基于貝葉斯推斷的巨災債券定價研究

展 凱,丁 冬

(廣東外語外貿(mào)大學 金融學院,廣東 廣州 510006)

一、引言

我國是一個巨災災害頻發(fā)的國家,頻發(fā)的巨災不單嚴重影響人們的生活,也會對我國的經(jīng)濟發(fā)展造成不利影響。面對巨災災害,目前國內(nèi)的應對方式較為單一,僅限于政府救助和社會捐贈。政府救助對政府財政的依賴性較強,社會捐贈則存在較大的不確定性。長期來看,這兩種方式都不具有可持續(xù)性。因此,急需其他有效的途徑來轉(zhuǎn)移和分散巨災風險。

20世紀90年代,保險連接證券的出現(xiàn)提供了這樣一種轉(zhuǎn)移和分散巨災風險的有效途徑。保險連接證券連接了保險和證券兩個市場,通過金融有價證券將保險市場的風險轉(zhuǎn)移到證券市場,極大地分散了風險[1]。在眾多保險連接證券產(chǎn)品中,巨災債券是應用最為成功也是最為廣泛的產(chǎn)品之一。其已有的成功發(fā)行經(jīng)驗加上我國國內(nèi)對分散和轉(zhuǎn)移巨災風險的巨大需求,使得在我國發(fā)行巨災債券具有較大的可行性。

巨災債券的成功發(fā)行離不開對其準確定價,而準確定價的關(guān)鍵又在于對巨災損失分布能否進行可靠地計量?，F(xiàn)有文獻多采用損失分布法來對損失頻數(shù)分布和損失強度分布進行參數(shù)估計,由此得出總損失分布模型,但由于巨災損失“低頻高損”的特征,具有鮮明的厚尾性,直接根據(jù)歷史數(shù)據(jù)建立的損失分布模型擬合效果并不理想[2]。此外,由于巨災發(fā)生頻率低,樣本數(shù)據(jù)少,屬于小樣本數(shù)據(jù),在小樣本情況下估計損失分布模型會影響其準確性和有效性。

針對以上兩個問題,本文采用貝葉斯推斷來估計損失頻數(shù)分布和損失強度分布。一方面,與直接采用歷史數(shù)據(jù)進行擬合相比,貝葉斯推斷通過樣本信息對先驗分布進行調(diào)整,可以得到更符合實際的后驗分布。另一方面,貝葉斯推斷可以很好地解決小樣本情況下數(shù)據(jù)匱乏的問題[3]。

關(guān)于巨災對象的選擇,我們選取廣東省臺風災害作為研究對象。我國是世界上受臺風影響最嚴重的國家之一,而廣東省又是我國受臺風影響最嚴重的省份。因此,以廣東省臺風災害為研究對象具有一定的典型性。

基于此,本文收集廣東省1951—2013年間臺風登陸次數(shù)數(shù)據(jù)和1983—2013年間的臺風損失強度數(shù)據(jù),先采用貝葉斯推斷方法進行損失頻數(shù)分布和損失強度分布的擬合,再通過蒙特卡洛模擬方法估計出總損失分布模型,最后運用債券定價公式對廣東省臺風巨災債券定價。

二、基本方法

(一)貝葉斯推斷

貝葉斯推斷的基本方法:將關(guān)于未知參數(shù)的先驗信息和樣本信息綜合,根據(jù)貝葉斯定理得出后驗信息,然后再根據(jù)后驗信息推斷出未知參數(shù)(見圖1)。

圖1 貝葉斯推斷的基本方法

(二)共軛先驗分布

如何確定先驗分布是在貝葉斯推斷中首要解決的問題。確定先驗分布的方法有多種,采用較多的是共軛先驗分布。利用共軛先驗分布不僅計算方便,而且后驗分布的一些參數(shù)可以得到很好的解釋。

常用的共軛先驗分布如表1所示。

表1 常用共軛先驗分布

(三)超參數(shù)確定的先驗矩法

先驗分布中所含的未知參數(shù)稱為超參數(shù),超參數(shù)的確定可以利用先驗矩法[4]。

首先根據(jù)先驗信息得到θ的若干個估計值,記為θ1,θ2,…,θk,一般它們是由歷史數(shù)據(jù)整理加工獲得,由此可以計算出先驗均值和先驗方差,其中:

