(湖南省湘潭江聲實驗學校)
本節(jié)課選自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》九年級下冊(以下統(tǒng)稱“教材”)第二十八章“銳角三角函數(shù)”第一節(jié)第1課時.
本節(jié)內(nèi)容是在學生學習了直角三角形中角與角、邊與邊之間的關(guān)系,以及函數(shù)、相似圖形等有關(guān)知識基礎(chǔ)上展開的,是對直角三角形中邊、角關(guān)系的進一步探究,也為后面學習解直角三角形、高中的三角函數(shù)等知識奠定基礎(chǔ).因此,確定本節(jié)課的教學重點為探索并認識銳角的正弦.
(1)會利用相似直角三角形探索并認識正弦的定義.
(2)會根據(jù)已知直角三角形的邊長求一個銳角的正弦值.
從銳角正弦概念的建立到運用,經(jīng)歷從特殊到一般的認識過程.培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力,提升學生直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).
九年級學生接受能力較強,具備了一定的數(shù)學探究能力和應(yīng)用數(shù)學的意識,但要得出在直角三角形中銳角與邊的比值之間的對應(yīng)關(guān)系還有一定困難.所以筆者將“探索并理解銳角的正弦”作為本節(jié)課的教學難點.
為了讓課堂引入有文化背景,借助視頻幫助學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.同時,為了使學生理解“在直角三角形中,當銳角α一定時,∠α的對邊與斜邊之比為一個固定值”這一結(jié)論,借助幾何畫板軟件來幫助學生直觀地理解.遵循“以學生為主體,教師為主導(dǎo),數(shù)學活動為主線”的指導(dǎo)思想,本節(jié)課主要采用啟發(fā)式教學和自主探究式的教學方法.通過學生的自主活動、主動探索、合作交流、動手操作等活動來構(gòu)建正弦的概念,從而達到認識正弦的目的.
課件展示意大利比薩斜塔的圖片,并通過一個小視頻來了解它的歷史.1350年斜塔建成時,塔身AB長54.5 m,塔身中心線AB與垂直中心線AC的夾角,即傾斜角為2.2°,塔頂中心點B到垂直中心線AC之間的距離為2.1 m.幾百年后,傾斜角增至5.5°.經(jīng)過多年的修繕,到2001年,傾斜角減至5°(如圖1).
圖1
問題1:此時,你能求出塔頂中心點到垂直中心線的距離嗎?
問題2:這個問題可以歸結(jié)為:在直角三角形中,已知什么?求什么?你能運用已有的知識求出BC的長度嗎?當∠A換成多少度時,你能求出BC的長?
【設(shè)計意圖】從章導(dǎo)圖開始入手引出課題,并通過實際生活中的具體事例,抽象出數(shù)學問題,體現(xiàn)數(shù)學建模思想,激發(fā)學生的求知欲.引導(dǎo)學生用從特殊到一般的方法去探索,從而培養(yǎng)學生提出問題和分析問題的能力.
說一說:
問題1:如圖2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,求BC的長.
圖2
問題2:在Rt△ABC中,∠C=90°,當∠A仍然為30°,Rt△ABC的大小發(fā)生變化時,∠A的對邊與斜邊的比值是多少?說明了什么?
【設(shè)計意圖】通過運用已學基礎(chǔ)知識建立新的數(shù)學模型(在直角三角形中,銳角A的對邊與斜邊的比為定值),并培養(yǎng)學生會說的能力.
做一做:分組完成以下學案中的活動部分,將計算結(jié)果填寫在表1中,并進行小組展示.
如圖3,點M在射線OA上,過點M作MN⊥OB,垂足為點N.
(1)若∠AOB=45°,在Rt△MON中,計算∠MON的對邊與斜邊的比;
(2)若∠AOB=60°,在Rt△MON中,計算∠MON的對邊與斜邊的比.
圖3
表1
問題:大家所畫的三角形大小一樣嗎?說明什么?
【設(shè)計意圖】在作圖的實際操作中,運用已學的基礎(chǔ)知識進行計算,并總結(jié)活動經(jīng)驗,從而引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)當∠O分別為45°和60°時,直角三角形中銳角O的對邊與斜邊的比為固定值.
猜一猜:根據(jù)以上活動的結(jié)果,你能做出怎樣的猜想?
【設(shè)計意圖】通過觀察表格中的數(shù)據(jù),培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力,引導(dǎo)學生從特殊到一般地進行猜想,得出“在直角三角形中,當∠O為任意一個確定的銳角時,它的對邊與斜邊的比為一個固定值”的猜想.
證一證:
(1)運用幾何畫板軟件進行驗證.
(2)如圖4,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′.求證:
【設(shè)計意圖】借助幾何畫板軟件的演示,幫助學生直觀地驗證猜想,提升學生直觀想象的素養(yǎng).強調(diào)其實質(zhì)就是對應(yīng)邊的比值為固定值.
定義:如圖5,在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA,即
圖5
判斷:(1)如圖6,在Rt△ABC中,∠C=90°.判斷下列式子是否正確.
圖6
圖7
(2)如圖7,在△ABC中,
試添加一個條件使第(2)題成立.
【設(shè)計意圖】通過一組辨析題,分析定義中關(guān)鍵詞的含義,加深學生對正弦概念的理解.
