均值不等式問題特征對高三學生問題解法的遷移影響

張令偉 　連四清　郭艷蕊

(1.首都師范大學數學科學學院 100048；2.河北水利電力學院 061001)

1　問題提出

樣例在學生學習過程中的遷移作用，已有較多的研究．Gentner提出類比結構映射理論認為，學習樣例為學習者解決新問題提供了一個類比源，類比主要是對兩種情境所蘊含的結構和等級關系進行映射，只映射共同的內在關系而不包括具體事物的屬性[1]．Ross在樣例對遷移影響的研究中，把樣例信息分為表面內容信息與內在原理信息兩方面，表面內容是指問題所涉及的事物、形式、情節(jié)等具體內容，樣例的表面內容對新手解決問題有重要作用；內在原理是問題所包含的內在結構或關系，是解決問題的關鍵[2]．

樣例的表面內容對于新手解決問題的影響，已有大量的研究．Gick，Reed以及Holyoak和Koh等人的研究指出，樣例的表面內容只對提取有影響，尤其是對自發(fā)提取，一旦提取成功或找到合適的類比源，下一步的應用或者映射過程將不受表面內容的影響，而只是對問題的結構信息敏感[3-5]．Ross在一系列構思巧妙的實驗中，將表面內容進一步分離為表面概貌和對象對應兩個方面[6-7]；而莫雷，唐雪蜂在Ross的研究基礎上把表面概貌又進一步分離為事件屬性和事件類型[8-9]．前者以大學生為被試，概率原理問題為材料，系列地研究了樣例的表面內容對遷移的影響，研究指出：樣例的表面內容不僅在類比源的選取上起作用，而且也對匹配過程有影響；問題表面概貌的相似可以影響原理的通達，但對于原理的運用沒有影響；而對象對應主要影響原理的運用；在他的研究中表面概貌的變化，只限于事件屬性方面的變化[6-7]．后者以高一學生和大學一年級學生為被試，排列與組合應用題為材料，研究了樣例與問題在事件類型方面發(fā)生變化時，其表面概貌相似性對原理運用的影響．研究結果顯示：表面概貌在事件類型方面發(fā)生變化時，其表面概貌相似性對原理運用表現出明顯的影響[8-9]．莫雷，劉麗虹[10]也以高一中等生初學者為被試，三個概率原理為學習材料進一步探討了原理相同與否的情況下，樣例與新問題的表面內容的相似性對類比遷移的影響．

張令偉，連四清[11] [12]以高一初學學生和高二的熟悉學生為被試，以均值不等式為學習材料，探討了均值不等式的問題特征對其解題方法遷移的影響.實驗結果表明對于高一初學者來說，樣例和測題表面特征的不同相似關系對問題解決遷移成績有不同的影響．代數式類型表面特征的具體情節(jié)發(fā)生較大變化時，對問題解決方法的通達、提取和運用的遷移沒有影響；常數類型問題表面特征的具體情節(jié)發(fā)生較大變化時，不僅對問題解決方法的通達有影響，而且對方法的提取和運用也有影響，當被試學生類型不同時，影響也不同；對于高二熟悉學生來說，樣例與測試題的代數式類型表面特征相似性對解題方法的通達、提取和運用都沒有影響；常數類型表面特征對解題方法的通達有影響，且對提取和運用過程也有影響，且常數類型特征對不同類型的學生影響也不同.

從已有研究可以看到，多數樣例問題特征對問題解題遷移的研究涉及的數學學科知識較為廣泛，比如概率應用題，排列組合應用題，運動和工程問題以及均值不等式問題特征對解題遷移的影響的研究，但是被試大多是沒有學習過測試材料的學生，以及已經學習過學習材料的熟悉的學生作為被試時，而對“專家”學生作為被試樣例的問題特征對問題解決的遷移影響涉及較少．為此，研究者擬通過實驗，探討高三“專家”學生為被試時，均值不等式問題特征的不同相似關系對解題遷移的影響，從而為教師在面對“專家”學生進行教學時，選擇教學內容和教學方法方面提供實驗依據．

2　研究方法

2.1　實驗設計

本實驗采用2(代數式類型：整式與分式)×2(常數類型：常數等于1與常數不等于1)×3(學生類型：優(yōu)生、中等生、差生)三因素混合設計，其中代數式類型、常數類型為被試內變量，學生類型為被試間變量．研究變量為遷移成績．

