解析幾何變式問題制作的一種方法

梁海藝　吳躍忠

(華南師范大學數學科學學院　510631)

變式訓練是解題訓練的重要手段，合理選擇變式訓練材料可提高變式訓練質量，然而，如何選擇符合學生數學現實的變式訓練題頗不容易，本文提供一種制作變式問題的方法，鉆研該方法，不僅可以獲得豐富的變式命題，還能幫助我們深刻理解變式問題內在本質，以及優(yōu)化與變式問題相關知識結構.本文通過對一道高考試題的條件結構改變，獲得不同難度水平的變式問題.

(2)在橢圓C上，是否存在點M(m,n)使得直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1相交于不同的兩點A,B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由.

此題的條件分別屬于三個條件(見下列集合中黑體字)：

類別集A={橢圓，雙曲線，拋物線，圓}，

解幾知識集B={離心率，軌跡，點(包括頂點、焦點、動點、定點、公共點、交點、中點、對稱點、內心、外心、重心、垂心等)，弦(包括各類直線：準線、漸近線、對稱軸、動直線、定直線、切線、垂線、平行線等)，距離(包括焦距等)，面積等}，

非解幾知識集C={最值，極值，配方，定值，參數取值范圍，向量數量積等}.

對上述三個集合中元素合理選取，可得到不同的變式問題.

1　近遷移解幾變式命題制作

如所知，變式是通過改變原命題非本質條件以獲得新命題，如果變式與原命題距離較短，其遷移量不大，則可以利用下面方法.

1.1　條件替換

制作變式試題時，只需要將原題設條件與其所在集合中元素(條件)互換就形成新變式題，可以改變一個條件，也可以改變多個條件.

如改變二個條件，在集合A中，將原題設條件的“橢圓”和“圓”替換成“圓”；在集合C中，將“面積最大值”改換為“向量數量積最值”，有

在集合A中，將原題設條件“橢圓”和“圓”替換成 “拋物線”，將“面積最大值”改換成集B中“線段中點軌跡”，有

變式3(2013遼寧理20)拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-4y，點M(x0,y0)在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A,B(M為原點O時，A,B重合于O).當M在C2上運動時，求AB線段中點的軌跡方程(AB重合于O時，中點為O).

1.2　位置替換

位置替換，指的是上述三類集合中，將原題設中動點運動區(qū)域替換成新的區(qū)域，如在集合B中條件元素(如，平面內某一動點，某直線上的動點)的替換.位置替換也可在條件替換的基礎上進行，所形成的變式中既涉及條件替換也涉及位置替換.

如，在類別集A中，將原題設條件的 “圓”替換成“橢圓”，在集合B中，將動點M的位置替換成在“y軸”上，可獲得以下變式：

將原題設條件的 “圓”替換成所在類別集A中的“拋物線”，將動點M的位置替換成在其所在集合B中的“直線l:x-y-2=0”上，可獲得以下變式：

變式5(2013廣東理20)設P是直線l:x-y-2=0上的點，過點P作拋物線C:x2=4y的兩條切線PA,PB，其中A,B為切點.當點P在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值.

將原題設條件的 “圓”替換成所在類別集A中的“橢圓”，將動點M的位置替換成其所在集合B中的“橢圓外”，可獲得以下變式：

2　遠遷移解幾變式命題制作

制作變式跨度比較大的命題，則可通過選擇上述集合C中的一個或多個元素，使得變式題難度加大.

2.1　問題替換

問題替換指的是原題設條件保持基本不變或進行了近遷移，再選擇集合C中的一個或多個元素來替換原命題的問題形成新變式題.

如選擇集合C中“取值范圍”，可在原題設條件的基礎上，確定某一變化的幾何量，以其“取值范圍”來替換原題設問題中“面積最大”，如下列變式：

如選擇幾何量“離心率取值范圍”，保持原題設條件不變，考慮對原命題進行逆向變式，以“未知具體曲線”替換原題設已知曲線條件，命題問題替換成“離心率的取值范圍”，作如下變式：

如選擇集合C中的“向量數量積”“取值范圍”，原題設條件保持不變，以其“向量積的取值范圍”來替換原題設的問題“面積最大”，形成如下變式：

如選擇 “向量數量積”作為題設的問題時，在近遷移的基礎上(即用“雙曲線”替換原命題的“橢圓”)，再將“特殊的向量數量積”等價替換原命題的問題“面積最大”，形成如下變式：

2.2　位置替換

與近遷移中的位置替換法一致，但在這里，位置替換一般在問題替換的基礎上進行.

如選擇集合C中的“向量積”、“等比數列”和“取值范圍”，將原題設條件中動點M的位置替換成在“橢圓內部”，增加“等比數列”作為題設條件，以“數量積的取值范圍”替換原命題的問題“面積最大”，可獲得以下變式：

3　創(chuàng)新解幾變式命題制作

創(chuàng)新變式命題指的是 ，該命題的題設條件中具有課本以外知識.此處考慮增加一個條件集合D，其中的元素為文獻資料中關于圓錐曲線的超越了課本知識的性質，即

第四類為性質條件，D={文獻資料中關于圓錐曲線的超越了課本知識的性質}.

創(chuàng)新變式命題制作方法：先選擇圓錐曲線的一些相關性質，然后將原題設條件與性質中的條件元素進行替換，形成新變式題.

本文仍從原命題出發(fā)進行創(chuàng)新變式命題制作，以下介紹集合D中幾個相關性質作為變式的條件或背景，以便變式命題的制作.

性質4[4]二次曲線上四個不同點A,B,C,D共圓的充要條件是這四點組成的四邊形兩對角線所在直線的傾斜角互補.

以下幾道變式題分別是性質2—性質4的變式應用：

變式16在直線l:x=m(m<0)任取一點M(m,n)，過點M分別作拋物線E:y2=4x的兩條切線，切點分別為A,B.

(1)證明：直線AB恒過定點E，并求出該定點坐標；

(3)直線l上是否存在點M(m,n)，使△MAB為等腰直角三角形，若存在，求出點M的坐標及相對應的△MAB的面積；若不存在，請說明理由.

將集合A、集合B、集合C和集合D中的知識與原命題條件更換，可以形成幾乎取之不盡的變式問題，值得注意的是，根據上述集合內元素知識替換形成的變式問題，具有探究性質，其真假性尚需進一步判斷.本文制作的變式問題，皆為真命題.