數(shù)學(xué)抽象在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

魏菊

[摘 要] 作為核心素養(yǎng)的重要組成，數(shù)學(xué)抽象在高中數(shù)學(xué)中的滲透教育有著非常重要的意義. 文章從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，探討了數(shù)學(xué)抽象的基本概念和內(nèi)涵，并結(jié)合實(shí)例分析了課堂教學(xué)滲透數(shù)學(xué)抽象教育的具體操作.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)抽象；滲透教育

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成，新的課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)將其納入高中數(shù)學(xué)的培養(yǎng)目標(biāo)體系，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)予以充分關(guān)注. 誠然，數(shù)學(xué)學(xué)科賴以發(fā)展的基本思想就是抽象，而且數(shù)學(xué)抽象也正是理性思維產(chǎn)生并發(fā)展的基礎(chǔ)，它不僅是數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的反映，更是貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的整個(gè)過程. 研究數(shù)學(xué)抽象，并將其融入我們的數(shù)學(xué)教學(xué)有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義.

基本概念界定

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在研究那些抽象的東西，當(dāng)然這些東西也是源于人們周邊的世界，是被人為抽象出來的.

1. “抽象”的概念

要明確“數(shù)學(xué)抽象”的含義，我們先要了解“抽象”的含義. 所謂“抽象”，就是對(duì)眾多事物進(jìn)行研究，將那些非本質(zhì)的內(nèi)容剔除掉，進(jìn)而提煉抽取出本質(zhì)性的共同特征. 抽象是一種信息處理方式，其準(zhǔn)備工作是對(duì)比，沒有經(jīng)過對(duì)比就不能發(fā)掘事物之間共有的本質(zhì)特征，因此這些共有的本質(zhì)特征也就成為某類事物與其他事物進(jìn)行區(qū)分的關(guān)鍵因素. 總之，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行深層研究，并進(jìn)行抽象處理的過程其實(shí)就是概括、分離以及提純的過程.

2. “數(shù)學(xué)抽象”的概念及作用

從古至今，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家都有著這樣的共識(shí)：“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在研究那些抽象的東西.” 而數(shù)學(xué)層面的抽象還是一種非常特殊的抽象，它體現(xiàn)為，數(shù)學(xué)抽象所研究的對(duì)象是那些數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系，而且這些數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系可能是現(xiàn)實(shí)世界的，也可能是思維想象中的，而這些都在我們數(shù)學(xué)研究的范疇以內(nèi).

有關(guān)數(shù)學(xué)抽象的作用，東北師大的史寧中先生認(rèn)為，真正的知識(shí)應(yīng)該源于人們的感性體驗(yàn)，并通過直觀與抽象而形成，而且這種抽象活動(dòng)無法脫離人的思維活動(dòng)而存在.

在數(shù)學(xué)研究中，抽象應(yīng)該是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，人們只有具備相應(yīng)的抽象技能，他們才能從感性體驗(yàn)中獲知事物的本質(zhì)性特征，進(jìn)而將其發(fā)展為理性認(rèn)識(shí). 這不僅是一個(gè)知識(shí)的獲取過程，更是一個(gè)研究過程.事實(shí)上，這一過程并不局限于數(shù)學(xué)學(xué)科，在其他學(xué)科如物理、化學(xué)、生物等都有所體現(xiàn)，而且發(fā)揮著關(guān)鍵性的作用.

3. 數(shù)學(xué)抽象的基本階段

數(shù)學(xué)抽象有以下三個(gè)基本階段，即簡(jiǎn)約階段、符號(hào)階段和普適階段. 簡(jiǎn)約階段是研究者對(duì)事物本質(zhì)進(jìn)行把握，并將繁雜問題進(jìn)行簡(jiǎn)單化和條理化，以便能對(duì)其進(jìn)行清晰表達(dá)；符號(hào)階段是研究者將具體的內(nèi)容去掉，然后用概念、符號(hào)、圖形來對(duì)那些已經(jīng)簡(jiǎn)約化的事物進(jìn)行表征；普適階段是經(jīng)過假設(shè)和推理之后，有關(guān)法則、模型被建立起來，并能對(duì)某些具體事物進(jìn)行解釋.

課堂教學(xué)滲透數(shù)學(xué)抽象教育的實(shí)踐探索

1. 滲透數(shù)學(xué)抽象教育的基本立足點(diǎn)是概念教學(xué)

概念是一切知識(shí)的基礎(chǔ)所在，數(shù)學(xué)也不例外，而且數(shù)學(xué)概念還是數(shù)學(xué)思維的重要結(jié)晶. 學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念有兩種基本形式：其一是概念的形成，其二是概念的同化. 所謂“概念的形成”，即教師為學(xué)生提供一系列具體的例證，然后指導(dǎo)學(xué)生從這些事物中提煉出對(duì)應(yīng)的共同屬性，進(jìn)而將其加工為數(shù)學(xué)概念；所謂“概念的同化”，即教師直接以定義的方式向?qū)W生揭示有關(guān)概念，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生結(jié)合自身原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)對(duì)新學(xué)概念進(jìn)行理解. 可以發(fā)現(xiàn)，上述兩種活動(dòng)方式中的第一種正是強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象的一種體驗(yàn)，即讓學(xué)生通過實(shí)際化的抽象操作自主進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的概括.

