基于Mehler公式的等效相關(guān)系數(shù)求解技術(shù)

范文亮, 楊朋超, 李正良1,

(1. 重慶大學(xué) 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400045; 2. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院， 重慶 400045;3. 加州大學(xué)歐文分校 土木與環(huán)境工程系，歐文 92697)

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基于Mehler公式的等效相關(guān)系數(shù)求解技術(shù)

范文亮1,2,3, 楊朋超2, 李正良1,2

(1. 重慶大學(xué) 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400045; 2. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院， 重慶 400045;3. 加州大學(xué)歐文分校 土木與環(huán)境工程系，歐文 92697)

摘要：首先基于等效相關(guān)系數(shù)的傳統(tǒng)二維積分方程，引入二維相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的Mehler級(jí)數(shù)展開(kāi)公式，然后導(dǎo)出了等效相關(guān)系數(shù)的無(wú)窮次代數(shù)方程及其收斂特性，實(shí)現(xiàn)了積分方程向代數(shù)方程的轉(zhuǎn)變，進(jìn)一步完善了Nataf變換理論.同時(shí)，通過(guò)方程截?cái)嘟频姆绞浇o出了求解等效相關(guān)系數(shù)的迭代方法.由于避免了二維相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的積分和利用了代數(shù)方程系數(shù)的可重復(fù)性及一維積分特性，本文方法具有廣泛的適用范圍，且兼顧了計(jì)算的精度和效率.最后，通過(guò)算例驗(yàn)證了方法的有效性和精確性.

關(guān)鍵詞：等效相關(guān)系數(shù)； 相關(guān)隨機(jī)向量； Nataf變換； Mehler公式； 代數(shù)方程

在結(jié)構(gòu)隨機(jī)分析及可靠度分析中，幾何參數(shù)、材料特性參數(shù)及外部荷載等通常為隨機(jī)變量.不同類(lèi)別隨機(jī)變量可視為相互獨(dú)立，但同類(lèi)別隨機(jī)變量往往存在相關(guān)性.當(dāng)各變量均為正態(tài)變量時(shí)，只需通過(guò)簡(jiǎn)單的線性變換即可將其轉(zhuǎn)換為獨(dú)立的正態(tài)變量[1].對(duì)于相關(guān)非正態(tài)變量，若已知聯(lián)合概率密度函數(shù)，則可利用Rosenblatt變換實(shí)現(xiàn)原變量向獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的轉(zhuǎn)換[2-5]；若僅已知邊緣概率密度函數(shù)和相關(guān)系數(shù)矩陣，Nataf變換則不失為一種行之有效的方法[6-9].然而，獲得變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)往往比較困難，而確定邊緣概率密度函數(shù)和相關(guān)系數(shù)則相對(duì)較為容易，因此Nataf變換更具有實(shí)用價(jià)值.

Nataf變換主要涉及2個(gè)步驟：相關(guān)非正態(tài)變量轉(zhuǎn)換為相關(guān)正態(tài)變量和相關(guān)正態(tài)變量轉(zhuǎn)換為獨(dú)立正態(tài)變量.前者主要是相關(guān)正態(tài)變量的等效相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，亦是目前Nataf變換研究的主要內(nèi)容.

