一個(gè)代數(shù)不等式的n元推廣

王東生　石煥南

(1.北京電子科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部 100026;2.北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院基礎(chǔ)部 100011)

1998年9月法國(guó)路易·巴斯德大學(xué)的Mohammed Aassila教授，在Crux Mathematicorum With Mathematical Mayhem雜志上提出了一個(gè)代數(shù)不等式：

設(shè)a,b,c>0，則有

(1)

該不等式曾經(jīng)作為2006年巴爾干數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題.

2003年羅欲曉將式(1)加強(qiáng)為[1]：

設(shè)a,b,c>0，則有

(2)

2011年陳建英將式(1)推廣為[2]：

設(shè)a,b,c>0，λ>0，則有

(3)

爾后，安振平發(fā)現(xiàn)了式(3)的錯(cuò)誤并將其更正為[3]：

設(shè)a,b,c>0，λ≥1，則有

(4)

上述討論都只局限于三元變量形式，而對(duì)于n(n≥2)元變量有沒有類似的不等式成立，文[1]～[3]中都沒有涉及，本文通過研究發(fā)現(xiàn)，在一定條件下，可將式(1)推廣到n元變量.

定理1當(dāng)n≥3時(shí)，對(duì)于xi≥1(i=1,2,…,n) 有

(5)

成立.

而

定理1證畢.

定理2當(dāng)n≥2時(shí)，對(duì)于xi>1 (i=1,2,…,n)，有

(6)

成立.

而

定理2證畢.

引理1[4]設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，k1,k2,…,kn是{1,2,…,n}的任意排列，則

(7)

僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí)等號(hào)成立.

引理2[5](Jensen不等式)設(shè)f(x)是開區(qū)間(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)，那么，對(duì)于(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，有

(8)

定理3當(dāng)n≥2時(shí)，對(duì)于0

(9)

證明先證

設(shè)y1,y2,…,yn是x1,x2,…,xn的一個(gè)遞增排列，則

由引理1有

即

其中j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任意排列.

這樣取yji：當(dāng)yi=xk(k

于是有

(10)

f″(x)=2x-3(1-x)-3[(1-x)2-x(1-x)+x2]

=2x-3(1-x)-3[(1-x)2-2x(1-x)+x2+x(1-x)]

=2x-3(1-x)-3{[(1-x)-x]2+x(1-x)}≥0.

由引理2有

再結(jié)合式(10)有

定理3證畢.

注(1)定理1對(duì)于n=2是不成立的.實(shí)際上， 取x1=1，x2=2，則有

(2)當(dāng)n>3時(shí)，式(5)對(duì)于0