解讀輔助角公式的應(yīng)用

■薛佳彬

在三角函數(shù)中，輔助角公式asinθ+其中φ角所在象限由a，b的符號確定，φ角的值由tanφ=確定。它在三角函數(shù)中的應(yīng)用比較廣泛，下面分別舉例說明，以供同學(xué)們參考。

一、求三角函數(shù)的值域或最值

例1已知函數(shù)，x∈R（其中ω＞0），求函數(shù)f（x）的值域。

解：1。由，得 -3≤所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-3，1]。

點(diǎn)評

本題先將函數(shù)f（x）化為y=Asin（ω x+φ）+k的 形式，再利用三角函數(shù)的有界性求值域，其解答過程簡潔有效。

跟蹤練習(xí)1：求函數(shù)y=2 sinx（sinx+cosx）的最大值。

提示：y=2 sinx（sinx+cosx）=2 sin2x+2 sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+因?yàn)椋院瘮?shù)y的最大值為

二、求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例2求函數(shù)cosx+1的單調(diào)區(qū)間。

解：

點(diǎn)評

先將原函數(shù)化為y=Asin（ω x+φ）+k的形式，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解，達(dá)到快速解答的目的。

跟蹤練習(xí)2：已知函數(shù)f（x）=，求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間。

提示：由題設(shè)可知，則

三、求三角函數(shù)的周期

例3函數(shù)y=cos22x+4 cos 2xsin 2x的最小正周期是____。

解：y=cos22x+4 cos2xsin 2x=所 以 函數(shù)y的最小正周期

點(diǎn)評

將已知三角函數(shù)式化為y=Asin（ω x+φ）+k的形式后，就可以用周期公式來解決問題了。

跟蹤練習(xí)3：已知函數(shù)，求函數(shù)f（x）的最小正周期。

提示：因?yàn)樗詅（x）的最小正周期

四、判斷三角函數(shù)的奇偶性

例4已知函數(shù)判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由。

解：因?yàn)榍襣（x）=所以所以g（-x）=故函數(shù)g（x）是偶函數(shù)。

點(diǎn)評

討論函數(shù)的奇偶性，其前提條件是函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱。否則，即使有f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）成立，函數(shù)也是非奇非偶函數(shù)。

跟蹤練習(xí)4：若函數(shù)是奇函數(shù)，則φ為____。

提示：因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以即又因?yàn)?＜φ＜π，所以

五、求三角函數(shù)式中字母的值

例5如果函數(shù)y=sin 2x+a·cos 2x的圖像關(guān)于直線對稱，則a的值為____。

解：（其中tanφ=a）。因?yàn)槭菍ΨQ軸，所以直線過函數(shù)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)或所以即，解得a=-1。

點(diǎn)評

先用輔助角公式將已知的三角函數(shù)式化為y=Asin（ω x+φ）+k的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解，整個(gè)解題過程簡捷有效。

跟蹤練習(xí)5：如果函數(shù)的最大值為2，則a的值為____。因?yàn)楹?/p>

提示：其中數(shù)f（x）的最大值為2，所以解得

六、解決有關(guān)函數(shù)圖像的變換問題

例6已知函數(shù)f（x）=sin2x+則函數(shù)f（x）的圖像可由函數(shù)y=sin2x的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到?

解：

（方法一）先把函數(shù)y=sin2x圖像上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像；再把所得圖像上的所有點(diǎn)向上平移個(gè)單位長度，就得到函數(shù)的圖像。

（方法二）把函數(shù)y=sin2x圖像上的所有點(diǎn)按向量平移，就得到函數(shù)的圖像。

點(diǎn)評

解答本題時(shí)，首先，要利用輔助角公式化簡函數(shù)f（x）；其次，要弄清圖像變換是看“變量”起多大變化，而不是“角”變化多少。如將函數(shù)y=sin 2x圖像上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，而不是函數(shù)y=的圖像；再如，將函數(shù)y=圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的得到函數(shù)的圖像，而不是函數(shù)的圖像。

跟蹤練習(xí)6：已知函數(shù)則函數(shù)f（x）的圖像可由函數(shù)y=sinx的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?

提示：f（x）

首先，把函數(shù)y=sinx圖像上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=的圖像；其次，把得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像；再次，把得到的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像；最后，把得到的圖像向上平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像。

編者注：輔助角公式在解決有關(guān)三角函數(shù)的性質(zhì)、圖像變換等問題時(shí)都具有非常重要的作用，它主要是把形如y=asinx+bcosx的三角函數(shù)式化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)式，達(dá)到順利解答問題的目的。同學(xué)們在學(xué)習(xí)中，要用心探討課本中的例題，才能感悟出其中的真諦。通過歸納整理，可以避免盲目低效率的大量重復(fù)做題，從而提高學(xué)習(xí)效率。