三角函數(shù)圖像的平移和伸縮

■陳 倩

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像兩者之間可以通過變化A,ω,φ,k來相互轉(zhuǎn)化。A,ω影響圖像的形狀,φ,k影響圖像與x軸交點(diǎn)的位置。由A引起的變換稱為振幅變換,由ω引起的變換稱為周期變換,它們都是伸縮變換;由φ引起的變換稱為相位變換,由k引起的變換稱為上下平移變換,它們都是平移變換。三角函數(shù)圖像變換的兩種方法為先平移后伸縮和先伸縮后平移。

1.先平移后伸縮:y=sinx的圖像→(φ＞0時(shí))向左平移|φ|個(gè)單位長度或(φ＜0時(shí))向右平移|φ|個(gè)單位長度→y=sin(x+φ)的圖像→(ω＞1時(shí))橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)或(0＜ω＜1時(shí))橫坐標(biāo)伸長

2.先伸縮后平移:y=sinx的圖像→把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍(橫坐標(biāo)不變)→y=Asinx的圖像→(ω＞1時(shí))橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)或(0＜ω＜1時(shí))橫坐標(biāo)伸長為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)→y=Asinωx的圖像→(φ＞0時(shí))向左平移個(gè)單位長度或(φ＜0時(shí))向右平移個(gè)單位長度→y=Asinx(ωx+φ)的圖像→(k＞0時(shí))向上平移|k|個(gè)單位長度或(k＜0時(shí))向下平移|k|個(gè)單位長度→y=Asin(ωx+φ)+k的圖像。

例1 將函數(shù)y=sinx的圖像通過怎樣的變換可得到函數(shù)y=2sin(2x +)+1的圖像?

(方法2)把y=sinx的圖像的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到y(tǒng)=2sinx的圖像;將所得圖像的橫坐標(biāo)縮小到原來的,得到y(tǒng)=2sin2x的圖像;將所得圖像沿x軸向左平移個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=2sin[2 (x +)]=2sin(2x +)的圖像;把所得圖像沿y軸向上平移1個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=2sin(2x +)+1的圖像。

說明:無論哪種變換,都是針對自變量x而言的。如由y=sin2x的圖像向左平移個(gè)單位長度,得到的函數(shù)圖像的解析式是y=sin[2 (x +)]。對于復(fù)雜的圖像變換,可引進(jìn)參數(shù)求解,如下面例2。