巧用幾何畫板設(shè)計(jì)鑲嵌圖案

摘要：本文從數(shù)學(xué)教材中的“鑲嵌”話題引入，利用幾何畫板的“平移”“反射”等變換進(jìn)行鑲嵌圖案設(shè)計(jì)，有極強(qiáng)的可操作性。這種設(shè)計(jì)方法得到的鑲嵌圖案整體可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)變化，且操作簡便，這是利用現(xiàn)代教育技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的典例。

關(guān)鍵詞：鑲嵌；幾何畫板；教育技術(shù)

中圖分類號：G434 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 論文編號：1674-2117（2018）15/16-0120-03

在華東師大版《數(shù)學(xué)》七年級（下）第91頁的閱讀材料《多姿多彩的圖案》中有以下兩幅特殊的圖案（如圖1、圖2）。類似地，在北師大版《數(shù)學(xué)》八年級（下）第85頁的例題中也有類似圖案（如圖2）。

這兩個(gè)版本的教材中均選擇了這樣的圖案，說明這樣的圖案一定有其神奇之處，而事實(shí)上它們就是鑲嵌圖案。查閱資料可以發(fā)現(xiàn)，荷蘭藝術(shù)家埃舍爾（M.C.Escher，1898—1972）對鑲嵌圖案頗有研究，教材中選取的圖2就是出自這位藝術(shù)家的作品《蜥蜴》。他在創(chuàng)作《天使與惡魔》（如圖3）時(shí)，更是借助了“旋轉(zhuǎn)”“分形”等變換加以實(shí)現(xiàn)。創(chuàng)作這些作品時(shí)，他自覺不自覺地使用了數(shù)學(xué)中的“平移”“軸對稱”“旋轉(zhuǎn)”“分形”等知識，再通過藝術(shù)加工，最后兼具了藝術(shù)性與科學(xué)性。

分析這些圖案可以發(fā)現(xiàn)，它們都是以一個(gè)圖案為基礎(chǔ)，將圖案中的一部分進(jìn)行分割，利用“平移”“軸對稱”“旋轉(zhuǎn)”變換中的一種或幾種進(jìn)行變換，拼補(bǔ)后得到一個(gè)新的基本圖案（注意新的基本圖案與原圖案的面積是相等的）。一個(gè)圖案好畫后，要形成一系列有這種特征的圖案，單單借助手工繪圖很難實(shí)現(xiàn)。在教學(xué)實(shí)踐中，如果給學(xué)生布置一個(gè)這樣的實(shí)踐作業(yè)，完成的效果基本不會(huì)太好，而利用幾何畫板的“平移”“反射（軸對稱）”“旋轉(zhuǎn)”等變換就可以設(shè)計(jì)出美妙的鑲嵌圖案。

利用“平移”變換設(shè)計(jì)鑲嵌

操作過程如下：

1.畫一個(gè)矩形ABCD。

2.在矩形ABCD內(nèi)部靠近線段AD，任作三個(gè)點(diǎn)E、F、G，依次選定點(diǎn)A、E、F，選擇菜單欄“構(gòu)造”菜單下“過三點(diǎn)的弧”，就可得到圖4，選定點(diǎn)F、G、D，重復(fù)之前的步驟，可得到圖5。移動(dòng)點(diǎn)E或點(diǎn)F，可改變兩弧的形狀或長度（如圖6）。

3.依次選定點(diǎn)A、B，選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”，會(huì)看到由點(diǎn)A到點(diǎn)B閃爍一下，接著選定兩弧，選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，彈出“平移”對話框，點(diǎn)擊“平移”按鈕，得到如上頁圖7的效果。

4.在矩形ABCD內(nèi)部靠近線段CD，任作三個(gè)點(diǎn)H、I、J，依次分別選定D、H、I和I、J、C，重復(fù)步驟2的過程，可得如圖8的效果。依次選定點(diǎn)D、A，選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”，會(huì)看到由點(diǎn)D到點(diǎn)A閃爍一下，接著選定兩弧DHI和IJC，重復(fù)步驟3中的其余步驟，得到如圖9的效果。

5.依次選定線段AB、BC、CD、DA，選擇菜單欄“顯示”菜單下“隱藏對象”，實(shí)現(xiàn)隱藏四條線段（或按快捷鍵Ctrl+H也可）。選定點(diǎn)E、F、G，選擇菜單欄“編輯”菜單下“操作類按鈕”的下級菜單“隱藏/顯示”按鈕，生成一個(gè)“隱藏/顯示”圖標(biāo)按鈕。點(diǎn)擊按鈕，可以讓以上各點(diǎn)隱藏或顯示，為后期形成整幅圖案后，調(diào)整基本圖案做好準(zhǔn)備工作。同時(shí)如果需要調(diào)整基本圖案，可以適當(dāng)調(diào)整A、B、C、D、E、F、G中的某點(diǎn)或幾個(gè)點(diǎn)的位置，以進(jìn)一步美化圖案。

6.依次選定點(diǎn)A、D，選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”，會(huì)看到由點(diǎn)A到點(diǎn)D閃爍一下，接著選定所有對象（整幅圖案），選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，用文本工具點(diǎn)擊點(diǎn)D平移后的對應(yīng)點(diǎn)D'，會(huì)顯示出“D'”，依次選定點(diǎn)A、D'，重復(fù)之前步驟，出現(xiàn)圖10的效果。

