讓“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”走進(jìn)中學(xué)課堂
——以對(duì)一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的再推廣為例

孫　彥

(安徽省安慶市教育教學(xué)研究室　246003)

當(dāng)前，我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)改革正在向縱深發(fā)展，新的課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，倡導(dǎo)學(xué)習(xí)的自主性、探究性.然而，在當(dāng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，為了應(yīng)對(duì)高考，教師在課堂上拼命講題，學(xué)生在課外拼命地刷題，當(dāng)我們講了一道道經(jīng)典的例題時(shí)，學(xué)生常常會(huì)問：“老師，這些結(jié)論是怎么得到的？”這不得不引起我們反思，我們的課堂教學(xué)，幾乎是用一種純演繹的模式去教會(huì)學(xué)生如何證明已有的結(jié)論，卻不能幫助學(xué)生去發(fā)現(xiàn)未知的結(jié)論.

我們知道，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程需要借助諸如猜測(cè)、歸納之類的思維活動(dòng)，在猜測(cè)、歸納的過程中，往往需要通過大量計(jì)算來(lái)完成，也正因?yàn)槿绱耍瑐鹘y(tǒng)的課堂教學(xué)較難組織“諸如猜測(cè)、歸納”之類的思維活動(dòng)，但在現(xiàn)代，隨著信息技術(shù)與教學(xué)內(nèi)容的整合，我們可以借助計(jì)算機(jī)和各種軟件，使數(shù)學(xué)探究也可與自然科學(xué)一樣，通過“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”讓學(xué)生去“發(fā)現(xiàn)”一個(gè)個(gè)結(jié)論，然后再去證明結(jié)論.這樣就可以變“被動(dòng)接受知識(shí)”為“主動(dòng)獲取知識(shí)”.因此，讓“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”走進(jìn)中學(xué)課堂十分必要.

本文利用《幾何畫板》數(shù)學(xué)軟件，以“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的手段， 通過對(duì)一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的實(shí)驗(yàn)性探究，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)和更多的結(jié)論.

1　問題的提出

在一次高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題輔導(dǎo)中，筆者首先向?qū)W生布置了如下一道題，并提前用《幾何畫板》數(shù)學(xué)軟件作好該題的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，供學(xué)生使用.

(Ⅰ)△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上； (Ⅱ)若∠APB=60°，求△PAB的面積.

注：①此題為2011年全國(guó)高中數(shù)聯(lián)賽復(fù)賽第11題.

②筆者在平時(shí)教學(xué)中已教會(huì)了學(xué)生《幾何畫板》的一些基本使用方法.

2　問題的探究

探究1證明方法的探究

筆者在觀察學(xué)生做第(Ⅰ)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有許多學(xué)生在嘗試求出△PAB的內(nèi)心坐標(biāo)，進(jìn)而求出內(nèi)心的軌跡，這種想法是合理的，但在實(shí)際操作時(shí)，由于求內(nèi)心坐標(biāo)的過程過于繁雜，學(xué)生思維在此受挫.

此時(shí)，教師讓一位同學(xué)在《幾何畫板》上拖動(dòng)直線l，觀察直線PA、PB斜率的變化，這時(shí)學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)“直線PA、PB的斜率始終互為相反數(shù)”(如圖1所示)，發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論后，問題就迎刃而解了.

圖1

待學(xué)生完成第(Ⅰ)題的證明之后，教師再利用《幾何畫板》數(shù)學(xué)軟件演示△PAB的內(nèi)切圓的圓心的軌跡的正確性時(shí)，及時(shí)向?qū)W生提出：“為什么軌跡會(huì)是兩條折線段呢？”(如圖2中粗線部分).

圖2

此時(shí)在演示的基礎(chǔ)上，學(xué)生不難得出如下結(jié)論：

如果我們把第(Ⅰ)題的結(jié)論記為結(jié)論Ⅰ，教師可再引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，探究△PAB的垂心、重心、外心的軌跡.

探究2△PAB的垂心軌跡的探究.

易知△PAB的垂心軌跡在過點(diǎn)P且垂直于AB的定直線上(如圖3所示).

