三角函數(shù)常見典型考題賞析

■翟新超

題型1:角的集合表示及象限角的判斷

(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,其方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對集合中的參數(shù)k賦值求得所需角。(2)利用終邊相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判斷一個角β所在的象限時,只需把這個角寫成[0,2π)范圍內(nèi)的一個角α與2π的整數(shù)倍的和,然后判斷角α所在的象限。

圖1

在0°～360°范圍內(nèi),終邊落在射線OA上的角是60°,終邊落在射線OB上的角是240°,所以以射線OA,OB為終邊的角的集合分別為S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z}。

故角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z}={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=60°+k·180°,k∈Z}。

跟蹤訓(xùn)練1:若α是第二象限的角,則下列結(jié)論一定成立的是( )。

題型2:三角函數(shù)的取值符號的判斷

熟練掌握三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的取值符號是學(xué)好三角函數(shù)的基礎(chǔ)。可借助口訣“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,來加深對三角函數(shù)取值符號的理解。

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

解:由sinαtanα＜0,可知sinα,tanα異號,則α為第二或第三象限角;

綜上可知,α為第三象限角。應(yīng)選C。

A.第一象限

B.第三象限

C.第一或第三象限

D.第二或第四象限

提示:因為sinα＞0,cosα＜0,所以α為第二象限角,即+2kπ＜α＜π+2kπ,k∈Z,+kπ,k∈Z。當(dāng)k為偶數(shù)時,為第一象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時為第三象限角。應(yīng)選C。

題型3:關(guān)于sinα，cosα的齊次式問題

形如asinα+bcosα和asin2α+bsinα·cosα+ccos2α的式子分別稱為關(guān)于sinα,cosα的一次齊次式和二次齊次式,對涉及它們的三角變換問題通?？赊D(zhuǎn)化為正切來求解。

因為(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=

所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=

題型4:利用誘導(dǎo)公式化簡與求值

三角函數(shù)的化簡和求值問題,遵循誘導(dǎo)公式先行的原則,即先用誘導(dǎo)公式化簡變形,達(dá)到角的統(tǒng)一,再進(jìn)行三角函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化,以保證三角函數(shù)名稱最少。

題型5:三角函數(shù)的定義域與值域

求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式,常借助三角函數(shù)圖像來求解。求解三角函數(shù)的值域(最值)常見以下幾種類型的題目:①形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù),可化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù),可設(shè)sinx=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值);③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函數(shù),可設(shè)t=sinx±cosx,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)。

故此函數(shù)的定義域為:

題型6:三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性

求解三角函數(shù)的奇偶性和周期性問題時,一般先要進(jìn)行三角恒等變換,把三角函數(shù)式化為一個角的一種三角函數(shù),再根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解。正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形,正切函數(shù)的圖像只是中心對稱圖形,應(yīng)熟記它們的對稱軸和對稱中心,并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

例 6 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜)的 最 小 正 周 期 為4π,且f()=1,則函數(shù)f(x)圖像的一個對稱中心是( )。

題型7:三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用

求形如y=Asin(ωx+φ)+k的單調(diào)區(qū)間時,只需把ωx+φ看作一個整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可。若ω為負(fù)數(shù),則要先把ω化為正數(shù)再求解。

解:f(x)=sinωx(ω＞0)的圖像過原點。

題型8:三角函數(shù)的圖像變換

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的圖像的兩種作法:①五點法:主要是通過變量代換,設(shè)z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π來求出相應(yīng)的x值,通過列表,計算得出五點坐標(biāo),描點后得出圖像。②圖像變換法:主要途徑有“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”。

例8 某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),ω＞0,|φ|＜在某一個周期內(nèi)的圖像時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如表1所示。

表1

(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式。

(2)將y=f(x)圖像上所有點向左平行移動θ(θ＞0)個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖像。若y=g(x)圖像的一個對稱中心為求θ的最小值。

(3)作出函數(shù)f(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖像。

表2

由函數(shù)y=sinx圖像的對稱中心為(kπ,0),k∈Z,可令2x+2θ-=kπ,k∈Z,

(3)由表2可作出此函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像,如圖2所示。

圖2

跟蹤訓(xùn)練8:函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)的圖像如圖3所示,為了得到f(x)的圖像,則只需將函數(shù)g(x)=sin2x的圖像( )。

圖3

題型9:求三角函數(shù)的解析式

求函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B 的解析式的一般步驟:①由A=,B=,求A,B的值,其中M 為函數(shù)的最大值,m為函數(shù)的最小值。②由ω=π,求ω的值。③由圖像上的一個已知點可求φ的值,或利用“五點法”中的對應(yīng)點,也可求φ的值。

例 9 設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0＜φ＜)的部分圖像如圖4所示,直線x=是它的一條對稱軸,則函數(shù)f(x)的解析式為 。

圖4

圖5

A.1 B.2

C.3 D.4

將函數(shù)f(x)的圖像向右平移t(t＞0)個單位長度,所得的函數(shù)圖像對應(yīng)的函數(shù)解析

題型10:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

高考對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題的考查主要有以下四種命題角度:①圖像變換與函數(shù)性質(zhì)。②恒等變換與函數(shù)性質(zhì)。③三角函數(shù)性質(zhì)與平面向量。④三角函數(shù)性質(zhì)與解三角形。

(1)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時,求φ的值。

跟蹤訓(xùn)練10:下列函數(shù)同時具有性質(zhì)“①最小正周期是π,②圖像關(guān)于直線x=上是減函數(shù)”的是( )。