Finsler-Hadwiger型不等式的再加強(qiáng)

李永利

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院　467000)

1　引言

1919年，Weitzenb?ck給出了如下不等式[1]：

定理1設(shè)a,b,c,△分別是△ABC的邊長與面積，則

1937年，F(xiàn)insler和Hadwiger建立了如下一個(gè)更強(qiáng)的不等式[2]：

定理2設(shè)a,b,c,△分別是△ABC的邊長與面積，則

(2)

匡繼昌教授在文[3]中總結(jié)了近年來對Weitzenb?ck不等式、Finsler-Hadwiger不等式的一系列研究成果，其中有

定理3[3]237設(shè)a,b,c,△,R,r分別是△ABC的邊長、面積、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則

(3)

最近，郭要紅、劉其右兩位老師在文[4]中對(3)式右端的不等式進(jìn)行了加強(qiáng)，得到

定理4設(shè)a,b,c,△,R,r分別是△ABC的邊長、面積、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則

∑a2-∑(a-b)2

(4)

受文[4]啟發(fā)，筆者對(3)式左端的不等式也進(jìn)行了加強(qiáng)，得到如下結(jié)果：

定理5設(shè)a,b,c,△,R,r分別是△ABC的邊長、面積、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則

∑a2-∑(a-b)2

(5)

2　兩個(gè)引理

為證明不等式(5)，先給出兩個(gè)引理．

引理1[3]244(Bottema基本不等式)設(shè)a,b,c,p,R,r分別是△ABC的邊長、半周長、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則

p2≤2R2+10Rr-r2+2(R-

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)成立．

引理2設(shè)a,b,c,p,R,r分別是△ABC的邊長、半周長、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則

(6)

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)成立．

事實(shí)上，上式等價(jià)于

?4R2(R2-2Rr)<(2R2-2Rr-r2)2

?4R4-8R3r<4R4+r4-8R3r+4Rr3

?r4+4R2r3>0.

而上式顯然成立，從而有

于是，由引理1、Euler不等式R≥2r和上式可知

故(6)式成立．由上述證明過程可知，(6)式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)成立．

3　結(jié)論證明

由文[4]定理的證明過程可知

利用引理2和Euler不等式R≥2r可知

由以上兩式可知(5)式成立．至此，定理5得證．

4　注記

注1由定理5和Euler不等式R≥2r可得如下不等式.

推論在定理5的條件下，有

∑a2-∑(a-b)2

(7)

注2顯然，引理2中得到的不等式(6)是Gerretsen不等式p2≤4R2+4Rr+3r2的加強(qiáng)．由(6)式和文[4]的引理2可得如下不等式鏈：

(8)

注3顯然(5)，(7)兩式是(3)式左端不等式的加強(qiáng)．由(5)式和文[4]的定理4可得如下強(qiáng)于(3)式的不等式鏈：

≤∑a2-∑(a-b)2

(9)