2.2　被試

選擇邢臺市某中學的高中三年級兩個班的學生作為被試，被試均為重點班學生，共117名.根據各班的月考成績將每個班的學生分為學優(yōu)生、學中生、學差生三個類型.分類的依據是：把各班的月考平均分加減標準差得到區(qū)間分界分數，分數高于平均分加標準差的為學優(yōu)生，分數在平均分減標準差與平均分加標準差之間的為學中生，分數低于平均分減標準差的為學差生.在實驗過程中有學生沒有按要求進行實驗，如測試卷上不寫姓名，或遷移成績與月考成績出入很大，這些學生被試的數據在統(tǒng)計分析時被剔除.最后有108名學生被試的數據有效，男生60名，女生48名.

2.3　實驗材料

實驗材料包括學習材料和測試材料．學習材料由一個均值不等式公式和一道學習樣例題組成．學習樣例包括樣例問題的分析和樣例的詳細解答過程．測試材料由12道測試題組成，按已知條件代數式類型是整式與分式，常數類型等于1與不等于1分為四類題目，每類題目3道測試題．在測試材料試卷上給出所學原理的公式．為了消除題目的順序影響，本實驗測試材料采用拉丁方設計，共得到12套測試問卷．

2.4　實驗程序

讓被試學習十分鐘學習材料．發(fā)放測試材料，測試材料用35分鐘.統(tǒng)一收回測試卷.

2.5　數據的觀測方法

評分標準是滿分10分，答案完全不正確即不能遷移記0分；能使用“1”的代換的記5分；能正確去括號變形的記7分；能正確使用均值不等式公式記8分；能正確得出最小值記9分；能正確寫出取得最小值時a、b值的記10分．

3　實驗結果

對高中三年級均值不等式問題解決類比遷移成績進行2(代數式類型：整式與分式)×2(常數類型：常數等于1與常數不等于1)×3(學生類型：優(yōu)生、中等生、差生)重復測量方差分析.其中代數式類型、常數類型為被試內變量，學生類型為被試間變量.三種學生類型條件下，問題特征是代數式類型和常數類型的均值不等式問題解決類比遷移成績統(tǒng)計結果如下，表1是遷移成績的平均分和標準差的描述性統(tǒng)計結果，表中a1表示代數式為整式， a2表示代數式為分式，b1表示常數等于1，b2表示常數不等于1；表2是重復測量方差分析結果.

表1　高中三年級均值不等式問題解決類比遷移成績描述統(tǒng)計表

注：表1中的平均分是指每一類題的三道題總分的平均分.

從表1可以看出，與代數式類型比較，常數類型對均值不等式問題解決類比遷移成績有一定的影響.對于學中生和學差生，代數式類型相同情況下，常數等于1平均分都高于常數不等于1的平均分，這說明常數類型對學中生和學差生的遷移成績都有影響.而對于學優(yōu)生，代數式不管是在整式還是分式情況下，常數等于1與常數不等于1的平均分基本相等.這說明代數類型和常數類型對學優(yōu)生遷移成績沒有影響.

表2　高中三年級均值不等式問題解決類比遷移成績方差分析表

表2結果表明： 代數式類型的主效應不顯著(F= 0.002，P=0.965>0.05)，代數類型×學生類型交互效應不顯著(F= 0.663，P=0.517>0.05)，這說明代數式類型對遷移成績的影響不存在顯著的學生類型差異.常數類型的主效應顯著(F= 7.776，P=0.006<0.01)，這說明常數類型對遷移成績有非常顯著的影響.常數類型×學生類型交互效應顯著(F= 3.523，P=0.033<0.05)，這說明常數類型對遷移成績的影響存在顯著的學生類型差異.代數式類型×常數類型交互效應不顯著(F= 0，P=0.998>0.05).代數類型×常數類型×學生類型交互效應不顯著(F= 0.071，P=0.932>0.05).這說明代數式類型×常數類型交互效應不存在學生類型差異.

進一步對常數類型因素在學生類型的三個水平上做簡單效應檢驗結果：在學優(yōu)生水平上F=0.256，P=0.618>0.05；在學中生水平上F=2.428，P=0.124>0.05；在學差生水平上F= 10.639，P=0.002<0.01.這說明對于學優(yōu)生和學中生來說，常數類型因素對問題解決的類比遷移成績都沒有影響；而對于學差生來說，常數類型因素對問題解決的類比遷移成績有非常顯著影響.