然后令其分別等于先驗分布的期望與方差,可得到超參數(shù)的估計值。

(四)損失頻數(shù)的共軛分布

假定損失頻數(shù)服從Poisson分布,Poisson分布P(λ)均值λ的共軛先驗分布為Gamma分布Ga(α,μ)(見表1),取λ的先驗分布為Gamma分布[5]。

根據(jù)以往歷史數(shù)據(jù)整理加工得出平均每年損失發(fā)生頻數(shù)λ1,λ2,…,λk,利用先驗矩法確定先驗分布的超參數(shù)α,μ。

設(shè)x1,x2,…,xn是來自Poisson分布P(λ)的一組樣本觀測值,據(jù)貝葉斯公式可知,后驗分布服 從,后 驗參數(shù)分別為

采用平方損失函數(shù),取后驗均值為參數(shù)λ的貝葉斯估計,則λ的貝葉斯估計值。

(五)損失強度的共軛分布

假定損失強度服從對數(shù)正態(tài)分布,即損失強度取對數(shù)后服從正態(tài)分布N(μ,σ2),當正態(tài)分布參數(shù)μ,σ2未知時,μ,σ2的聯(lián)合共軛分布為正態(tài)—倒Gamma分布N-IGa,取μ,σ2的先驗分布為正態(tài)—倒Gamma分布[6]。

根據(jù)歷史數(shù)據(jù)整理加工得正態(tài)分布均值μ和σ2的估計值分別為μ1,μ2,…,μk和,利用先驗矩法確定先驗分布的超參數(shù)μ0,v0,σ0。

設(shè)x1,x2,…,xn(取對數(shù)后)是來自正態(tài)分布N(μ,σ2)的一組樣本觀測值,據(jù)貝葉斯公式可知,后驗分布仍為正態(tài)—倒Gamma分布N,后驗參數(shù)分別為

采用平方損失函數(shù),可得到μ的后驗均值為μn,σ2的后驗均值為。

三、實證分析

(一)數(shù)據(jù)選取

本文選取1951-2013年間(其中1956與1977這兩年沒有相關(guān)記載)在廣東省登陸并造成損失的臺風次數(shù)作為損失頻數(shù)的樣本數(shù)據(jù),在此63年內(nèi)記載共有109次臺風對廣東省造成經(jīng)濟損失。選取1983—2013年間登陸廣東省的臺風對廣東省造成的經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)作為損失強度的樣本數(shù)據(jù),用廣東省1983—2013年的CPI定基指數(shù)(1983=100)對損失數(shù)據(jù)進行調(diào)整,剔除了直接經(jīng)濟損失低于1億元的樣本數(shù)據(jù)后,合計共62個樣本。

運用貝葉斯方法需要確定先驗信息和樣本信息。本文將2000年以前(包含2000年)的損失頻數(shù)和損失強度數(shù)據(jù)作為先驗信息,將2001—2013年的數(shù)據(jù)作為樣本信息。先通過先驗信息分別計算出損失頻數(shù)和損失強度的先驗分布,再結(jié)合樣本信息得出后驗分布。

(二)損失頻數(shù)分布估計

設(shè)臺風損失頻數(shù)ξ服從Poisson分布P,ξ的均值,參數(shù)λ的共軛先驗分布為Gamma分布Gaα(,μ)。

1.Gamma分布Gaα(,μ)中超參數(shù)的確定

首先對1951—2000年這50年間(1956、1977年這兩年數(shù)據(jù)缺失)的損失頻數(shù)進行間隔為5的移動平均,得到參數(shù)λ的44個估計值λ1,,進而得到先驗均值,先驗方差。利用先驗矩法,令分別等于Gamma分布的均值和方差,即

將代入,得出

2.Poisson分布P(λ)參數(shù)λ的貝葉斯估計

利用2001—2013年這13年的30次損失事件,結(jié)合λ先驗分布的信息,得到參數(shù)λ的后驗分 布,其 中t=30,n=13,后驗均值為。采用平方損失函數(shù),參數(shù)的貝葉斯估計為后驗均值,即2.130 5。于是,廣東省臺風損失頻數(shù)服從Poisson分布P(2.130 5)。

(三)損失強度分布估計

設(shè)臺風損失強度服從對數(shù)正態(tài)分布,即臺風損失強度取對數(shù)后服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。正態(tài)分布中參數(shù)μ,σ2的聯(lián)合共軛分布為正態(tài)—倒Gamma分布。