7.依次選定點(diǎn)A、B，選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”，會(huì)看到由點(diǎn)A到點(diǎn)B閃爍一下，接著選定所有對象（整幅圖案），選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”。根據(jù)需要可重復(fù)步驟6、7，得到圖11的效果。如果根據(jù)需要打印出來，適當(dāng)涂色，則可變換出各種效果。

利用文本工具依次點(diǎn)左上角第一幅圖，可看到點(diǎn)的標(biāo)簽隱藏，適當(dāng)調(diào)整圖中某一點(diǎn)或某幾個(gè)點(diǎn)的位置，則會(huì)出現(xiàn)整個(gè)圖案動(dòng)態(tài)變化。

利用“平移”“軸對稱”變換設(shè)計(jì)鑲嵌

如何能出現(xiàn)圖1、圖2的特殊效果呢？有了上面第一種做法為基礎(chǔ)，用“平移”“軸對稱”進(jìn)行鑲嵌圖案的設(shè)計(jì)就很好操作了。具體步驟如下：

1.任畫一條線段AB，并分別過點(diǎn)A、B作AB的垂線，在過點(diǎn)A的垂線上任取一點(diǎn)C，雙擊線段AB（或選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記鏡面”），選定點(diǎn)C，選擇菜單欄“變換”菜單下“反射”，得到點(diǎn)C'（如點(diǎn)C'標(biāo)簽未顯示，則點(diǎn)擊左側(cè)文本工具，再點(diǎn)擊點(diǎn)C'，即可顯示標(biāo)簽）。

2.在線段AB上方取三點(diǎn)D、E、F，依次選中B、D、F，選擇菜單欄“構(gòu)造”菜單下“過三點(diǎn)的弧”，得到弧BDE，同理再作弧CFE。

3.選定過點(diǎn)B的垂線，選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記鏡面”（雙擊該直線也可標(biāo)記），會(huì)看到該直線閃爍一下。同時(shí)選定弧BDE與弧CFE（不選點(diǎn)），選擇菜單欄“變換”菜單下“反射”，得到圖12。

4.依次選中點(diǎn)B、C'， 選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”，同時(shí)選定剛剛步驟3中得到的兩弧，選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，彈出對話框，點(diǎn)擊“平移”，得到圖13。隱藏步驟3中得到的兩弧。

5.在直線AC右側(cè)（靠近AC），線段AB上方取點(diǎn)G、H、I，依次選中A、G、H，選擇菜單欄“構(gòu)造”菜單下“過三點(diǎn)的弧”，得到弧AGH，同理再作弧CIH。

6.雙擊該直線AC標(biāo)記鏡面，同時(shí)選定弧AGH與弧CIH，選擇菜單欄“變換”菜單下“反射”，得到上頁圖14。

7.依次選中點(diǎn)A、C'，選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”，同時(shí)選定剛剛步驟6中得到的兩弧，選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，彈出對話框，點(diǎn)擊“平移”，得到上頁圖15。隱藏步驟6中得到的兩弧。

8.分別選定線段AB及兩垂線，按快捷鍵Ctrl+H，加以隱藏?；緢D案已經(jīng)完成。

9.選定點(diǎn)G、H、I、D、E、F，選擇菜單欄“編輯”菜單下“操作類按鈕”的下級菜單“隱藏/顯示”按鈕，生成一個(gè)“隱藏/顯示”圖標(biāo)按鈕，點(diǎn)擊按鈕，可以讓以上各點(diǎn)隱藏或顯示，為后期形成整幅圖案后，調(diào)整基本圖案做好準(zhǔn)備工作。

10.依次選中點(diǎn)A、B，選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”，同時(shí)選定圖案中的所有弧和點(diǎn)B，選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，彈出對話框，點(diǎn)擊“平移”，得到上頁圖16。用文本工具點(diǎn)擊最右側(cè)點(diǎn)，顯示點(diǎn)B'的標(biāo)簽，依次選中點(diǎn)A、B'，重復(fù)剛才的操作過程，可得如圖17的圖案。根據(jù)需要，可繼續(xù)重復(fù)之前過程（注意：不能復(fù)制粘貼后再手動(dòng)平移）。

11.依次選中點(diǎn)C、C'，選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”，同時(shí)選定圖案中的所有弧和點(diǎn)C'，選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”，彈出對話框，點(diǎn)擊“平移”。用文本工具點(diǎn)擊最下端的點(diǎn)，顯示點(diǎn)C''的標(biāo)簽，依次選中點(diǎn)C、C''，重復(fù)剛才的操作過程，可得類似圖18的圖案。

如果要調(diào)整圖案形狀，就需要調(diào)整A、B、C點(diǎn)的位置，更進(jìn)一步可以點(diǎn)擊步驟9中生成的“隱藏/顯示”圖標(biāo)按紐，對其他點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整。這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，左上角的基本圖案變化的同時(shí)，其他部分也變化了。

你理解整個(gè)鑲嵌圖案設(shè)計(jì)的原理了嗎？你是否想嘗試挑戰(zhàn)一下自己，用“平移”“旋轉(zhuǎn)”等變換設(shè)計(jì)一個(gè)鑲嵌圖案？

參考文獻(xiàn)：

[1]王建磐.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（七下）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2016，12.

[2]江玉軍.幾何畫板5.0從入門到精通[M].中山：中山大學(xué)出版社，2011，8.

[3]邵新虎，王鳳進(jìn)，羅新展.利用幾何畫板探究數(shù)學(xué)問題[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016，4.

作者簡介：亢建波，山西省臨汾市第一中心學(xué)校數(shù)學(xué)高級教師。