運(yùn)用相似三角形解決平衡問(wèn)題

李煜星

摘要：在研究受力問(wèn)題時(shí)，選取不同的方法求解。但是，有關(guān)長(zhǎng)度和力的問(wèn)題、非特殊三角形問(wèn)題、看似條件不足的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題、已知角或求角問(wèn)題等，根據(jù)筆者三十多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，運(yùn)用相似三角形解決上述類(lèi)型的題目比較好，相對(duì)比較簡(jiǎn)單。

關(guān)鍵詞：相似三角形；長(zhǎng)度和力；平衡；非特殊三角形；角

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）03-0086

當(dāng)所選研究對(duì)象受三個(gè)力時(shí)，用合成法求未知力，畫(huà)出平行四邊形，根據(jù)已知條件不同，選取不同的方法求解。以下幾種情況用相似三角形法比較好，相似三角形法是通過(guò)力的三角形與幾何三角形相似求未知力。

一、有關(guān)長(zhǎng)度和力的問(wèn)題

解三角支架習(xí)題時(shí)常有兩種已知條件給法，一種是已知邊長(zhǎng)，另一種是已知角，都是求力，但解法不同，當(dāng)然這類(lèi)題用正交分解法也可以解出。

例1. 在三角架上的B點(diǎn)用一根細(xì)繩掛在一個(gè)重為G的物體，如圖1所示，求橫梁AB 和斜梁BC受l到的力各為多大？已知三角架AB=L1，Bc=L2，橫梁AB水平。（解略）

例2. 如圖2所示，長(zhǎng)為5 m的細(xì)繩的兩端，分別系于豎直在地面上相距為4m的兩豎直桿的兩端A、B上，繩上掛一光滑的輕質(zhì)掛鉤，其下拴住一個(gè)重為12N的物塊，平衡時(shí)繩中的張力 F=

解：如圖3，連CD，作繩中張力兩個(gè) F（即F1=F2）的合力與重力等大反向，對(duì)角線相互平分且垂直，很顯然θ1= θ2=θ，力的三角形與長(zhǎng)度三角形相似，由長(zhǎng)度三角形可得OC+OD=（OA+OB）sinθ，所以sinθ=4/5，由力的三角形可得 F=（G/2） cosθ=5G/6=10N。

二、非特殊三角形問(wèn)題

例3. 一個(gè)表面光滑的半球形物體國(guó)定在水平面上，在其球心 O的正上方一定高度處國(guó)定一個(gè)小滑輪，一根細(xì)繩的一端拴一小球，置于球面上 A點(diǎn)，另一端繞過(guò)定滑輪，如圖4所示。現(xiàn)緩慢地拉動(dòng)細(xì)繩的另一端，使小球沿球面從A點(diǎn)拉到B點(diǎn)，在此過(guò)程中，小球所受球面的支持力 FN 及細(xì)繩對(duì)小球的拉力FT的變化化情況是：

A. FN變大，F(xiàn)T變??；

B. FN變小，F(xiàn)T變大；

C. FN不變，F(xiàn)T變??；

D. FN變大，F(xiàn)T變??；

解：小球緩慢上移，可認(rèn)為小球始終處于平衡狀態(tài)，故小球所受拉力FT 與小球所受支持力FN的合力跟小球的重力G等值反向，即FT與FN的合力應(yīng)豎直向上，大小恒為 G，支持力FN與球面垂直，F(xiàn)N的作用線通過(guò)兩球心，小滑輪光滑，細(xì)線上各點(diǎn)張力大小相等，因三個(gè)力FN、FT、G組成三角形與ΔAOC 相似即可求解。

在小球上升的過(guò)程中，AO與CO的長(zhǎng)度保持不變，只有AC的長(zhǎng)度逐漸減小，可見(jiàn)拉力FT變小，支持力FN大小保持不變，故選項(xiàng)C正確。

點(diǎn)評(píng)：本題從物理思想上看，上面的解法稱(chēng)為平衡法或合成法，從數(shù)學(xué)方法上看，稱(chēng)為相似三角形法?？梢?jiàn)，若為特殊三角形教學(xué)中用三角函數(shù)就可以解出且較簡(jiǎn)便，而非特殊三角形用相似三角形法更簡(jiǎn)單。

三、看似條件不足的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

例4. 如圖6所示，豎直桿OB頂端有光滑輕質(zhì)滑輪，輕質(zhì)桿OA自重不計(jì)，可繞O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=OB。當(dāng)細(xì)繩緩慢放下，使∠AOB由O0逐漸增大到1800的過(guò)程中（不包括），下列說(shuō)法正確的是：

A. 繩上的拉力先逐漸增大后逐漸減??；

B. OA桿上的壓力先逐漸減小后逐漸增大；

C. 繩上的拉力越來(lái)越大，但不超過(guò)2G；

D. OA桿上的壓力大小始終等于G；

解：作出結(jié)點(diǎn) A的受力分析圖，如圖7所示， 即可知繩的拉力 F始終小于2G。

四、己知角或求角的問(wèn)題

一般來(lái)說(shuō)，已知角或求角的問(wèn)題，我們都比較習(xí)慣于正交分解法，但有些問(wèn)題用相似三角形法更簡(jiǎn)單。

例5. 一個(gè)重為 G的小環(huán)套豎直放置的半程為R的光滑大圓環(huán)上，一個(gè)勁度為k，原長(zhǎng)為 L（L<2R）的輕彈簧，一端固定在大圓環(huán)頂點(diǎn) A，另一端與小環(huán)相連，小環(huán)在大圓環(huán)上可無(wú)摩擦活動(dòng)，小環(huán)靜止于B 點(diǎn)時(shí)，如圖8所示，求彈簧與豎直方向的夾角。

解：小環(huán)受到重力 G，方向堅(jiān)直向下，受到彈簧彈力的作用線一定與AB 重合。根據(jù)平衡條件不難判斷，彈簧是處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，彈力只能沿BA方向指向A，大環(huán)對(duì)小環(huán)的作用力是沿著半徑方向斜向下，重力 G與FN的合力與彈簧的作用力F是一對(duì)平衡力，由幾何關(guān)系得：AB=2Rcosθ，

再由三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可得

（作者單位：內(nèi)蒙古包頭市一機(jī)一中 014030）