2018 年高考三角恒等變換問題聚焦

■劉大鳴（特級(jí)教師）

2018年高考三角恒等變換圍繞“三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的求值、方程組觀念的應(yīng)用、合理的湊角和輔助角公式”等展開的，凸顯三角恒等變換的工具性。

聚焦1：三角函數(shù)的定義

例1（2018年高考北京卷）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中是圓O：x2+y2=1上的四段弧，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè) x為始邊，O P為終邊，若tanα＜cosα＜sinα，則點(diǎn)P所在的圓弧是（ ）。

圖1

解：由圖可知，有向線段OM為余弦線，有向線段MP為正弦線，有向線段A T為正切線。當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，cosα=x＞sinα=y，A錯(cuò)誤。當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，cosα=x，，tanα＞sinα＞cosα，B錯(cuò)誤。當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，cosα=x，sinα=，sinα＞cosα＞tanα，C正確。點(diǎn)P在上時(shí)，tanα＞0，sinα＜0，cosα＜0，D錯(cuò)誤。應(yīng)選C。

反思：本題主要考查單位圓中三角函數(shù)的定義。

變式訓(xùn)練1：已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)則的值為____。

提示：因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上，又在角θ的終邊上，所以，可得

聚焦2：三角恒等變換中方程組觀念的應(yīng)用

例2（2018年高考新課標(biāo)卷）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin（α+β）=____。

解法1：兩邊平方求值。已知條件兩邊平方再相加，可得2+2（sinαcosβ+cosα·sinβ）=1，即sin（α+β）=

解法2：借助平方關(guān)系求值。由已知條件可得所以sin（α+β）=sinα·cosβ+cosαsinβ=sinα（1 -sinα）+cosα（ - cosα）=sinα-1。因 為 sin2β+cos2β=1，所以 （- cosα）2+（1 -sinα）2=1，可得故原式

解法3：利用同角關(guān)系平方消元求值。由題設(shè)可得cosβ=1-sinα，sinβ=-cosα，所以（1-sinα）2+（-cosα）2=1，即sinα=，所以cosβ=1-sinα

反思：上述三種解法凸顯了三角恒等變換中“方程組觀念的應(yīng)用意識(shí)”。

變式訓(xùn)練2：已知sinα+sinβ=1，cosα，求cos（α-β）和cos（α+β）的值。

提示：由sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=兩邊平方相加可得sin2α+2 sinαsinβ+sin2β+cos2α+2 cosαcosβ+cos2β=4，即2+2 cos（α-β）=4，所以cos（α-β）=1。

已知條件兩邊平方相減可得cos2αsin2α+2 cosαcosβ-2 sinαsinβ+cos2βsin2β=2，即cos 2α+2 cos（α+β）+cos 2β=2，cos[（α+β）+（α-β）]+2 cos（α+β）+cos[（α+β）-（α-β）]=2，展開化簡(jiǎn)得cos（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）=1，據(jù)此可得

聚焦3：三角恒等變換中的“湊角”策略

例3（2018年高考江蘇卷）已知α，β為銳角求cos 2α和tan（α-β）的值。

解：由可得，代入 sin2α+cos2α=1，可 得故由α，β為銳角，可得α+β∈ （0，π），所 以sin（α+β）=據(jù)此可得tan（α+β）=-2。

反思：給值求值問題的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間角的差異，從湊角入手求值。

變式訓(xùn)練3：已知，則tan（β-2α）=____。

提示：由已知條件可得1-cos 2α=sinα·cosα，利用公式化簡(jiǎn)可得2 tanα=1，即tanα所以tan（β-2α）=tan[（β-α）-α]=

聚焦4：三角函數(shù)的定義與三角恒等變換的交匯

例4（2018年高考全國新課標(biāo)卷）已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù) 半 軸 重 合，終 邊 上 有 兩 點(diǎn)A（1，a），B（2，b），且，則

解法1：由O，A，B三點(diǎn)共線可得，即b=2a。因?yàn)樗砸罁?jù)正切函數(shù)的定義可得，即因?yàn)閎=2a，所以

解法2：因?yàn)?，所以可得，即?dāng)時(shí)，可得，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，可得故

反思：解答本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共線的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，余弦的倍角公式，正切函數(shù)的定義式。

變式訓(xùn)練4：已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)若角β滿足求cosβ的值。

提示：由題意可得由題設(shè)可得由β=（α+β）-α，可得或