常數類型與學生類型交互作用圖如圖3.

圖3　常數類型*學生類型交互作用圖

4　分析與討論

本實驗的目的是探討高中三年級不同類型的學生(專家學生)作為被試時，樣例與測題的問題代數式和常數特征相似性對問題解決的類比遷移成績的影響.實驗的基本設想是：代數式類型對問題解決的遷移成績沒有明顯影響，常數類型特征對問題解決的遷移成績有明顯的影響，常數類型方面的特征不同相似關系對不同類型的學生的的影響不同.

實驗結果表明：代數式類型的主效應不顯著，也就是代數式類型對遷移成績的影響不存在顯著的差異.這說明，無論何種代數類型并不影響方法的通達、提取和應用.這一結果與我們的預期基本一致.根據實驗結果，我們提出如下解釋：可能是被試在學習樣例之前，已經具有高度概括的解決樣例問題的解題圖式，在樣例學習時，能較準確、及時地激活已有的樣例問題的解題圖式，進而能迅速準確地把樣例和測題之間所蘊涵的關系和結構映射到新問題的解決中.

代數類型×學生類型交互效應不顯著，這說明代數式類型對遷移成績的影響不存在顯著的學生類型差異，也就是對于經驗豐富的熟悉者作為被試時，無論哪個類型的學生，在問題解決過程中，代數式的表面特征對問題解決方法的通達、選取和運用都沒有影響.

正如我們假設的那樣，對于經驗豐富的被試來說，常數類型的主效應顯著，也就是說常數類型對遷移成績有非常顯著的影響.這說明常數類型對解題方法的通達、提取和運用的過程有影響.其原因可能是：一方面可能是被試在學習樣例之前已經具有高度概括的解決樣例問題的解題圖式，即已有“1”的代換的解題圖式，在樣例學習時，能迅速、及時激活樣例問題的已有解題圖式，能揭露出樣例和測題表面特征隱蔽的相似性，順利地把樣例解題方法遷移到新問題的解決中；另一方面與實驗二的原因類似，可能是被試在學習樣例之前已經具有解決樣例問題的解題圖式，即已有“1”的代換的解題圖式，在樣例學習時，可能能及時激活樣例問題的已有解題圖式，或者不能及時激活，而是需要通過對樣例和測題表面特征的表層類比，當樣例和測題表面特征的具體情節(jié)變化較大時，需要被試揭露隱蔽條件看出表面特征的隱蔽的相似性，從而實現解題方法的遷移.

常數類型×學生類型交互效應顯著，這說明常數類型對遷移成績的影響存在顯著的學生類型差異.進一步簡單效應檢驗分析：在學優(yōu)生和學中生水平上，常數類型主效應都不顯著；在學差生水平上，常數類型主效應十分顯著.這說明對于學優(yōu)生和學中生來說，常數類型因素對問題解決的類比遷移成績都沒有影響；而對于學差生來說，常數類型因素對問題解決的類比遷移成績有非常顯著影響.這一結果與我們的預期基本一致.根據實驗結果，我們提出如下解釋：學優(yōu)生和學中生在解決測題時，能較準確、及時地激活已有的樣例的解題圖式，而抑制與解決測題無關的、表面的樣例的非本質的信息，使它們對解決測題不產生干擾，而樣例的表面信息在解決新問題時只起到“啟動”作用；而學差生在解決新問題時，能較準確、及時的激活已有的樣例的解題圖式，但他們在解決新問題時仍然受表面信息的影響，不能揭露新問題的表面特征的隱蔽條件，清晰地判斷出問題結構特征，從而導致問題解決失敗.

代數式類型×常數類型交互效應不顯著，這說明代數式類型和常數類型兩問題特征對問題解決方法遷移的影響沒有相互依存關系.代數類型×常數類型×學生類型交互效應不顯著，也就是說代數式類型×常數類型交互效應不存在學生類型差異.

5　實驗結論

當被試是專家學生時，代數式類型表面特征對解題方法的通達、提取和運用都沒有影響；常數類型表面特征對解題方法的通達有影響，且對提取和運用過程也有影響；常數類型特征對不同類型的學生影響也不同，對于學優(yōu)生和學中生來說，問題表面特征對問題解法遷移沒有影響，對于學差生有顯著影響.