問題1:觀察表2,當∠A為30°,45°,60°時,sinA都有唯一的值與之對應(yīng).那么當∠A是任意一個確定的銳角時,這個結(jié)論是否仍然成立呢?
表2
運用幾何畫板軟件進行驗證.
問題2:sinA是否隨角度的變化而變化?
問題3:以上問題中自變量和因變量分別是什么?它們的取值范圍又分別是什么?
【設(shè)計意圖】通過使用列表法,并借助幾何畫板軟件使學生聯(lián)想到函數(shù)關(guān)系,從而提升數(shù)學建模的核心素養(yǎng),確定自變量、因變量的取值范圍,以及變化趨勢,加深對正弦定義的深刻理解.
例如圖8,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.
圖8
【設(shè)計意圖】利用數(shù)形結(jié)合思想,讓學生運用正弦的定義解決問題,并規(guī)范書寫格式.
變式:如圖9,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,求BC的長度.
圖9
【設(shè)計意圖】讓學生真正的掌握正弦定義,能從多角度思考問題,培養(yǎng)學生分析問題及對基礎(chǔ)知識的運用能力,并對后面學生的編題訓(xùn)練做了較好的輔墊.
問題:從前面兩道題的解題思路上你有什么發(fā)現(xiàn)?你能否改變條件或結(jié)論,運用直角邊、斜邊和正弦定義來編題嗎?期待大家的精彩呈現(xiàn).
編題環(huán)節(jié):(1)學生先獨立編題,并完成解題;(2)小組內(nèi)部交流,選出本組內(nèi)大家認為最有思維含量的題目;(3)小組展示,即每組派代表將題目板書在黑板上,充分激發(fā)學生的創(chuàng)新熱情;(4)小組評價,即其余小組對其進行評價;(5)大家任選一道題進行訓(xùn)練.
【設(shè)計意圖】通過編題環(huán)節(jié),將條件和結(jié)論互換,讓學生鞏固正弦概念.此環(huán)節(jié)采取啟發(fā)式教學,挖掘?qū)W生的潛能,培養(yǎng)了學生思維創(chuàng)新的能力.
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,各邊的長度都擴大兩倍,那么∠A的正弦值( ).
(A)擴大兩倍 (B)縮小到一半
(C)沒有變化 (D)不能確定
(2)如圖10,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.
圖10
圖11
(3)如圖11,在平面直角坐標系內(nèi)有一點連接OP,則OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值為_________.
(4)意大利從1999年起對比薩斜塔進行維修糾偏,2001年竣工,此時塔頂中心線偏離垂直中心線的角度減小為5°(如圖12),此時塔頂中心點偏離垂直中心線的距離為______(sin5≈0.09).
圖12
【設(shè)計意圖】第(1)(2)題鞏固正弦定義;第(3)題構(gòu)造直角三角形解決問題,理解當角度確定時,其正弦值為固定值;第(4)題與引入情境前后呼應(yīng),解決實際問題.
本節(jié)課你學到了哪些知識點?思想方法上又有什么收獲?
【設(shè)計意圖】學生通過自我歸納,總結(jié)經(jīng)驗,理清知識脈絡(luò),形成知識體系.
如圖13,在△ABC中,已知∠A=45°,AB=4,求sinA和sinB的值.
圖13
【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學生構(gòu)造直角三角形,以及綜合運用所學知識求正弦值,讓學生有突破的意識,經(jīng)歷困惑、思考、解決問題的過程,從而把這種迎難而上的精神應(yīng)用到今后的學習和生活中去.
課外鏈接:觀看微視頻“正弦的由來”.
必做題:教材第64頁第1,2題.
選做題:教材第85頁第14題.
【設(shè)計意圖】通過微視頻“正弦的由來”介紹數(shù)學文化,使學生了解正弦在人類文明發(fā)展中的作用.分層布置作業(yè),其中,必做題為基礎(chǔ)內(nèi)容,大部分學生能獨立完成;選做題與高中知識相聯(lián)系,引領(lǐng)學生進一步自主學習和探究.
本節(jié)課是一節(jié)概念教學課,教學設(shè)計遵循“以學生為主體,以教師為主導(dǎo)”的指導(dǎo)思想,讓學生經(jīng)歷“探究—交流—猜想—驗證—證明—運用”的探索過程,從而引領(lǐng)學生去感受知識發(fā)生、發(fā)展過程的合理性,領(lǐng)悟?qū)W習數(shù)學的思維方式.本節(jié)課的設(shè)計符合學生的認知規(guī)律,收效較好.
本節(jié)課在設(shè)計過程中還存在以下不足:(1)導(dǎo)入部分的挖掘還沒有到位,沒有達到育人的高度.(2)在“拓展延伸,發(fā)散思維”環(huán)節(jié),一是沒有引導(dǎo)學生思考為什么要這樣去構(gòu)造輔助線;二是沒有將題目的設(shè)計回歸到圓上去,沒有與高中的知識直接聯(lián)系起來.筆者在今后的教育教學過程中會努力改正上述問題.
[1]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)[M].北京:北京師范大學出版社,2012.
[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》解讀[M].北京:北京師范大學出版社,2012.