化動為靜，以形定數(shù)
——一道八年級期末考試題引發(fā)的思考

□ 海南白駒學(xué)校 朱容云

在初中數(shù)學(xué)問題的解決中，常見求三角形面積與動點(diǎn)有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式等，本文嘗試深層挖掘數(shù)、形關(guān)系，用化動為靜的數(shù)學(xué)思想方法來解決此類問題。下列以一道動點(diǎn)與三角形面積相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式的期末考試題展開分析與思考。

一、考題解析

（2017-2018年海口市八年級期末考試題第23題）如圖1，直線y=-x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，直線BC與x軸交于點(diǎn)C（-2,0），P是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)A、B與不重合）。

（1）求直線BC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△POA的面積為S，

①寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

②略。

圖1

本文我們重點(diǎn)分析如何根據(jù)已知條件構(gòu)建S與t的函數(shù)模型，并確定函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)動點(diǎn)P的位置直接讀出自變量t的取值范圍。對于剛接觸這類題型的學(xué)生，就會考慮由于點(diǎn)P是動點(diǎn)，那么△POA形狀就有三種可能性：鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形，想著套用數(shù)學(xué)的分類討論思想來解決問題，那么問題就會復(fù)雜化。而這道題的突破口在于的△POA面積，而不是分類談?wù)撔螤睢?/p>

要想求△POA的面積就要回歸本質(zhì)，只需要確定底和高即可。此時(shí)，我們需要“化動為靜”把動點(diǎn)P的位置就定在圖形所給出的位置，當(dāng)是定點(diǎn)，分析△POA的底和高即可。由題意我們易得知線段長OA在直角坐標(biāo)系X軸上且是固定值，過點(diǎn)P做OA的垂線段即為△POA的高，這條垂線段不僅僅是三角形的高，而且還是在直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值。這里“以形定數(shù)”的分析問題的思想正好驗(yàn)證了“形離數(shù)時(shí)難入微”的觀點(diǎn)。

根據(jù)上面從幾何角度的分析我們可以知道△POA的面積和點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相關(guān)，但根據(jù)題目要求“設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△POA的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式”，即題目的要求是寫出面積S與P的橫坐標(biāo)t之間的關(guān)系，于是我們明確了方向只要理清點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的關(guān)系即可解決問題。而點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，滿足直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+4,我們易得到點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t,-t+4）。這道題的解析步驟如下：由題意得，直線y=-x+4與X軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (4，0),則OA=4。

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,-t+4)

即 S=-2t+8（0＜t＜4）。

二、類型題的來源

（2014—2015年八年級期末考試題第24題）如圖2，直線y=x+8交X軸于點(diǎn)A，交Y軸于點(diǎn)B，P是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），點(diǎn) C的坐標(biāo)為（2，0）。設(shè)動點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（x,y），△PAC 的面積為S。 （1）寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x 的取值范圍； （2）（3）略。

類比上面例題，我們需要“化動為靜”把動點(diǎn)P的位置就定在圖形所給出的位置，當(dāng)是定點(diǎn)，分析△PAC的底和高即可。我們易得知線段長AC在直角坐標(biāo)系X軸上且是固定值，過點(diǎn)P做AC的垂線段即為△PAC的高，這條垂線段等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值。

通過“以形定數(shù)”分析，可以得到這道題的解析步驟如下：

由題意得，直線y=x+8與X軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8,0）,則 AC=10

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,x+8）

圖2

三、改編題的拓展

如圖2，直線y=x+8交X軸于點(diǎn)A，交Y軸于點(diǎn)B，P是直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,0）。設(shè)動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△PAC的面積為S。寫出S與m的函數(shù)關(guān)系式及自變量m的取值范圍。

我們的學(xué)生在做題時(shí)，容易用慣性思維分析問題，認(rèn)為這是類型題，可以類比上面兩題，只需要“化動為靜”把動點(diǎn)P的位置就定在圖形所給出的位置，當(dāng)是定點(diǎn)，分析△PAC的底和高即可。我們易得知線段長AC在直角坐標(biāo)系X軸上且是固定值，過點(diǎn)P做AC的垂線段即為△PAC的高，這條垂線段等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值。于是通過“以形定數(shù)”的分析，可以得到這道題的解析步驟如下：

（1）由題意得，直線y=x+8與X軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0）,則 AC=10

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,m+8）

即S=5m+40。

細(xì)心的學(xué)生會發(fā)現(xiàn)題目有所不同，P是“直線”AB上的一個(gè)動點(diǎn)，以前我們接觸的類型題的點(diǎn)P是“線段”AB上的一個(gè)動點(diǎn)。線段不可以延伸，而直線是可以延伸的，沒有局限性。所以我們“化動為靜”的解題思想不變，但要全面考慮問題，點(diǎn)P在動，縱坐標(biāo)的取值在改變，面積也跟著變。

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值變化以X軸為分界，X軸上方取值為正，下方取值為負(fù)。當(dāng)點(diǎn)P在X軸上方時(shí)，解題步驟如（1）所示：

當(dāng)點(diǎn)P在X軸下方時(shí)，如圖3所示分析：

由題意得，直線y=x+8與X軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8,0）,則 SC=10，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（m,m+8）

即S=-5m-40

圖3

四、思想方法的探求

本文我們重點(diǎn)研究滿足函數(shù)關(guān)系式的動點(diǎn)P（在該直線或該直線上的一部分線段上移動），動點(diǎn)P與在X軸上的兩個(gè)固定點(diǎn)構(gòu)造的三角形的面積S與動點(diǎn) P的橫坐標(biāo)的函數(shù)模型，并確定函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)動點(diǎn)P的位置直接讀出自變量的取值范圍。要想求三角形的面積就要回歸本質(zhì)，只需要確定底和高即可。此時(shí)，我們需要“化動為靜”把動點(diǎn)P的位置就定在圖形所給出的位置，當(dāng)是定點(diǎn)，分析三角形的底和高即可。由題意我們易得知線段長在直角坐標(biāo)系X軸上且是固定值(設(shè)為d)，過點(diǎn)P做底邊的垂線段即為三角形的高，這條垂線段不僅僅是三角形的高，而且在直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值的絕對值。這里“以形定數(shù)”的分析問題的思想正好驗(yàn)證了“形離數(shù)時(shí)難入微”的觀點(diǎn)。根據(jù)上面從幾何角度的分析我們可以知道三角形的面積和點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的相關(guān)，但題目的要求是寫出面積S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，于是我們明確了方向：只要理清點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的關(guān)系即可解決問題。而點(diǎn)P是線段AB(或直線AB)上的一個(gè)動點(diǎn)，滿足直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b,我們易得到點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x,kx+b）,設(shè)直線與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，則三角形的面積計(jì)算公式為：

五、總結(jié)思考

綜上所述,在解決與面積有關(guān)的問題及動點(diǎn)有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式的題目時(shí)，恰當(dāng)?shù)鼗瘎狱c(diǎn)為定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合建立一個(gè)比較形象化的試題背景，可以讓學(xué)生從不同的角度來感受數(shù)學(xué)知識中的運(yùn)動、變化的過程，開拓了學(xué)生的視野，豐富了學(xué)生的知識。