1.正態(tài)—倒Gamma分布N-IGa中超參數(shù)的確定

將1983—2000年的34個損失金額(取對數(shù)后)作為先驗數(shù)據(jù),對其進行間隔為5的移動平均,得到正態(tài)分布均值μ的30個估計值μ1,,進而得到μ的先驗均值,先驗方差。類似地,得到σ2的30個估計值,,進一步得到σ2的先驗方差。利用先驗矩法,令分別等于μ的邊際分布的均值和方差，等于σ2的邊際分布倒Gamma分布的方差,即

將和代入,得=0.457 1。因此得到正態(tài)分布的均值μ和方差σ2的聯(lián)合先驗正態(tài)—倒Gamma分布NIGa(2.705 6,5.068 4,0.208 9)。

2.正態(tài)分布N(μ,σ2)參數(shù)μ,σ2的貝葉斯估計

結(jié)合2001—2013年這13年30次損失時間,得到后驗分布,其中μ的后驗均值為μn=2.744 9,σ2的后驗均值為,采用平方損失函數(shù),得參數(shù)μ,σ2的貝葉斯估計,。于是,廣東省臺風損失強度服從對數(shù)正態(tài)分布LN(2.744 9,2.267 3)。

(四)蒙特卡洛模擬法設(shè)計

理論上已知損失頻數(shù)和損失強度的分布,便可求出總損失的復合分布,但一方面采用非壽險精算方法直接計算涉及的卷積公式過于復雜,計算較為困難;另一方面原樣本數(shù)據(jù)較少,直接進行總損失分布模型的擬合會存在較大的誤差。因此,基于計算簡便性和估計準確性的考慮,我們采用蒙特卡洛模擬法,先擴大樣本容量,再對擴容后的樣本數(shù)據(jù)進行擬合,得出較為精確的總損失分布模型。

具體過程如下:首先模擬生成服從損失頻數(shù)分布的隨機數(shù),再根據(jù)隨機數(shù)的值模擬生成與之相匹配的服從損失強度分布的隨機數(shù),將所得損失強度的隨機數(shù)加總便得到總損失的值,重復上述步驟就可以得到每個損失頻數(shù)隨機數(shù)下的總損失的值。

本文利用excel軟件對損失頻數(shù)進行一次隨機模擬,得到的損失頻數(shù)為4,然后對損失強度進行4次隨機模擬,得到:s1=12.646,s2=21.971,s3=88.689,s4=24.993,將4個損失強度數(shù)據(jù)相加得到一個總損失S=148.299。

將上述步驟重復1 000次,可以得到1 000個總損失的可能取值。利用這1 000個可能取值,估計出臺風災害的總損失分布情況。

(五)總損失分布模型擬合

通過上述蒙特卡洛模擬法得到1 000個總損失值,為了模型的穩(wěn)定性,剔除小于1和大于1 000的值,剩余共有876個值,其主要統(tǒng)計量如表2所示。

表2 模擬樣本數(shù)據(jù)的主要統(tǒng)計量

由表2中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以知道,樣本數(shù)據(jù)的偏度為2.892 0,屬于高度正偏斜;峰度為13.807 0,說明峰的形狀比較尖,分布較為陡峭。可以看出,模擬的樣本數(shù)據(jù)符合巨災風險“低頻高損”的特點。

進行總損失分布模型擬合時,需要知道樣本數(shù)據(jù)服從哪種分布。本文選取國內(nèi)外相關(guān)研究使用較多的分布模型和其他典型的分布模型(如Beta分布、Burr分布、Gamma分布、Pareto分布、Logistic分布、Pearson分布、Normal分布、Weibull分布、Log-logistic分布、Lognormal分布、Log-Pearson分布等)作為備選分布,用蒙特卡洛模擬得到的876個樣本數(shù)據(jù)進行擬合,計算出各備選分布的參數(shù)值,再用已知參數(shù)值的備選分布對樣本數(shù)據(jù)進行擬合優(yōu)度檢驗,檢驗方法為常用的K-S檢驗、A-D檢驗和卡方檢驗。相關(guān)的檢驗統(tǒng)計量越小,說明擬合效果越好。按照統(tǒng)計量的大小從低到高進行升序排序,采用算術(shù)平均法計算出各備選分布的平均Rank,平均Rank最小的分布為最優(yōu)分布[7]。備選分布的擬合優(yōu)度檢驗結(jié)果如表3所示。

