三角恒等變換常見典型考題賞析

■張文偉

三角恒等變換是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是每年高考的必考知識點(diǎn)。近幾年高考對三角恒等變換的考查難度有所降低，主要考查三角恒等變換中的公式應(yīng)用問題、角的變換問題、求值與證明問題。下面舉例解讀這部分的典型考題，供大家學(xué)習(xí)與提高。

題型一：三角函數(shù)公式的應(yīng)用問題

三角函數(shù)公式主要有兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。解題時，要注意三角函數(shù)公式的逆用和變形應(yīng)用，如sinαsinβ+cos（α+β）=cosαcosβ，cosαsinβ+sin（α-β）=sinα·cosβ，tanα±tanβ=tan（α±β）·（1?tanα·

例1若且 3 cos2α=，則sin 2α的值為（ ）。

解：由可 得由α∈可知cosα-sinα≠0，于是可得兩邊平方可得1+，即應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練1：在斜三角形A B C中，sinA，且則角A的值為（ ）。

提示：由題意可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosB·sinC，等式兩邊同除以cosBcosC得tanB因為tan（B+C）=-1=-tanA，即tanA=1，所以應(yīng)選A。

題型二：角的變換問題

三角函數(shù)公式中角的變換與名的變換是三角函數(shù)求值中的重要題型，要熟悉角的拆分與組合的技巧，要掌握半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化，如2α=（α+β）+（α-β），α=（α+β）-轉(zhuǎn)化思想是實施三角變換的主導(dǎo)思想，三角恒等變形要弄清已知式中角的差異、函數(shù)名稱的差異、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，從中尋求聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。

例2已知且則sinβ=____。

解：因為，且cosα所以α+β∈（0，π），

故sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）·

跟蹤訓(xùn)練2：若α，β都是銳角，且cosα=則cosβ=____。

提示：因為α，β都是銳角，且，所以

故cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α

題型三：輔助角公式的應(yīng)用問題

函數(shù)f（α）=acosα+bsinα（a，b為常數(shù)），可化為或其中φ由a，b的值唯一確定。利用輔助角公式可求三角函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間、周期，這也是高考的常考題型。

例3已知函數(shù)f（x）=asin2x+bcos 2x，其中a，b∈R，a b≠0。若f（x）≤對一切x∈R恒成立，且0，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）。

解：f（x）=asin 2x+bcos 2x=sin（2x+φ），其中φ由所確定。

跟蹤訓(xùn)練3：已知則=（ ）。

提示：因為所以應(yīng)選B。

題型四：三角函數(shù)的圖像問題

高考對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用問題的考查主要有五種命題角度：圖像變換與函數(shù)性質(zhì)；恒等變換與函數(shù)性質(zhì)；三角函數(shù)圖像與性質(zhì)；三角函數(shù)性質(zhì)與平面向量；三角函數(shù)性質(zhì)與解三角形。

例4若將函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）+的圖像向左平移個單位長度，平移后的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則 函 數(shù)g（x）=cos（x+φ）在上的最小值是（ ）。

解：因為f（x）=sin（2x+φ）+所以將函數(shù)f（x）的圖像向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的解析式為又該圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，其對稱中心在函數(shù)圖像上，所以解得，即φ=kπ-由0＜φ＜π，可得，這時

跟蹤訓(xùn)練4：函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移____個單位長度得到。

提示：因為所以把的圖像至少向右平移個單位長度可得到函數(shù)y的圖像。

題型五：三角函數(shù)的化簡問題

三角函數(shù)的化簡是三角函數(shù)的基本題型之一，一般涉及誘導(dǎo)公式、兩角和與差的公式、二倍角公式以及三角函數(shù)的恒等變形。三角函數(shù)的化簡要遵循“三看”原則：一看角，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；二看函數(shù)名稱，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”等；三看結(jié)構(gòu)特征，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助找到變形的方向，如“遇到分式要通分”等。

例5化簡

解

跟蹤訓(xùn)練5：化簡

提示

題型六：非特殊角的求值問題

三角函數(shù)給角求值問題的解題策略：一般所給角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)問題。此類問題也常通過代數(shù)變形（如正負(fù)項相消、分子分母相約等）的方式來求值。

例 6的值是____。

解

跟蹤訓(xùn)練6：4 cos 50°-tan 40°=____。

提示：原式

題型七：給值求值問題

三角函數(shù)的給值求值問題的解題步驟：先化簡所求式子或所給條件，再觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系，最后將已知條件代入所求式子，化簡求值。

例7已知實數(shù)若sin[2（α+γ）]=3 sin 2β，則m=（ ）。

解：設(shè)A=α+β+γ，B=α-β+γ，則2（α+γ）=A+B，2β=A-B。

因為sin[2（α+γ）]=3 sin2β，所以sin（A+B）=3 sin（A-B），即sinAcosB+cosAsinB=3（sinAcosB-cosAsinB），2 cosAsinB=sinAcosB，由此可得tanA=2 tanB。

跟蹤訓(xùn)練7：已知則

提示

題型八：三角函數(shù)的給值求角問題

三角函數(shù)給值求角問題的解題策略：通過先求角的某個三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵循以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)。②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是，選正弦或余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是（0，π），選余弦函數(shù)較好；若角的范圍為，選正弦函數(shù)較好。

例8已知且，求β的值。

解：由，可得所以由可得故cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）

跟蹤訓(xùn)練8：已知銳角α，β滿足sinα=，則α+β等于（ ）。

提示：由且α，β為銳角，可知

故cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=因為0＜α+β＜π，所以應(yīng)選C。

題型九：三角函數(shù)的性質(zhì)問題

求解三角函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等問題時，一般先要進(jìn)行三角恒等變換，把三角函數(shù)式化為一個角的一種三角函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念、三角函數(shù)奇偶性的規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解。

例9已 知 函 數(shù)f（x）=sin2ω x+的最小正周期為 π，則f（x）在 區(qū) 間上的值域為（ ）。

解：函數(shù)因為，所以ω=1，這時函數(shù)

跟蹤訓(xùn)練9：已知函數(shù)的最大值為A，若存在實數(shù)x1，x2，使得對任意實數(shù)x總有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，則A|x1-x2|的最小值為（ ）。

提示：因為sin 2019x+cos 2019x=，所以函數(shù)f（x）的最大值為A=2。

由題意可得|x1-x2|的最小值為所以A|x1-x2|的最小值為應(yīng)選B。

題型十：三角函數(shù)與平面向量的交匯問題

平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。對于這類問題，若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理，可使解題過程得到簡化，從而可以提高解題的速度。

例10已知向量，函數(shù)f（x）=m·n。

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期。

解：（1）由題意可得函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的

跟蹤訓(xùn)練10：設(shè)向量a=（cosα，-1），b=（2，sinα），若a⊥b，則（ ）。

提示：由a⊥b，可得a·b=2 cosαsinα=0，所以tanα=2。