等效相關(guān)系數(shù)的求解主要有解析法、半解析法、數(shù)值解法和數(shù)值模擬法等.解析法可以直接給出等效相關(guān)系數(shù)的精確計(jì)算公式，準(zhǔn)確、高效，但僅適用于特定的變量，如均勻分布變量[10]和對(duì)數(shù)正態(tài)變量[11].半解析法則是給出等效相關(guān)系數(shù)的近似表達(dá)式[6,12].與解析法類(lèi)似，半解析法在享有高效性這一優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)亦具有適用范圍有限的缺點(diǎn)，且精度有所下降.數(shù)值解法是將二維數(shù)值積分和非線性方程求根結(jié)合起來(lái)獲得等效相關(guān)系數(shù)近似解的方法.根據(jù)積分變量所在空間的不同，又可分為相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)空間的數(shù)值解法[13-14]和獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的數(shù)值解法[7,15].相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，由于聯(lián)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)在相關(guān)系數(shù)接近于±1時(shí)為集中于45°或135°的劇烈變化函數(shù)，導(dǎo)致常規(guī)二維數(shù)值積分出現(xiàn)困難，從而得到不正確的等效相關(guān)系數(shù)的解；獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的二維積分方程則是由相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的二維積分方程輔以相關(guān)結(jié)構(gòu)分解得到的，但是相關(guān)結(jié)構(gòu)分解的變量順序依賴性導(dǎo)致了獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間方程的不唯一性.數(shù)值模擬方法可以實(shí)現(xiàn)多個(gè)二維積分方程的同時(shí)求解[16-17].然而，由于涉及多個(gè)相關(guān)正態(tài)變量的相關(guān)結(jié)構(gòu)分解，當(dāng)?shù)刃嚓P(guān)系數(shù)矩陣非正定時(shí)將不能給出合適的數(shù)值解；此外，該方法的效率并不一定優(yōu)于數(shù)值方法.由于不受變量類(lèi)型和分布參數(shù)的限制，且執(zhí)行較為方便，數(shù)值方法得到了廣泛的應(yīng)用.

除求解積分方程外，尚有通過(guò)更易求解的代數(shù)方程計(jì)算等效相關(guān)系數(shù)的數(shù)值方法.文獻(xiàn)[15]根據(jù)Weierstrass 近似理論，對(duì)于獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的二維積分方程導(dǎo)出了關(guān)于等效相關(guān)系數(shù)的近似代數(shù)方程，但仍涉及二維數(shù)值積分的計(jì)算.事實(shí)上，若對(duì)兩相關(guān)變量各自的等概率變換關(guān)于Hermite多項(xiàng)式進(jìn)行正交展開(kāi)，可以導(dǎo)出一無(wú)窮次的代數(shù)方程[18-20]，其中僅包含一維數(shù)值積分.對(duì)于二階矩隨機(jī)變量，該展開(kāi)式收斂，可通過(guò)截?cái)嗟拇鷶?shù)方程獲得等效相關(guān)系數(shù)的近似解.盡管該方法亦是求解等效相關(guān)系數(shù)的方法，但是其建立方程的思路與傳統(tǒng)的Nataf變換截然不同，且只存在代數(shù)方程形式，更常見(jiàn)于隨機(jī)過(guò)程的混沌多項(xiàng)式展開(kāi)研究中，文獻(xiàn)[20]亦將其與Nataf變換區(qū)分開(kāi).

為此，本文在傳統(tǒng)的Nataf變換的框架內(nèi)，結(jié)合Mehler公式[21]，直接基于相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的二維積分方程，導(dǎo)出了等效相關(guān)系數(shù)的無(wú)窮次代數(shù)方程及其收斂特性，并發(fā)展了求解等效相關(guān)系數(shù)近似解的高效迭代法.

1Nataf變換及等效相關(guān)系數(shù)

1.1Nataf變換

1.1.1等效相關(guān)系數(shù)方程

定義n維相關(guān)隨機(jī)向量

(1)

式中：FI(·)為Θi(i=1,…,n)的累積分布函數(shù)；n為隨機(jī)變量的數(shù)量.ρ為相關(guān)系數(shù)矩陣，ρ=[ρij]n×n.若引入等概率變換，有

(2)

式中：Xi為Θi對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量；Φ-1(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)Φ(·)的反函數(shù).于是，Θi與Θj的相關(guān)系數(shù)ρij和Xi與Xj的等效相關(guān)系數(shù)ρij*滿足如下方程：

(3)

式中：E[·] 表示期望運(yùn)算；μi，σi分別為Θi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；Fi-1(·)為Fi(·)的反函數(shù)；φ2(·)為二維相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，即

(4)

求解式(3)即可得到ρij*，進(jìn)而確定等效相關(guān)系數(shù)矩陣ρ*=[ρij*]n×n.