表3 備選分布擬合優(yōu)度檢驗結(jié)果

Pareto 2 0.021 41 4 0.788 73 3 6.628 3 2 3 Pearson 5 0.145 79 18 35.346 18 190.42 15 17 Pearson 5(3P) 0.048 33 13 4.381 5 12 30.293 12 12.33 Pearson 6 0.025 16 5 0.892 31 4 9.710 5 5 4.67 Pearson 6(4P) 0.017 83 1 4.461 1 13 N/A Weibull 0.042 11 11 4.242 4 11 20.435 9 10.33 Weibull(3P) 0.030 74 6 4.996 7 14 N/A

由表3我們可以知道,平均Rank最低的是Burr分布,再進一步觀察不同置信區(qū)間下的擬合情況(見表4),發(fā)現(xiàn)在K-S檢驗、A-D檢驗和卡方檢驗下,Burr都能通過檢驗。因此,Burr分布是備選分布中的最優(yōu)分布,估計參數(shù)為k=3.349 3,α=0.997 09,β=249.68。

表4 Burr分布具體檢驗情況

進一步檢驗Burr分布的擬合準確度,分別畫出Burr分布下樣本數(shù)據(jù)的PP圖、QQ圖、概率差圖和概率密度函數(shù)圖(見圖2),可以發(fā)現(xiàn):(1)PP圖和QQ圖中,樣本數(shù)據(jù)點基本集中在對角線附近;(2)概率差圖中,樣本數(shù)據(jù)點在零軸附近上下波動,且波動幅度較小;(3)概率密度函數(shù)圖中,估計的密度函數(shù)與頻率圖的擬合效果較好。

因此,廣東省臺風巨災風險的總損失分布為Burr分布:

其中k=3.349 3,α=0.997 09,β=249.68。

(六)廣東省臺風債券的設(shè)計

一般債券的構(gòu)成要素有期限、觸發(fā)條件、收益率、價格等。巨災債券作為債券的一種,也應由這些基本要素構(gòu)成,但考慮到巨災債券不同于一般的普通債券,巨災債券有其自身的特點,甚至不同類型的巨災也需要制定不同內(nèi)容的條款。因此,下面結(jié)合廣東省臺風災害的特點,確定各構(gòu)成要素的具體內(nèi)容,設(shè)計一款廣東省臺風巨災債券。

圖2 Burr分布圖示法檢驗

首先,期限結(jié)構(gòu)。債券的期限結(jié)構(gòu)一般分為單期和多期,具體選擇哪種期限結(jié)構(gòu)需要根據(jù)債券的標的來確定。臺風災害具有明顯的季節(jié)性特征,以廣東省為例,廣東省臺風的多發(fā)期為每年的7月至10月,因此,對于臺風巨災債券的期限選用一年期債券較為合適。

其次,觸發(fā)條件。巨災的發(fā)生會對某一地區(qū)造成巨大的損失,因此采用合理的觸發(fā)條件至關(guān)重要。巨災債券常用的觸發(fā)機制包括實際損失觸發(fā)機制、指數(shù)觸發(fā)機制和混合觸發(fā)機制等。臺風災害損失主要是在一定期間內(nèi)登陸的臺風對某一地區(qū)造成的直接經(jīng)濟損失,所以采用實際損失觸發(fā)機制比較合適。不同的債券類型有不同的觸發(fā)條件,根據(jù)總損失分布計算出觸發(fā)概率對應的觸發(fā)值(見表5),選取(154,0.2)、(247,0.1)、(361,0.05)三點分別作為本金保證型債券、本金50%保證型債券和本金全損型債券的觸發(fā)點[8]。

表5 總損失分布觸發(fā)概率對應的觸發(fā)點

接著,收益率。巨災債券作為一種特殊的債券,其觸發(fā)條件只與巨災造成的損失大小有關(guān),而與金融市場的波動無關(guān)。由于巨災債券與其他金融產(chǎn)品的相關(guān)系數(shù)低,導致其市場流動性差,因此與普通債券相比,巨災債券的投資者會要求高于普通債券的收益率。此外,不同觸發(fā)條件對應的收益率也有所不同。假定無風險收益率為4%,本金保證型債券、本金50%保證型債券和本金全損型債券的超額收益率分別為0%、4%和8%,總的預期收益率為4%、8%和12%。

最后,債券價格。根據(jù)零息債券的一般定價方法,臺風巨災債券的定價公式為:

其中,A為觸發(fā)事件發(fā)生時本金損失比率,F為100的債券面額,t為1年,r為預期收益率,P X＞x( )已由前述廣東省臺風災害損失概率分布函數(shù)確定。

根據(jù)上述定價公式,不同類型的臺風債券價格如下:

