貝葉斯統(tǒng)計(jì)中單參數(shù)后驗(yàn)分布的精確計(jì)算方法

黨 紅

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

1 引言

統(tǒng)計(jì)學(xué)界主要分為兩大學(xué)派：經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)派和貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)派，兩者的主要區(qū)別在于是否利用先驗(yàn)信息，主要分歧在于是否把總體中的未知參數(shù)看作是一個(gè)隨機(jī)變量。

近年來(lái)，貝葉斯統(tǒng)計(jì)思想在不同的領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，2017年薛玲余研究了貝葉斯估計(jì)在教育學(xué)中的應(yīng)用[1]，2017年鐘建軍等研究了貝葉斯統(tǒng)計(jì)在心理學(xué)上的應(yīng)用[2]，2018年張翠玲，譚鐵君研究了基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)推理的法庭證據(jù)評(píng)價(jià)[3]，2012年王彩鳳等研究了中國(guó)股市量?jī)r(jià)關(guān)系分析中的后驗(yàn)分布構(gòu)造與模擬[4]。貝葉斯統(tǒng)計(jì)中一切統(tǒng)計(jì)推斷都是基于后驗(yàn)分布來(lái)進(jìn)行的，所以后驗(yàn)分布的重要性不言而喻。

2 后驗(yàn)分布的計(jì)算方法

2.1 直接計(jì)算后驗(yàn)分布

在一個(gè)單參數(shù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中，設(shè)X～p（x|θ），在獲得樣本X后，參數(shù)θ的后驗(yàn)分布即為給定X=x條件下θ的條件分布，記為π（θ|x）

其中，p（x|θ）為樣本 X 對(duì)應(yīng)的總體分布，π（θ）為參數(shù)的先驗(yàn)分布。

當(dāng)已獲得樣本為X1，X2，…Xn時(shí)，可以利用似然函數(shù) L（x|θ）代替（1）式中的總體分布 p（x|θ）來(lái)計(jì)算后驗(yàn)分布，即

例 1 設(shè) X|θ～B（n，θ），參數(shù) θ服從均勻分布 U（0，1），求參數(shù) θ的后驗(yàn)分布[5]。

解：因?yàn)?X|θ～B（n，θ），則其概率分布為

參數(shù) θ的先驗(yàn)分布為 π（θ）=1，θ∈（0，1），故由后驗(yàn)分布

得到

即，參數(shù)θ的后驗(yàn)分布為貝塔分布Be（x+1，n-x+1）

2.2 由后驗(yàn)分布的核計(jì)算后驗(yàn)分布

式（3）中，p（x|θ）π（θ）即可作為后驗(yàn)分布 π（θ|x）的核，左端和右端兩式相差一個(gè)與參數(shù)θ無(wú)關(guān)的常數(shù)因子，將 p（x|θ）π（θ）正則化即可得到后驗(yàn)分布。

例 2 設(shè) X|θ～N（θ，σ2），其中 σ2已知而 θ未知，參數(shù) θ的先驗(yàn)分布為 N（μ，τ2），其中 μ 和 τ已知，求參數(shù)θ的后驗(yàn)分布[5]。

解：因?yàn)?X|θ～N（θ，σ2），則其概率密度為

參數(shù)θ的先驗(yàn)密度為

則參數(shù)θ的后驗(yàn)密度

然而，常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)分布是非常有限的，式（3）中后驗(yàn)分布的核在針對(duì)較為常見(jiàn)的分布時(shí)才便于計(jì)算。

上述兩種方法是僅有的針對(duì)單參數(shù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)模型的精確后驗(yàn)分布的計(jì)算方法。由于常見(jiàn)的分布十分有限，精確計(jì)算方法在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中具有局限性，這也是精確計(jì)算方法的主要缺點(diǎn)。

3 結(jié)束語(yǔ)

文章旨在為后驗(yàn)分布在實(shí)際應(yīng)用中的計(jì)算提供理論基礎(chǔ)，如果對(duì)后驗(yàn)分布計(jì)算中的要求精度不高的話，在后驗(yàn)分布計(jì)算方面還可以用利用R軟件[6]、SPSS軟件或Matlab軟件做輔助工具，更有利于簡(jiǎn)化貝葉斯統(tǒng)計(jì)中后驗(yàn)分布的計(jì)算，這也是后續(xù)研究過(guò)程中需要注意的方向。