的跑步是分段函數(shù).因此，函數(shù)圖像分為三段，而烏龜?shù)暮瘮?shù)則是簡單的一次函數(shù)，函數(shù)圖像為一段.學生在函數(shù)圖的繪制中要注意三點內(nèi)容，第一、兔子的速度較快，在龜兔同時賽跑的時間段內(nèi)，兔子的斜率更大;第二、兔子中間休息了一段時間，函數(shù)圖像中有一段直線;第三、兔子在龜兔賽跑中的總耗時高于烏龜.函數(shù)及其圖像是數(shù)形結合應用最為廣泛的領域，教師在探究題目的設置中，要引導學生利用圖像和已知條件求解析式，或者利用解析式畫出函數(shù)圖像，求解問題.舉例而言，已知某二次函數(shù)y=2x2+bx+c，函數(shù)圖像經(jīng)過點（2，3），且二次函數(shù)y=2x2+bx+c的定點位于直線y=3x+2上，求出該二次函數(shù)的解析式.本題二次函數(shù)的解析式中未知數(shù)為b，c，學生首先要畫出簡單的示意圖，使題目明朗化，然后借助已知條件將頂點表示為-14b，8c-b28帶入一次方程中求解.

三、結?語

數(shù)與形的關系是初中數(shù)學課程中最為重要的一對矛盾關系，掌握數(shù)與形之間的辯證關系，是學生學好數(shù)學的一把鑰匙.因此，在初中數(shù)學教學中，教師要重視數(shù)形結合在課堂教學中的應用，從概念講解、習題訓練等多個角度出發(fā)，采取好有效的教學措施.

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