(1)本金保證型債券,票面利率r=4%,觸發(fā)點為(154,0.2)。

(2)本金50%保證型債券,票面利率r=8%,觸發(fā)點為(247,0.1)。

(3)本金全損型債券,票面利率r=12%,觸發(fā)點為(361,0.05)。

于是,本文選用觸發(fā)機制為實際損失觸發(fā)、面值為100元的一年期零息債券來設(shè)計廣東省臺風巨災債券,具體內(nèi)容如表6所示。

表6 廣東省臺風巨災債券具體條款

以本金50%保證型債券為例:投資者以87.70元購買債券面值為100元、本金保證比例為50%的廣東省臺風巨災債券,在一年內(nèi),若臺風災害對廣東省累計造成的損失達到或超過247億,則投資者在債券到期時只能獲得50元;若累計損失未達到247億,則投資者在債券到期時可獲得100元。

四、結(jié)論

本文收集廣東省臺風災害數(shù)據(jù)進行臺風巨災債券實證研究。首先,假定臺風損失頻數(shù)服從泊松分布、損失強度服從對數(shù)正態(tài)分布,運用貝葉斯推斷方法估計出兩個分布的參數(shù)值。其次,采用蒙特卡洛模擬法擴充樣本,對擴充后的樣本進行總損失分布模型擬合,發(fā)現(xiàn)Burr分布對總損失的擬合效果最好。接著,根據(jù)總損失分布選取(154,0.2)、(247,0.1)、(361,0.05)三點作為本金保證型、本金50%保證型和本金全損型三種債券的觸發(fā)條件,并分別給定4%、8%和12%的預期收益率。最后,按照債券定價公式計算出本金保證型、本金50%保證型和本金全損型三種債券的價格?？梢园l(fā)現(xiàn):債券價格隨著本金損失比例的上升而下降,也就是指債券價格隨著本金保障程度的降低而減少,說明收益與風險成正比,與實際情況相符。

貝葉斯推斷可以在損失數(shù)據(jù)有限的情況下,結(jié)合先驗信息進行統(tǒng)計推斷,實現(xiàn)對損失分布參數(shù)的有效估計,有效地解決了臺風損失數(shù)據(jù)不足對模型參數(shù)估計產(chǎn)生的影響[9]。另外,采用貝葉斯推斷進行分布估計還具有可持續(xù)性,先得出的后驗信息可以在今后作為先驗信息,再結(jié)合新的樣本信息,得到新的后驗分布。如此往復,對臺風損失分布的估計會不斷地改良和深化。

本文的不足之處有:在對先驗分布中的超參數(shù)進行估計時,只考慮了歷史數(shù)據(jù)和樣本數(shù)據(jù),沒有結(jié)合專家經(jīng)驗,這可能會對超參數(shù)的估計造成一定的偏差。今后可以加入專家經(jīng)驗進行參數(shù)估計,進一步提高參數(shù)的穩(wěn)定性。

[參考文獻]

[1]田玲.巨災風險債券運作模式與定價機理研究[M].武漢:武漢大學出版社,2009.

[2]韋勇鳳,李勇,巴曙松.基于貝葉斯推斷的巨災損失數(shù)據(jù)整合方法與建模[J].中國科學技術(shù)大學學報,2013(3):212-216.

[3]盧安文,任玉瓏,唐浩陽.基于貝葉斯推斷的操作風險度量模型研究[J].系統(tǒng)工程學報,2009(3):286-292.

[4]茆詩松,湯銀才.貝葉斯統(tǒng)計(第二版)[M].北京:中國統(tǒng)計出版社,2012.

[5]劉書霞,張新福,米海杰.基于貝葉斯估計的商業(yè)銀行操作風險計量與管理[J].現(xiàn)代管理科學,2009(4):117-119.

[6]高麗君,楊豐睿.基于貝葉斯推斷模型的中國商業(yè)銀行內(nèi)部欺詐研究[J].山東財政學院學報,2013(1):12-18.

[7]展凱,林石楷,黃偉群.農(nóng)業(yè)巨災風險債券化——基于POT模型的實證分析[J].南方金融,2016(5):85-94.

[8]施建祥,鄔云玲.我國巨災保險風險證券化研究——臺風災害債權(quán)的設(shè)計[J].金融研究,2006(5):103-112.

[9]陳倩.小樣本條件下操作風險度量中的參數(shù)估計研究[J].北京理工大學學報(社會科學版),2015(3):92-99.