在探究中提升能力 在活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)
——一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課的教學(xué)改進(jìn)與思考

謝俊峰

（江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“雙基”的基礎(chǔ)上提出了“四基”，其中增加了數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并將基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)視為更加上位的課程目標(biāo).蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》中設(shè)計(jì)了多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng).例如，每個(gè)章節(jié)都設(shè)計(jì)了章前圖、數(shù)學(xué)活動(dòng)、課題學(xué)習(xí)、做一做、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室等，其中章節(jié)開頭的數(shù)學(xué)活動(dòng)，主要是引導(dǎo)學(xué)生通過“做”感受數(shù)學(xué)；章節(jié)中間的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是引導(dǎo)學(xué)生通過“做”探索知識(shí)和結(jié)論；章節(jié)最后的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是引導(dǎo)學(xué)生通過“做”應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單問題.這些活動(dòng)的設(shè)計(jì)讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)踐操作感受和理解數(shù)學(xué)，或者自主探索可能發(fā)生的規(guī)律和結(jié)論，運(yùn)用相關(guān)的結(jié)論解決某些問題，在活動(dòng)過程中不斷豐富學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

為了探索初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)指導(dǎo)理論，結(jié)合筆者開設(shè)的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)課設(shè)計(jì)的一些粗淺看法.本節(jié)課是蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章“軸對(duì)稱圖形”之后的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課“折紙與證明”.

一、教材設(shè)計(jì)，引起思考

教材上給出的活動(dòng)設(shè)計(jì)如下.

折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法.

例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖1），怎樣證明∠C＞∠B呢？

圖1

圖2

圖3

把AC沿∠A的平分線翻折，因?yàn)锳B＞AC，所以點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C′處（如圖2）；然后把紙展平，連接CC′，CC′在∠ACB的內(nèi)部（如圖3）.

于是，∠AC′B＞∠ACC′，∠ACC′=∠AC′C，∠AC′C＞∠B.

選用下面提供的活動(dòng)材料，折紙并證明.

1.用一張正方形紙片折等邊三角形.

（1）如圖4，把正方形紙片ABCD對(duì)折后再展開，折痕為EF；

圖4

圖5

（2）如圖5，將點(diǎn)A翻折到EF上的點(diǎn)A′處，且使折痕過點(diǎn)B；

（3）如圖6，沿A′C折疊，得△A′BC（如圖7）.

圖6

圖7

你能證明△A′BC是等邊三角形嗎？

2.用紙條折一個(gè)正五邊形.

（1）把紙條打好一個(gè)結(jié)（如圖8），再拉緊壓平（如圖9）；

圖8

圖9

（2）沿圖10中的虛線剪開，就得五邊形ABCDE（如圖11）.

圖10

圖11

各邊相等、各角相等的五邊形是正五邊形，你能證明五邊形ABCDE是正五邊形嗎？

在閱讀過教材上的活動(dòng)設(shè)計(jì)后，筆者有以下幾點(diǎn)思考.

第一，教材中此數(shù)學(xué)活動(dòng)的重點(diǎn)是進(jìn)行折紙后的證明，而不是折紙本身的過程，筆者認(rèn)為學(xué)生折紙?zhí)骄康倪^程更具有活動(dòng)的價(jià)值和探索的意義.因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)中可以考慮將活動(dòng)的重點(diǎn)放在折紙的過程中，學(xué)生知道了“折”的過程，那么“證”的過程就非常自然了.

第二，折紙問題的本質(zhì)是軸對(duì)稱圖形，這也是將數(shù)學(xué)活動(dòng)放在“軸對(duì)稱圖形”這一章節(jié)之后的原因.教師應(yīng)該注重建立折紙問題與軸對(duì)稱圖形的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生在操作的過程中主動(dòng)感知，從中體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活.

第三，學(xué)生在折出正五邊形后，要自主探究出正五邊形的證明過程，這對(duì)學(xué)生推理證明的要求較高.此證明需要添加多條輔助線，不符合學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平.

二、重新設(shè)計(jì)，突出操作

結(jié)合以上三點(diǎn)思考，筆者對(duì)本節(jié)活動(dòng)課進(jìn)行了二次設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)，試圖幫助學(xué)生在折紙中提升能力，在活動(dòng)過程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

活動(dòng)1：展示折紙作品.

師：小時(shí)候我們玩過折紙，同學(xué)們，請(qǐng)用你們手中的紙來折一折，你能折出什么來呢？

學(xué)生動(dòng)手折疊.

師：你們折出了什么？

學(xué)生折出飛機(jī)、輪船、青蛙、衣服等.

師：同學(xué)們的手都非常巧，折出了很多有趣的作品，大部分同學(xué)折出的都是我們剛剛學(xué)過的一種圖形，是什么？

生：軸對(duì)稱圖形.

師：非常好！現(xiàn)在把你們自己的作品展開、還原，大家看看由折痕組成的圖形是什么圖形？

生：仍然是軸對(duì)稱圖形.