1.1.2相關(guān)結(jié)構(gòu)分解

經(jīng)由線性變換，可將相關(guān)矩陣為ρ*的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量X=(X1,…,Xn)T轉(zhuǎn)化為獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量U=(U1,…,Un)T.先對(duì)ρ*進(jìn)行Cholesky分解

(5)

式中：C為下三角矩陣.然后，有

(6)

特別地，當(dāng)n=2時(shí)式(6)可簡(jiǎn)化為

(7)

顯然，X1，X2和U1，U2的關(guān)系與變量的排序有關(guān).對(duì)于多變量情形，亦存在相似的結(jié)論.

1.1.3Nataf變換

綜合式(2)與式(6)即可形成Nataf變換

(8)

不難發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于其他步驟，方程式(3)為二維積分方程，其求解過(guò)程較為復(fù)雜，是Nataf變換的關(guān)鍵.且當(dāng)有n個(gè)相關(guān)變量時(shí)，則存在n(n-1)/2個(gè)二維積分方程.

1.2等效相關(guān)系數(shù)的求解

1.2.1相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間

式(3)的積分變量Xi與Xj為相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，因此式(3)可視為相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中關(guān)于等效相關(guān)系數(shù)的二維積分方程.對(duì)其引入二維數(shù)值積分可有

(9)

式中：xi,l，wi,l和xj,m，wj,m分別為Xi和Xj的第l個(gè)和第m個(gè)求積節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù)；di和dj分別為Xi和Xj所采用的節(jié)點(diǎn)數(shù).

當(dāng)ρij*接近±1時(shí)，比如ρij*=0.99，若采用di=dj=11的等間距數(shù)值求積公式，求積節(jié)點(diǎn)的位置以及φ2(·)的圖形如圖1所示.不難發(fā)現(xiàn)，絕大部分節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值接近零，為無(wú)效節(jié)點(diǎn).因此，基于式(9)計(jì)算在ρij*接近±1時(shí)的等效相關(guān)系數(shù)是不高效的，甚至可能是不準(zhǔn)確的.

圖1　二維相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù)及積分節(jié)點(diǎn)

1.2.2獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間

事實(shí)上，將式(3)和式(7)結(jié)合起來(lái)，可將Xi與Xj轉(zhuǎn)換為獨(dú)立的Ui與Uj，從而得到獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的二維積分方程，即

φ(ui)φ(uj)duiduj

(10)

顯然，獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的二維積分方程克服了相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的二維積分方程在ρij*接近±1時(shí)難以求解的困難.

值得指出的是，文獻(xiàn)[7]計(jì)算等效相關(guān)系數(shù)的過(guò)程與求解方程式(10)在本質(zhì)上是等價(jià)的，但是并未給出顯式的表達(dá)，而是將其分解為二維積分方程和相關(guān)結(jié)構(gòu)分解兩部分，文獻(xiàn)[16]則將可顯式化的二維相關(guān)結(jié)構(gòu)分解與二維積分方程結(jié)合起來(lái)，給出了與式(10)等價(jià)的顯式表達(dá)式.

若對(duì)調(diào)Xi與Xj在相關(guān)結(jié)構(gòu)分解時(shí)的順序，亦可得一個(gè)關(guān)于等效相關(guān)系數(shù)的二維積分方程，即

(11)

式(10)與式(11)均是關(guān)于ρij*的二維積分方程，但是兩者的解往往并不相同，與傳統(tǒng)的Nataf變換中等效相關(guān)系數(shù)解的唯一性認(rèn)知不符.

1.2.3Weierstrass近似

無(wú)論是式(10)和式(11)均是二維積分方程，求解并不方便.為此，可引入Weierstrass 近似理論將其近似為代數(shù)方程，即

(12)

式中:bk為系數(shù)；m0為方程的最高次數(shù).文獻(xiàn)[15]中建議m0=8.

顯然，式(12)的求解較式(10)或式(11)更簡(jiǎn)單，但該方法克服不了獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的解不唯一這一缺陷；此外，bk的計(jì)算仍涉及二維數(shù)值積分.