圖3

探究3△PAB的重心軌跡的探究.

不難得到：△PAB的重心軌跡在一條定直線上(如圖4所示).

圖4

探究4△PAB的外心軌跡的探究.

不難得到：△PAB的外心在一條定直線上(如圖5所示).

探究2、3、4的證明，文[1]均給出，這里不再贅述.

圖5

探究5結(jié)論Ⅰ的逆命題的探究

為了進(jìn)一步探究結(jié)論Ⅰ的本質(zhì)，教師可向?qū)W生提出如下問題：

利用《幾何畫板》的計(jì)算和動(dòng)畫功能，教師在事先做好的課件上進(jìn)行演示性實(shí)驗(yàn)：

觀察演示變化結(jié)果，由此得出結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)是定點(diǎn)時(shí)，直線AB的斜率必是定值.

證明如下：

圖6

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，PA的斜率為k，則PB的斜率為-k.

則PA的方程為y-y0=k(x-x0)，

消去y并化簡(jiǎn)得

(a2k2+b2)x2-2a2k(kx0-y0)x+

a2(y0-kx0)2-a2b2=0，

探究6探究5的探究.

教師在事先做好的課件上再次進(jìn)行演示性實(shí)驗(yàn)，可得如下結(jié)論：

證明如下：

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，C(x3,y3),D(x4,y4)，AB與CD相交于點(diǎn)P(x0,y0)，AB的斜率為k.

圖7

(a2k2+b2)x2-2a2k(kx0-y0)x+

a2(y0-kx0)2-a2b2=0,

(1)

通過代入計(jì)算可得(1)式=0.

從而kAD=-kBC即AD與BC的斜率互為相反數(shù).

由上面的證明過程中的(1)式可看出：將C、D兩點(diǎn)橫坐標(biāo)x3、x4對(duì)調(diào)，結(jié)果不變，故對(duì)角線AC與BD的斜率也互為相反數(shù).

探究7探究5的再探究

受探究6的啟發(fā)，學(xué)生運(yùn)用《幾何畫板》的度量、計(jì)算和動(dòng)畫功能，繼續(xù)做實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

并證明如下：

設(shè)P(x0,y0)，AB的參數(shù)方程為：

其中t為參數(shù)，θ為直線AB的傾斜角.

所以|PA|·|PB|=|t1t2|

所以|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

注：①若四邊形ABCD的邊AD與BC相交于Q，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)N，可得：

|QD|·|QA|=|QC|·|QB|，

|NA|·|NC|=|NB|·|ND|.

②由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|易得：△PAD與△PCB相似且四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，因此，證明探究7中的結(jié)論時(shí)，也可先證明四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

3　問題的再探究

在師生通過“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的手段得出7個(gè)結(jié)論后，還應(yīng)該將探究從課內(nèi)延伸到課外.此時(shí)，教師可將相應(yīng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建好，并指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方式，繼續(xù)探究以上結(jié)論在圓、雙曲線、拋物線中是否也成立？進(jìn)一步，可向?qū)W生提出：能否利用《幾何畫板》強(qiáng)大的度量、計(jì)算和動(dòng)畫功能，去發(fā)現(xiàn)問題中與面積有關(guān)的結(jié)論？然后再將你“發(fā)現(xiàn)”的結(jié)論一一加以證明.

我們常說(shuō)，發(fā)現(xiàn)問題，能獲取新的知識(shí)，能推動(dòng)學(xué)科向前發(fā)展.所以，很多時(shí)候“發(fā)現(xiàn)問題”比“解決問題”更重要.在探究和發(fā)現(xiàn)問題的過程中，僅有演繹推理是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因?yàn)樵谔骄窟^程中常常需要“類比與歸納”，而合理的“類比與歸納”則往往需要大量的個(gè)例作為實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，因此，在中學(xué)課堂教學(xué)中引入“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)”是十分必要的.可以說(shuō)，有了“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)”的課堂教學(xué)，才是全面、優(yōu)質(zhì)高效的教學(xué).