掃描三角恒等變換中的解題誤區(qū)

■謝邦城

三角恒等變換的方法靈活多變，突出對思維的靈活性和嚴密性的考查。同學們在解題時，稍有不慎，便會出現(xiàn)增解、漏解或錯解的情況。下面歸納三角恒等變換求解中的誤區(qū)，希望能給同學們以警示。

誤區(qū)1：對三角函數(shù)的定義理解出錯

例1已知角θ的終邊落在直線y=-3x上，求2 sinθ+3 cosθ的值。

錯解：取該直線上一點（1，-3），則sinθ=-3，cosθ=1，所以2 sinθ+3 sinθ=2×（-3）+3×1=-3。

剖析：上述解法對sinθ=y，cosθ=x的理解有誤，定義中的點（x，y）應是角θ終邊與單位圓的交點坐標，而不是任意點。設角θ終邊與單位圓的交點為（x，y），則解得

警示：這類問題需要借助單位圓，將角θ終邊上的點轉(zhuǎn)化成終邊與單位圓的交點，再依據(jù)三角函數(shù)的定義求解。

糾錯練習1：若α的終邊所在直線經(jīng)過點則sinα=____。

提示：由點P的坐標可知直線過第二、四象限。若α的終邊在第二象限，則sinα=；若α的終邊在第四象限，則sinα

誤區(qū)2：忽視軸線角的討論

例2已知sinα=2 sinβ，tanα=3 tanβ，求cosα的值。

錯解：因為，所以

由sin2β+cos2β=1，可得cos2α=1，解得，即

剖析：上述解法是在tanα≠0，tanβ≠0的前提下得到的結(jié)果，而已知條件包含了tanα=0，tanβ=0的情形，即軸線角α=β=kπ（k∈Z），此時cosα=±1也滿足題意。

警示：在三角函數(shù)求值中，熟練選用三角公式和正確把握各個公式成立的前提條件是解題的關(guān)鍵。解答本題要注意對軸線角的討論，以避免漏解。

糾錯練習2：已知α為第三象限角，則2α終邊落在____。

提示：由α是第三象限角，可得2kπ+π，則4kπ+2 π＜2α＜4kπ+3 π，k∈Z，故2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負半軸上。

誤區(qū)3：忽視三角函數(shù)求值中的隱含條件

例3若α，β，γ均為銳角，且sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，則α-β等于（ ）。

錯解：由已知條件可得sinα-sinβ=-sinγ，cosα-cosβ=cosγ，兩式平方相加可得因為α，β均為銳角，所以，故應選C。

剖析：上述解法沒有充分利用α，β，γ均為銳角的條件導致增解。

由已知條件可得sinα-sinβ=-sinγ，cosα-cosβ=cosγ，兩式平方相加可得由于γ為銳角，可知sinαsinβ=-sinγ＜0，所以sinα＜sinβ。

又α，β均為銳角，可得α＜β，故-β＜0，可知應選B。

警示：由α，β，γ均為銳角，可得隱含條件sinα＜sinβ，即α＜β，這也是解答本題的關(guān)鍵。

糾錯練習3：設方程的兩根為x1，x2，記x1=tanα，x2=tanβ，0＜，則α+β=____。

提示：由方程的判別式恒大于0，且可知x1＜0，x2＜0。

因為x1=tanα，x2=tanβ，所以α，β∈可得

又-π＜α+β＜0，故

誤區(qū)4：給值求角中選用三角函數(shù)名稱不當

例4若，且α，β均為銳角，求2α+2β的值。

錯解：因為α為銳角，所以cosα=

因為β為銳角，所以

又因為sin（α+β）=sinαcosβ+cosα·，且＜π，所以或，即2α+2β或

剖析：因為函數(shù)y=sinx在[0，π]上不是單調(diào)函數(shù)，y=cosx在[0，π]上是單調(diào)函數(shù)，所以應求cos（α+β）的值，以防止增解。

由上面解法可得cos（α+β）=cosαcosβ

警示：由三角函數(shù)的值確定角的大小，一定要結(jié)合角的范圍選擇合適的三角函數(shù)。一般地，已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，若角在（0，π）上，選余弦函數(shù)，若角在上，選正弦函數(shù)。

糾錯練習4：若A，B均為銳角，且tanA則A+2B的值為（ ）。

提示：由且B為銳角，可得，即得tanB=，所以

誤區(qū)5：忽視三角函數(shù)值對角的影響

例5已知且α∈（0，π），β∈（0，π），求2α-β的值。

錯解：由可得 tanα=tan[（α-β）+β]=所 以 tan 2α=則 tan （2α-β）=

由α∈（0，π），β∈（0，π）可得2α-β∈（-π，2 π）。

剖析：上述解法在求2α-β的范圍時，只是依據(jù)了題目所給的α∈（0，π）和β∈（0，π），而忽視了三角函數(shù)值對其角的取值范圍的限制。

又因為tan（2α-β）=1，所以

警示：給值求角時，角的取值范圍容易被忽視而出現(xiàn)增解，因此要注意三角函數(shù)值對角的取值范圍的限制。

糾錯練習5：已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ則cos 2θ=____。

提示：因為0＜θ＜π，sinθ+cosθ=＜0，所以對兩邊平方可得，所以π＜2θ＜

感悟與提高

參考答案：

1.提 示：因 為所 以

2.提示：原式