1.2.4無(wú)窮次代數(shù)方程

與傳統(tǒng)Nataf變換理論不同，若基于任意二階矩變量的混沌多項(xiàng)式展開(kāi)，亦可給出ρij與ρij*的關(guān)系式.對(duì)式(2)的逆變換進(jìn)行混沌多項(xiàng)式展開(kāi)得

(13)

式中

(14)

Hk(·)為概率Hermite正交多項(xiàng)式，即

(15)

于是，根據(jù)Hermite多項(xiàng)式的正交特性可有

(16)

對(duì)其截?cái)嗉纯傻玫溅裪j*應(yīng)滿足的代數(shù)方程為

(17)

文獻(xiàn)[21]中建議m0=10.

與式(12)相比，式(16)具有唯一性，且系數(shù)僅涉及一維數(shù)值積分.然而，與經(jīng)典的Nataf變換理論相比，其建立的方式截然不同；就方程的形式而言，式(16)形式單一，而Nataf變換的方程形式多樣.事實(shí)上，若引入Mehler公式，由式(3)亦可導(dǎo)出無(wú)窮次的代數(shù)方程.

2等效相關(guān)系數(shù)求解的新方法

2.1Mehler公式

式(4)既可視為xi和xj的函數(shù)，亦可視為ρij*的函數(shù)，故可對(duì)其關(guān)于ρij*進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi).

1866年，Mehler給出了以Hermite多項(xiàng)式為基的式(4)的級(jí)數(shù)展開(kāi)表達(dá)式，即

Hk(xi)Hk(xj)

(18)

且此展開(kāi)式在|ρij*|<1時(shí)收斂.

2.2無(wú)窮次的等價(jià)代數(shù)方程

將式(18)代入式(3)并化簡(jiǎn)可得

φ(xi)dxi·

(19)

若記

(20)

則式(19)可簡(jiǎn)寫(xiě)為

(21)

根據(jù)Hermite多項(xiàng)式的正交性質(zhì)有

(22)

顯然，式(21)可改寫(xiě)為

(23)

且必有

(24)

與文獻(xiàn)[6]的定理2相符.

顯然，式(23)亦是關(guān)于ρij*的無(wú)窮次代數(shù)方程，且當(dāng)|ρij*|<1時(shí)該級(jí)數(shù)展開(kāi)式方程收斂.此外，該級(jí)數(shù)展開(kāi)方程亦具有唯一性.

與式(3)、式(10)和式(11)相比，式(23)是更為熟悉、更易求解的代數(shù)方程，且其中僅涉及到一維積分，亦不存在適用范圍限制.尤其值得指出的是，Ii,k在求解ρi,j1*和ρi,j2*時(shí)均可以利用，因此計(jì)算系數(shù)所需要的工作量近似與變量的數(shù)量n成正比，具有很高的計(jì)算效率.

與式(12)相比，式(23)具有唯一性，且僅涉及一維積分.

與式(16)相比，式(23)是從經(jīng)典的Nataf變換的二維積分方程出發(fā)導(dǎo)出的結(jié)果，是積分方程式(3)的代數(shù)方程形式，是對(duì)Nataf變換理論的完善和有效補(bǔ)充.由于是針對(duì)特定函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)，其收斂特性很容易確定，而與Θi和Θj的分布類(lèi)型無(wú)關(guān).此外，就系數(shù)的計(jì)算而言，式(20)中被積函數(shù)的非線性程度相對(duì)較易判定，即為Rosenblatt變換的非線性程度與k階Hermite多項(xiàng)式的非線性程度之和，因此，更容易確定一維數(shù)值積分方案.

2.3數(shù)值解法

由于級(jí)數(shù)展開(kāi)的收斂性，可截取部分項(xiàng)構(gòu)建近似方程，即

(25)

為求解該方程，可分為3個(gè)步驟：①確定系數(shù)Ii,k；②確定合適的m0值；③求解非線性代數(shù)方程.

2.3.1Ii,k的計(jì)算

由于式(20)是以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)為權(quán)的積分，因此可以方便地引入Gauss-Hermite積分公式獲得其數(shù)值解，即

(26)

式中：xGH,l和wGH,l分別是Gauss-Hermite求積公式的節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù).通常，各變量轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量時(shí)取5～7次足夠，且式(25)中m0一般小于10，因此在式(26)中取di=9～11是較為合適的.

