品味三角函數的創(chuàng)新問題

■鄭 欣

三角函數自身的交匯以及與其他知識的交匯已成為高考的熱點問題,本文聚焦之。

創(chuàng)新1:三角函數的定義與直線斜率的交匯

解:利用直線與圓相交的圓心角確定點到直線的距離,求出直線斜率,再利用三角函數的定義和同角關系求解。

品味:借助三角函數的定義和同角三角函數的基本關系,將三角函數與直線和圓相交問題有機地交匯是本題的一大特點,其中斜率和傾斜角是溝通關系的橋梁。

變式訓練1:若直線x+y-2=0與直線x-y=0的交點P在角α的終邊上,則tanα的值為____。

提示:由x+y-2=0和x-y=0,解得交點P(1 ,1 ,),所以tanα==1。

創(chuàng)新2:三角函數圖像與最值的交匯

例 2 已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正的常數)的最小正周期為π,當x=π時,函數f(x)取得最小值,則下列結論正確的是( )。

A.f(2)＜f(-2)＜f(0)

B.f(0)＜f(2)＜f(-2)

C.f(-2)＜f(0)＜f(2)

D.f(2)＜f(0)＜f(-2)

要比較f(2),f(-2),f(0)的大小,只需判斷橫坐標為2,-2,0與最近的最高點處對稱軸的距離大小。易知0,2與比較近,-2與-0.6,所以f2()＜f-2()＜f0()。應選A。

品味:求三角函數解析式中的參數的一般步驟:通過周期確定ω;通過最值或對稱中心確定初相φ;通過最值確定A。三角函數的比較大小問題,需要通過圖像來判斷,本題代入函數值不方便,根據函數值在圖像中的具體位置進行判斷,凸顯圖像的應用價值。

創(chuàng)新3:三角函數的有界性與最值的交匯

解法1:利用正弦函數的有界性,構建不等式求出最值。

解法2:分式類函數可化為部分分式,利用正弦函數的有界性求最值。

當sinx=-1時,得ymin=-1;當

故yminmax=-1,y=

創(chuàng)新4:三角函數的圖像與性質的綜合應用

例 4 已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)-1(ω＞0,|φ|＜π)的一個零點是x=,其圖像上一條對稱軸方程為x=-,則當ω取最小值時,下列說法正確的是____。(填寫所有正確說法的序號)

解:由零點和對稱軸及ω＞0,|φ|＜π確定函數的解析式,依據y=Asin(ωx+φ)+B的圖像與性質逐一驗證。

品味:關于y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的多項選擇問題,可先求出解析式,再利用正弦和余弦函數的單調區(qū)間的子集或對稱軸或對稱中心進行判斷。本題的解答過程凸顯三角函數中“整體變量觀念”的應用。

創(chuàng)新5:三角函數的性質與求值的交匯

A.4030 B.4032

C.4033 D.4035

解:由正弦函數的周期定義可得此函數的周期為4,可知一個周期內的4個函數值的和

品味:巧用三角函數的周期性和對稱性是解答本題的關鍵。

變式訓練5:(1)函數f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分圖像如圖1所示,則f(1)+f(2)+…+f(2012)的值為 。

圖1

創(chuàng)新6:三角函數與二次函數的交匯

例6 函數f(x)=sin2x+的最大值是____,最小值是____。

解:利用三角函數的平方關系,轉化為二次函數的值域問題求解。

品味:形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函數最值問題,可先設t=sinx±cosx,再轉化為關于t的二次函數問題求最值,但要注意新元的取值范圍,即新函數的定義域。

變式訓練6:(1)函數y=cos2x-sin2x+2sinx的最大值為 。

提示:(1)令t=sinx,則-1≤t≤1。由于y=cos2x-sin2x+2sinx=-2sin2x+所以當t=時,函數y=cos2x-sin2x+2sinx取得最大值,其最大值為

創(chuàng)新7:三角函數的圖像與方程的根的交匯

解:作出已知分段函數的圖像(如圖2),借助圖像及函數值相等,利用三角函數的對稱軸可簡化求解。

圖2

因為f(a)=f(b)=f(c),所以a+b=π,c∈ (π,2017π),可得a+b+c=π+c∈(2π,2018π)。

品味:本題的解題過程體現了數形結合思想方法與“化難為簡”方法的具體應用。

圖3

創(chuàng)新8:三角函數與不等式的交匯

例 8 將函數y=sinx的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),再將所得的圖像向左平移個單位長度后得到函數f(x)的圖像。

(1)寫出函數f(x)的解析式。

解:(1)注意圖像的變換過程,依據題設得y=sinx→y=sin2x→y=sin(2x +)為所求的函數解析式。

(2)通過換元,把所求問題轉化為二次不等式在區(qū)間上的恒成立問題求解。

設函數g(t)=t2-mt-1,t∈[0,1],則g(t)的圖像是開口向上的一段拋物線。要使g(t)≤0恒成立,當且僅當可得m≥0,所以m的取值范圍是0,+∞[)。

品味:本題也可以利用分離參數法求解:t2-mt-1≤0,t∈[0,1],當t=0時不等式恒成立;當t∈(0,1]時,m≥t-,令g(t)=t-,則g(t)在 (0,1]上是增函數,可得g(t)≤g(1)=1-1=0,即得m≥0。

創(chuàng)新9:三角函數與幾何概型的交匯

品味:借助圖像的平移和誘導公式化簡解析式,構建區(qū)間長度為測度,利用三角不等式求區(qū)間內的概率,使得三角函數與幾何概型有機地交匯,體現了命題創(chuàng)新的特點。

創(chuàng)新10:三角函數與新定義的交匯

解:理解新定義的意義,其實質就是求正、余弦函數中的函數值較大的函數。注意它們的周期都為2π的特征,只需研究在[0 ,2 π]上正、余弦函數中的函數值較大的函數(圖像),可利用函數圖像求最小值。

圖4

品味:三角函數與新定義問題的交匯屬于高考的新穎命題,近幾年高考已逐步淡化了對復雜三角變換和特殊技巧變換的考查,而重點轉移對三角函數的圖像與性質的考查,因此應引起同學們的重視。