師：看來，折紙與數(shù)學(xué)有著很深的聯(lián)系，今天我們就來一起研究折紙中的數(shù)學(xué).

教師書寫課題.

【評(píng)析】折紙活動(dòng)過程是一個(gè)充滿想象力、創(chuàng)造力和手腦并用的過程.童年時(shí)，學(xué)生用他們稚氣的雙手把一張普通的紙折成飛機(jī)、輪船、動(dòng)物等，現(xiàn)在再來折紙，學(xué)生會(huì)非常感興趣.通過展開折紙作品，學(xué)生觀察折痕所形成的圖形，可以幫助學(xué)生建立折紙操作與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，并將數(shù)學(xué)寓于折紙之中，從折痕中能發(fā)現(xiàn)并揭示出幾何的對(duì)象和性質(zhì)等，如全等、軸對(duì)稱等，初步感受折紙中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，也深刻理解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，既活躍了課堂氣氛，又適時(shí)的引入了課題.

活動(dòng)2：折正方形.

用長(zhǎng)方形紙片折出正方形，說出折疊過程，并證明折出的四邊形是正方形.

學(xué)生動(dòng)手操作，很快都能折出如圖12所示的正方形ABCD.

圖12

師：四條邊相等、四個(gè)角均為直角的四邊形是正方形.你們折出來的是正方形嗎？

學(xué)生紛紛拿出直尺和量角器測(cè)量.

師：眼睛看到的都是真的嗎？因此，我們要進(jìn)行推理與證明.

學(xué)生開始思考并證明.

【評(píng)析】絕大多數(shù)的折紙作品都是先從折正方形開始的，折正方形也是最簡(jiǎn)單的折紙，活動(dòng)2體現(xiàn)了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過程.學(xué)生很快就能用長(zhǎng)方形紙片折疊出正方形，通過看一看、量一量，學(xué)生也能猜想到這是一個(gè)正方形.但讓學(xué)生來進(jìn)行說理時(shí)，他們首先感到有一定的困難，經(jīng)過思考后，又能很快給出證明.在這個(gè)過程中，突出了學(xué)生的主體性，讓學(xué)生感受到合情推理與演繹推理的相鋪相成.在幾何證明中，讓學(xué)生感知折疊問題的本質(zhì)是軸對(duì)稱問題，通過軸對(duì)稱的性質(zhì)來解決實(shí)際問題.

活動(dòng)3：折等邊三角形.

用活動(dòng)2中得到的正方形紙片，你能折出等邊三角形嗎？小組合作探究，說出折疊過程，并證明折出的三角形是等邊三角形.

學(xué)生獨(dú)自折疊，但不少學(xué)生遇到了困難.教師適時(shí)引導(dǎo).

師：大家想想如果以圖12中正方形的邊作為等邊三角形的邊，猜想一下第三個(gè)頂點(diǎn)位置在哪里呢？

生1：在AB的上方，在中間.

師：誰能夠說得更準(zhǔn)確，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來？

生2：在AB的垂直平分線上.

師：我們要折出等邊三角形，需要知道等邊三角形的判定定理，有哪些呢？

生3：三條邊相等的三角形是等邊三角形，三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形，有一個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形.

師：依據(jù)判定定理，很顯然我們應(yīng)該從邊和角上面去考慮，去折疊，大家小組討論折疊方法.

很快各小組就有了下面的折疊方法.

方法1：如圖13所示.

（1）將正方形ABCD對(duì)折，得到折痕MN.

（2）將邊AB向上翻折，使得點(diǎn)B落在折痕MN上，再折疊得到折痕AE.

（3）過B，E兩點(diǎn)折疊，得到折痕BE.

△ABE即為所求的等邊三角形.

圖13

圖14

方法2：如圖14所示.

（1）將正方形ABCD對(duì)折，得到折痕MN.

（2）將邊AD向中間翻折，使得點(diǎn)D落在折痕MN上，再折疊得到折痕AE.

（3）過B，E兩點(diǎn)折疊，得到折痕BE.

△ABE即為所求的等邊三角形.

對(duì)于方法2，學(xué)生的證明過程如下.

證明：在正方形ABCD中，AB=AD.

因?yàn)檫匒D向中間翻折得到AE，

所以AD=AE.

因?yàn)閷⒄叫蜛BCD對(duì)折，得到折痕MN，

所以MN垂直平分AB.

所以AE=BE.

所以AB=AE=BE.

所以△ABE是等邊三角形.

師：通過剛才的操作過程，我們可以發(fā)現(xiàn)在折疊之前要先思考再操作，不要盲目的去做.折疊過等邊三角形、正方形，我們還可以折出正五邊形，大家課后進(jìn)一步去思考折疊的方法，并進(jìn)行驗(yàn)證.