2.3.2合適的m0

為確定合適的m0，可采用迭代法.過(guò)程如下：

(2) 令q=q+1，mq=mq-1+2，計(jì)算新增加的Ii,k和Ij,k(k=mq-1+1,mq)，同時(shí)計(jì)算式(25)右端新增項(xiàng)的值及其總和Sq.

(3) 如果|(Sq-Sq-1)/Sq|<ε(ε為一很小的數(shù)值，文中取為10-4)，則m0=mq-1；否則，返回步驟(2)進(jìn)行迭代.

顯然，通過(guò)此迭代過(guò)程自適應(yīng)地確定m0值較經(jīng)驗(yàn)性地確定m0值更具科學(xué)性，且往往可以避免許多不必要的系數(shù)的計(jì)算，具有更高的精度和效率.

2.3.3非線性代數(shù)方程的求解

確定m0值后可以直接采用各類(lèi)成熟的非線性方程的解法求解非線性代數(shù)方程式(25).

(27)

3特殊情形的驗(yàn)證

對(duì)于某些特殊情形，根據(jù)式(23)可以得到一些有意義的結(jié)果.

3.11個(gè)正態(tài)變量

對(duì)于Θi與Θj存在一個(gè)正態(tài)變量的情形，不妨令Θi為正態(tài)變量.根據(jù)正態(tài)變量的性質(zhì)，顯然有

(28)

將上式代入式(20)，并利用Hermite多項(xiàng)式的正交性可有

(29)

將式(29)代入式(23)可得

(30)

與文獻(xiàn)[6]的定理4吻合.因此，式(30)可方便且精確地計(jì)算正態(tài)變量與其他變量的等效相關(guān)系數(shù).

3.22個(gè)正態(tài)變量

若Θj亦為正態(tài)變量，易知

(31)

與線性變換不改變Pearson相關(guān)系數(shù)的常識(shí)相符，亦與文獻(xiàn)[6]的定理5吻合.

3.3正態(tài)變量和對(duì)數(shù)正態(tài)變量

若Θj為對(duì)數(shù)正態(tài)變量，即lnΘj～N(μln Θj,σln Θj)則有

(32)

于是

(33)

將其代入式(30)可得

(34)

式中：δj為Θj的變異系數(shù).不難發(fā)現(xiàn)，式(34)與文獻(xiàn)[6]的解析解相吻合.

4算例分析

為了驗(yàn)證本文方法的正確性和適用性，文中對(duì)3類(lèi)隨機(jī)向量情形進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析.

4.1均勻分布隨機(jī)向量

若Θ1與Θ2均服從[0,1]均勻分布，其相關(guān)系數(shù)為ρΘ，那么對(duì)應(yīng)的正態(tài)變量X1與X2的相關(guān)系數(shù)ρX與ρΘ存在如下解析關(guān)系[10]:

(35)

表1　均勻分布的等效相關(guān)系數(shù)

當(dāng)ρΘ取不同值時(shí)，表1給出了分別由直接二維積分法(即直接求解方程(9))、文獻(xiàn)[7]方法(即求解方程(10))和建議方法得到的ρX的數(shù)值解，同時(shí)亦給出了由式(35)確定的解析解.經(jīng)對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)，二維積分法、建議方法均具有很高的精度，而文獻(xiàn)[7]方法計(jì)算精度最低.對(duì)于原變量服從均勻分布的情形，當(dāng)相關(guān)系數(shù)較小時(shí)，式(23)收斂很快，只需幾項(xiàng)就可以達(dá)到非常高的精度；隨著相關(guān)系數(shù)增大，收斂趨緩，但即使對(duì)于ρΘ接近于1的情形，取m=10亦足夠.

4.2對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)向量

當(dāng)Θ1及Θ2均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，ρX與ρΘ的解析關(guān)系如下[11]：

(36)

由于ρX和ρΘ的關(guān)系僅與σln Θ1，σln Θ2有關(guān)，而與μln Θ1，μln Θ2無(wú)關(guān)，因此可令lnΘ1～N(0,σln Θ1)，lnΘ2～N(0,σln Θ2).

