用代數(shù)的方法解決高中立體幾何問題初探

王昕陽(yáng)

摘 要：用代數(shù)的方法解決幾何問題，用求坐標(biāo)、解方程代替輔助線、輔助面，思維單純，容易直擊目標(biāo)。本文通過(guò)具體例子解說(shuō)了解析法在高中幾何學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：笛卡爾坐標(biāo)系；代數(shù)方程；幾何問題

學(xué)習(xí)高中立體幾何，最主要的就是空間想象能力的培養(yǎng)，然后就是添輔助線，用幾何的方法解決幾何問題，這是常規(guī)的套路。自從研學(xué)了空間解析幾何，筆者豁然發(fā)現(xiàn)用代數(shù)的方法解決幾何的問題，即把圖形放在坐標(biāo)系里，用坐標(biāo)計(jì)算代替做輔助線，解決立體幾何問題會(huì)事半功倍。

一、建立坐標(biāo)系，把圖形放在特定的坐標(biāo)系中思考

比如，異面直線之間的距離，教材中總是轉(zhuǎn)化為線面距離、面面距離，也就是說(shuō)需要圖形中做出必需的輔助線，然后求解。例如，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，求異面直線DB1與AC間的距離。

這本是幾何問題，但若以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為X 軸正方向，AA1為 z 軸正方向，AD為 y 軸正方向，建立笛卡爾坐標(biāo)系，則D點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1，0），B1坐標(biāo)（1，0，1），A點(diǎn)坐標(biāo)（0，0，0），C點(diǎn)坐標(biāo)（1，1，0），這樣DB1和AC的方程可以寫出，把方程改為參數(shù)方程，得x=t1，y=-t1+1，z=t1；x=t2，y=t2，z=0。這樣在兩條直線上任意各取一點(diǎn)，求得兩點(diǎn)間距離的平方為（t2-t1）2+（t2+t1-1）2+t12，上式除以t22，可得關(guān)于t1/t2的一元二次多項(xiàng)式，分析什么時(shí)候取最小值，最小值是多少，這樣就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題了，利用的原理是兩點(diǎn)間異面直線間的距離最短。

利用笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)標(biāo)示法以及變數(shù)的知識(shí)，可以把幾何證明問題歸結(jié)為代數(shù)求解問題，在求解時(shí)可以運(yùn)用全部代數(shù)方法，這樣帶來(lái)極大的方便。

二、練習(xí)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化

空間建立了坐標(biāo)系，空間的點(diǎn)就有了坐標(biāo)，線或者向量就可以用它的坐標(biāo)（三維數(shù)組）表示，這就是向量的代數(shù)表示。比如空間四面體對(duì)邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)且互相平分，就可以用坐標(biāo)計(jì)算來(lái)證明，而不是畫輔助線通過(guò)幾何途徑來(lái)解決問題。

常見的是上面提到的笛卡爾直角坐標(biāo)系，可是若空間圖形直角不多，或者沒有直角，那建立直角坐標(biāo)系時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)就不好寫了，于是想到了反射坐標(biāo)系。

取反射坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為X 軸，BC為Y 軸，AD為Z 軸，則A點(diǎn)坐標(biāo)（0，0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（1，0，0），C點(diǎn)坐標(biāo)（0，1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)（0，0，1），E點(diǎn)坐標(biāo)（1/2，0，0），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)（0，1/2，1/2），G點(diǎn)坐標(biāo)（1/2，1/2，0），H點(diǎn)坐標(biāo)（0，0，1/2），M點(diǎn)坐標(biāo)（1/2，0，1/2），N點(diǎn)坐標(biāo)（0，1/2，0），則EF中點(diǎn)為（1/4，1/4，1/4），MN中點(diǎn)為（1/4，1/4，1/4）重合，所以互相平分，交于一點(diǎn)得證，用事實(shí)說(shuō)話即可證明結(jié)論正確。

三、學(xué)會(huì)總結(jié)，提升自己的數(shù)學(xué)修養(yǎng)

幾何問題一直是高考的難點(diǎn)，碰到幾何問題，特別是證明，更是難上加難，如果能巧用代數(shù)計(jì)算替代證明，那會(huì)事半功倍，畢竟解方程我們做了很多年，很方便。

比如，求橢圓柱面x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）上，過(guò)x軸并且與此橢圓柱面的交線是圓的那個(gè)平面方程。

如果設(shè)成帶系數(shù)平面方程，根據(jù)已知條件求系數(shù)，那就走彎路了，換個(gè)思路，交線圓可以看成以原點(diǎn)為中心，以a為半徑的球面與已知橢圓柱面的交線，即交線圓方程為x2+y2+z2=a2，x2/a2+y2/b2=1；這個(gè)圓在過(guò)x軸的平面上，所以它對(duì)于yoz平面的投影平面就是所求平面。確定好思路，計(jì)算上表現(xiàn)為從上述二式中消去 x 得y2=Z2×b2/（a2-b2），兩邊開根號(hào)即可得到所求的平面y=±Z×b/。

這種思路簡(jiǎn)單些，但不容易想到。就是求平面方程看成是圓的投影直線，投影在三維空間就是平面，這種知識(shí)的遷移能力是慢慢培養(yǎng)的。筆者堅(jiān)信，高考的個(gè)性化發(fā)展會(huì)給學(xué)生的思維提供更多放飛的空間。

高中幾何的半壁江山全靠輔助線當(dāng)家，如果引入空間解析幾何的觀點(diǎn)，或許會(huì)為解決綜合題提供更多的思路。教材與軟件結(jié)合能解決更多的空間圖形展示問題。

參考文獻(xiàn)：

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[2]呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，1992.