“遍地開花”的“一線三等角”

張曉紅

摘要：相似三角形在初中數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位，它涉及的知識點多，有很重要的實用價值，它與人類的生產(chǎn)和生活有著廣泛的聯(lián)系，如測量、繪圖、電影、照相等都涉及相似形的知識；相似知識為證明角相等、求線段的長提供了不可或缺的橋梁。相似三角形靈活性強(qiáng)，成為眾多出題者追捧的對象。而作為證明相似的一種重要方法——“一線三等角”又是證明相似的一種常用的手段。本文通過闡述“一線三等角”在相似三角形判定中的重要作用，從而引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握利用基本數(shù)學(xué)模型來描述和分析問題，建立幾何直觀，找到常用的分析問題的方法。

關(guān)鍵詞：相似三角形；一線三等角；基本模型

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）06-0086

根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對核心概念的解讀：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，貫穿在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)的始終。在教學(xué)中要有意識地強(qiáng)化對基本圖形的應(yīng)用，不斷地運用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中關(guān)注的目標(biāo)。相似三角形在初中幾何直觀的教學(xué)中不可小覷，而作為“一線三等角”這個基本模型為證明三角形相似起到了舉足輕重的作用，在很多的中考考題中常有涉及和滲透，在數(shù)學(xué)考卷中幾乎是“遍地開花”……

本文基于平時教學(xué)實踐中對相似三角形中“一線三等角”這一基本圖形的提煉、應(yīng)用、感悟，進(jìn)而拓展使之升華，將復(fù)雜問題簡單化，使學(xué)生能抓住問題的本質(zhì)，學(xué)會歸類，繼而做到觸類旁通，從而有效地提高學(xué)生的解題能力。

下面筆者將從以下幾個方面進(jìn)行闡述。

一、一線等三角的定義

一線三等角就是指三個等角的頂點在同一直線上。具體來說，兩個等角的一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側(cè)。若有第三個與之相等的角、其頂點在該直線上，角的兩邊（或兩邊所在的直線）分別與兩等角的非共線邊（或該邊所在的直線）相交，此時通過證明，一般都可以得到一組全等或者相似三角形，這組相似三角形習(xí)慣稱之為一線三等角型。解題思路是：一線三等角，其他等角容易找，從而容易證明三角形相似，若有一對對應(yīng)邊相等，三角形就全等了。只要存在一線三等角模型，一定存在其他兩對相等的角，從而找到解決問題的突破口，或用全等，或用相似，最終都能輕松戰(zhàn)勝困難。

二、一線三等角的基本模型。

1. 直角型一線三等角?；緢D形如下：

這是一種特殊的一線三等角型，三個相等的角均為直角，因此習(xí)慣地稱為一線三直角型。一線三直角型常常以直角三角形、矩形或者正方形作為圖形背景，圖形如下：

有些基本圖形很清晰，有些需要我們添加適當(dāng)?shù)妮o助線讓這種基本模型“顯山露水”……

三、“一線三等角”的常規(guī)思路

從以上例題可以看出，任何一個復(fù)雜的幾何圖形往往都是一些學(xué)生所熟悉的基本圖形的變式，或由若干個基本圖形組合而成，學(xué)生可以從復(fù)雜圖形中分離出一線三等角的基本數(shù)學(xué)模型，對分析問題、解決問題有化繁為簡的效果。只要見到一條直線上出現(xiàn)了三個等角，往往都存在這樣的模型，在一些綜合性題目中，教師要善于培養(yǎng)學(xué)生的“火眼金睛”去挖掘、發(fā)現(xiàn)這樣的一些基本圖形，往往通過對這些基本圖形進(jìn)行探討，把綜合題目進(jìn)行了有效分解，打破對綜合題的畏懼心理，加深對于題目條件的使用，條件用完，即使題目沒有求解完畢，也得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，提高問題解決的能力，在師生共同探討的過程中鼓勵學(xué)生嘗試解題，并加強(qiáng)題后反思，鍛煉學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生解題的能力。

（作者單位：福建省泉州市馬甲中學(xué) 362000）