圖2給出了σln Θ1，σln Θ2的不同組合工況下分別取m為4，6時(shí)式(25)與式(36)的逼近程度.不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于對(duì)數(shù)正態(tài)變量，取m=4基本可以得到較為理想的精度.此外，表2是各工況的變量概率分布，表3給出了表2不同工況時(shí)3類(lèi)方法數(shù)值解與解析解的對(duì)比.結(jié)果表明，建議方法具有非常理想的精度；二維積分法、文獻(xiàn)[7]方法對(duì)ρΘ接近于1的情形計(jì)算結(jié)果誤差較大，如工況6及工況7.

a σln Θ1=σln Θ2=0.5

b σln Θ1=0.5, σln Θ2=1.0

c σln Θ1=σln Θ2=1.0

表2　各工況及變量概率分布信息

表3　對(duì)數(shù)分布的等效相關(guān)系數(shù)

4.3任意分布相關(guān)隨機(jī)向量

假定隨機(jī)變量Θ1與Θ2具有相同的均值μΘ=1.0及變異系數(shù)δΘ=0.2.依據(jù)隨機(jī)變量Θ1與Θ2的分布類(lèi)型不同，考慮表4所示3種工況.當(dāng)ρΘ取不同值時(shí)，采用直接二維積分法、文獻(xiàn)[7]方法和建議算法給出ρX的數(shù)值解，計(jì)算結(jié)果如表5.顯然，對(duì)于此3種工況，建議方法與二維積分法、文獻(xiàn)[7]方法的計(jì)算結(jié)果具有高度的一致性，說(shuō)明建議方法對(duì)任意分布相關(guān)隨機(jī)變量等效相關(guān)系數(shù)求解問(wèn)題適用.

表4　各工況及變量分布類(lèi)型

表5　不同工況ρX計(jì)算結(jié)果

此外，由于建議方法僅涉及一維數(shù)值積分和代數(shù)方程的求解，更易于實(shí)現(xiàn).

5結(jié)論

等效相關(guān)系數(shù)的求解是Nataf的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，本文基于Mehler公式導(dǎo)出了關(guān)于等效相關(guān)系數(shù)的無(wú)窮次代數(shù)方程，完善了Nataf變換理論的框架；同時(shí)，基于該無(wú)窮次代數(shù)方程的收斂特性給出了由截?cái)喾匠讨鸩奖平牡蠼馑悸?，兼顧了方程求解的精度和效?由于既不涉及關(guān)于聯(lián)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的積分，又只包含一維積分，且該一維積分僅取決于變量自身，因此建議方法具有廣泛的適用范圍、理想的計(jì)算精度和很高的計(jì)算效率，對(duì)于相關(guān)變量較多的情形尤其如此.

參考文獻(xiàn):

[1]李杰. 隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)——分析與建模[M]. 北京：科學(xué)出版社, 1996.

LI Jie. Stochastic structural system: Analyzing and modeling [M]. Beijing: Science Press, 1996.

[2]Rosenblatt M. Remarks on a multivariate transformation [J].The Annals of Mathematical Statistics, 1952, 23(3): 470.

[3]Zhao Y G, Ono T. New point-estimates for probability moments [J]. Journal of Engineering Mechanics, 2000, 126(4): 433.

[4]Huang X, Zhang Y. Reliability-sensitivity analysis using dimension reduction methods and saddlepoint approximations [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2013, 93(8): 857.

[5]Honenbichler M, Rackwitz R. Non-normal dependent vectors in structural safety [J]. Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE, 1981, 107(6): 1227.

[6]Liu P L, Der Kiureghian A. Multivariate distribution models with prescribed marginals and covariances [J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 1986, 1(2): 105.

[7]Li H S, Lv Z Z, Yuan X K. Nataf transformation based points estimate method [J]. Chinese Science Bulletin, 2008, 53(17): 2586.

[8]Der Kiureghian A, Liu P L. Structural reliability under incomplete probability information [J]. Journal of engineering mechanics, 1986, 112(1): 85.

[9]呂大剛. 基于線性化Nataf變換的一次可靠度方法[J]. 工程力學(xué), 2007, 24(5): 79.

LV Dagang. First order reliability method based on linearity Nataf transformation [J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(5): 79.

[10]Li S T, Hammond J L. Generation of pseudo random numbers with specified univariate distributions and correlation coefficients [J]. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 1975, SMC-5(5): 557.