【評(píng)析】在正方形的基礎(chǔ)上來折疊等邊三角形，其難度有一定增加.學(xué)生在折疊、操作過程中遇到了困難，通過教師的引導(dǎo)，分析出等邊三角形頂點(diǎn)的位置，以及等邊三角形的性質(zhì)，再讓學(xué)生進(jìn)行操作，這樣折疊更有針對(duì)性.學(xué)生折疊思考的過程，實(shí)際上也是分析證明的過程，有了折的經(jīng)驗(yàn)，證的過程就顯得非常自然了.在證明過程中讓學(xué)生再次感受折疊問題的本質(zhì)是軸對(duì)稱，并通過軸對(duì)稱的性質(zhì)來解決實(shí)際問題.這樣一個(gè)思考、分析、糾錯(cuò)、操作、驗(yàn)證的過程，對(duì)于學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得是非常有價(jià)值的，既體現(xiàn)了學(xué)生主體性，又體現(xiàn)了方法的多樣性.

圖15

活動(dòng)4：折紙方法的應(yīng)用.

如圖15，在△ABC中，AB＞AC，你能證明∠C＞∠B嗎？（大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角.）

生4：從圖中很明顯可以看出∠C＞∠B.

生5：將圖形折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，則∠B落在∠C內(nèi)部，所以∠C＞∠B.

師：這是操作所得的結(jié)果，大家認(rèn)為嚴(yán)謹(jǐn)嗎？

生6：我認(rèn)為不夠嚴(yán)謹(jǐn)，需要進(jìn)行推理論證.可以過點(diǎn)A折疊，使得點(diǎn)C落在AB上.

師：點(diǎn)C一定落在AB上嗎？

生6：一定，因?yàn)锳B＞AC，然后利用外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角來證明.

師：通過剛才探求證明方法的過程，可以感受到：折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法.

思考：在△ABC中，∠C＞∠B，你能證明AB＞AC嗎？（大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊.）

【評(píng)析】折紙活動(dòng)不僅是有趣的，而且是有用的，它會(huì)給證明提供一種思路.因此在遇到一些幾何證明題目時(shí)，可以通過折一折、做一做，在實(shí)際操作過程中來尋找證明的方法，將數(shù)學(xué)問題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來，通過生活中的方法來解決數(shù)學(xué)問題，這是直觀想象核心素養(yǎng)的一種體現(xiàn)，也是活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的直接應(yīng)用，體現(xiàn)了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的可發(fā)展性.同時(shí)，在解決此思考題的過程中，學(xué)生第一次折疊錯(cuò)誤，再進(jìn)行思考與分析，得到了第二種折疊方法，自我的糾錯(cuò)能力也得到了提升，學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也進(jìn)一步得到了豐富.

三、課后反思，提升經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)課首先要選準(zhǔn)數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的起點(diǎn).數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)太低，學(xué)生會(huì)覺得沒有探究的必要，不能激發(fā)學(xué)生探究的興趣；反之，設(shè)計(jì)起點(diǎn)太高，學(xué)生無法在已有的知識(shí)方法與所要探究的對(duì)象之間建立有效的聯(lián)系，從而失去探究的欲望.本節(jié)課教學(xué)起點(diǎn)建立在學(xué)生學(xué)習(xí)了“軸對(duì)稱圖形”一章之后，通過折紙活動(dòng)引入課題，通過折正方形，到折等邊三角形，再到利用折疊方法來尋找解題思路，學(xué)生拾級(jí)而上，自然而然解決問題.

數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)要凸顯學(xué)生的主體性.史寧中先生曾說過，我們必須清楚，世界上有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷.智慧并不完全依賴知識(shí)的多少，而依賴知識(shí)的運(yùn)用、依賴經(jīng)驗(yàn)，教師只能讓學(xué)生在實(shí)際操作中磨煉.荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也說過，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過親身體驗(yàn)，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學(xué)不會(huì)的.因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累需要學(xué)生主動(dòng)去探究、去操作、去思考、去積累、去反思，這樣的過程是不能缺少的.在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，學(xué)生在折疊等邊三角形時(shí)主動(dòng)去嘗試，失敗后修改，再嘗試，最后獲得成功的體驗(yàn).同時(shí)，在活動(dòng)過程中，學(xué)生之間相互交流、探究，也有助于學(xué)生合作意識(shí)的形成，這樣的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)是非常重要的.

數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)要有探究的價(jià)值.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不應(yīng)停留在化抽象為直觀、變靜止為運(yùn)動(dòng)、變孤立為綜合的層面上，而應(yīng)注重揭示這些過程背后隱藏的數(shù)學(xué)本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系，要與數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法掛鉤，避免純粹“漫畫式”的、缺乏數(shù)學(xué)思考的簡(jiǎn)單操作活動(dòng).數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)活動(dòng)是密不可分的，數(shù)學(xué)活動(dòng)既是產(chǎn)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程，也是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的載體，數(shù)學(xué)活動(dòng)的方式?jīng)Q定著數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)容與性質(zhì).數(shù)學(xué)活動(dòng)不同于一般意義上的直觀操作活動(dòng)，它本質(zhì)上是一種思維活動(dòng)，因此教師對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)要有一定的思維價(jià)值，要有探究的意義.