[11]Mostafa M, Mahmoud M. On the problem of estimation for the bivariate lognormal distribution [J]. Biometrika, 1964, 51(3/4): 522.

[12]姚繼濤, 董振平. 隨機(jī)變量的相關(guān)性和結(jié)構(gòu)可靠度[J]. 西安建筑大學(xué)學(xué)報(bào), 2000, 32(2): 114.

YAO Jitao, DONG Zhenping. Correlativity of random variables and structural reliability [J]. Journal of Xi’an University of Architecture & Technology, 2000, 32(2): 114.

[13]Cario M C, Nelson B L. Modeling and generating random vectors with arbitrary marginal distributions and correlation matrix [R]. Evanston: Northwestern University, 1997.

[14]Kugiumtzis D, Bora-Senta E. Normal correlation coefficient of non-normal variables using piece-wise linear approximation [J]. Computational Statistics, 2010, 25(4): 645.

[15]Xiao Q. Evaluating correlation coefficient for Nataf transformation [J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2014, 37: 1.

[16]Chen H F. Initialization for NORTA: Generation of random vectors with specified marginal and correlations [J]. Informs Journal on Computing, 2001, 13(4): 312.

[17]Niavarani M R, Smith A J R. Modeling and generating multi-variate-attribute random vectors using a new simulation method combined with NORTA Algorithm [J]. Journal of Uncertain Systems, 2013, 7(2): 83.

[18]Sakamoto S, Ghanem R. Polynomial chaos decomposition for the simulation of non-Gaussian non-stationary stochastic processes [J]. Journal of Engineering Mechanics ASCE, 2002, 128(2): 190.

[19]Phoon K K, Nadim F. Modeling non-gaussian random vectors for FORM: State-of-the-art review [C]// International Workshop on Risk Assessment in Site Characterization and Geotechnical Design. Bangalore: Indian Institute of Science, 2004: 55-85.

[20]張坤, 吳帥兵, 李典慶. 基于Hermite多項(xiàng)式的等效相關(guān)系數(shù)求解及可靠度分析[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版, 2012, 45(2): 200.

ZHANG Kun, WU Shuaibing， LI Dianqing. Solution of equivalent correlation coefficient and reliability analysis using Hermite polynomials [J]. Engineering Journal of Wuhan University, 2012, 45(2): 200.

[21]Kibble W F. An extension of a theorem of Mehler’s on Hermite polynomials [J]. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1945, 41(1): 12.

收稿日期：2015-07-21

基金項(xiàng)目：中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(CDJZR 12200015, CDJZR 12200059)；國(guó)家自然科學(xué)基金(50908243)

中圖分類(lèi)號(hào)：TU311;TB114

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

A Technique for Solution of Equivalent Correlation Coefficients Based on the Mehler’s Formula

FAN Wenliang1,2,3, YANG Pengchao2, LI Zhengliang1,2

(1. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area Ministry of Education, Chongqing University, Chongqing 400045, China; 2. School of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China; 3. Department of Civil and Environmental Engineering, University of California-Irvine, Irvine 92697, USA)

Abstract：Firstly, the Mehler’s formula, an equivalent series expansion of the bivariate normal probability density function (PDF), is introduced into the original equation with respect to the equivalent correlation coefficients, which is defined in the two dimensional dependent normal space. Then the equivalent algebraic equation with infinite terms is deduced straightforwardly, together with its convergence property. Theoretically, this work can be treated as the improvement of the Nataf transformation. Meanwhile, an iterative method for approximate solutions of equivalent correlation coefficients is proposed based on the truncated algebraic equation. Without the integral of bivariate normal PDF and with the merits of the reusability of coefficients of algebraic equations, the proposed method is of wide applicability, high efficiency and high precision. Lastly, the accuracy and rationality of this method are verified by examples.

Key words：equivalent correlation coefficients; dependent random vector; Nataf transformation; Mehler’s formula; algebraic equation

第一作者： 范文亮(1979—)，男，副教授，工學(xué)博士，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)工程、隨機(jī)系統(tǒng)分析和可靠度分析. E-mail:davidfwl@126.com