高中數(shù)學(xué)中很多概念的形成都需要學(xué)生經(jīng)歷抽象操作來形成，比如導(dǎo)數(shù)的概念形成流程如圖1所示.

教學(xué)過程中，我們通過情境的創(chuàng)設(shè)，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合物理學(xué)習(xí)中的認(rèn)識(shí)來對(duì)情境進(jìn)行分析，從而實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)概念的抽象和認(rèn)識(shí). 這里必須強(qiáng)調(diào)的是，瞬時(shí)速度屬于物理學(xué)的知識(shí)體系，這是一個(gè)具體化的存在，而導(dǎo)數(shù)概念則是完全舍棄掉實(shí)體性的成分，僅僅著眼于數(shù)量上的有關(guān)特點(diǎn)，因此具有更加廣泛的意義，我們?cè)诮M織學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，必須幫助學(xué)生對(duì)這些處于核心地位的數(shù)學(xué)概念的形成進(jìn)行有效而充分的體驗(yàn). 在實(shí)際操作中，我們要從學(xué)生生活周邊出發(fā)，選擇他們最熟悉的典型事例，由此創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生能夠全方位地體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象的整個(gè)過程，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)抽象的整個(gè)套路進(jìn)行熟悉和理解，這樣的過程不僅有助于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象的操作，更能促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解和鞏固.

2. 滲透數(shù)學(xué)抽象教育需要關(guān)注數(shù)學(xué)思維方法教學(xué)

數(shù)學(xué)抽象是整個(gè)數(shù)學(xué)思維體系的基礎(chǔ)，它本身也是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，將數(shù)學(xué)抽象滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值也主要體現(xiàn)在學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維處理問題的過程之中. 因此，數(shù)學(xué)教師從宏觀層面積極關(guān)注數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)有助于學(xué)生系統(tǒng)化地對(duì)數(shù)學(xué)抽象的方法和原則進(jìn)行掌握，這也有助于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的提升，這必然會(huì)促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的技能水平一般體現(xiàn)在他們數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過程中，同時(shí)也體現(xiàn)在學(xué)生數(shù)學(xué)問題的處理過程之中，教師要不失時(shí)機(jī)地抓住各種機(jī)會(huì)對(duì)學(xué)生的抽象思維能力進(jìn)行培養(yǎng)，真正做到“過程教育”，并讓學(xué)生在親身經(jīng)歷與實(shí)際操作的過程中，不斷提升數(shù)學(xué)抽象的能力和技巧. 比如學(xué)生在處理某類數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過化歸的思維將其轉(zhuǎn)變?yōu)榱硗庖活悊栴}，由此實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，在這一過程中學(xué)生透過問題的表面現(xiàn)象，看到其不為人知的另外一面，這正是抽象思維的重要體現(xiàn).

例題：已知圓的方程為C：（x-3）2+（y-3）2=4和點(diǎn)A（1，1），現(xiàn)有圓上的任意一點(diǎn)M，在MA的延長(zhǎng)線上有點(diǎn)N，且滿足M，A之間的距離是N，A距離的兩倍，求解點(diǎn)N的軌跡方程.

這是一個(gè)解析幾何的問題，學(xué)生處理時(shí)要將其轉(zhuǎn)化為向量的問題，然后再通過向量知識(shí)的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)問題的輕松解決. 解題思路如下：如圖2所示，設(shè)點(diǎn)M為（x0，y0），點(diǎn)N為（x，y），則=（1-x0，1-y0），=（x-1，y-1）. 根據(jù)條件可得=2，因此有1-x0=2（x-1），1-y0=2（y-1），所以x0=-2x+3，y0=-2y+3；再考慮到點(diǎn)M本身就在圓C上，因此有（x0-3）2+（y0-3）2=4，將上述相關(guān)坐標(biāo)代入該方程，可得點(diǎn)N的軌跡方程為x2+y2=1.

3. 滲透數(shù)學(xué)抽象教育要彰顯數(shù)學(xué)獨(dú)有的魅力

教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的目光來研究身邊的事物，事實(shí)上數(shù)學(xué)問題就發(fā)生在我們的身邊，教師在教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生從生活中選取素材，將數(shù)學(xué)問題抽象出來，并啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步揭示具體事物與抽象知識(shí)之間的聯(lián)系，如此則能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解，同時(shí)還能提升他們的問題解決能力.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地培養(yǎng)和保護(hù)學(xué)生的直覺思維，為此我們可以從數(shù)學(xué)發(fā)展史中搜集一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)抽象故事，將其呈現(xiàn)在課堂上，從而彰顯數(shù)學(xué)生動(dòng)而智慧的魅力. 比如哥尼斯堡的七橋問題，牛頓與萊布尼茨的微積分發(fā)明權(quán)之爭(zhēng)，笛卡爾與坐標(biāo)系等等，我們將數(shù)學(xué)家進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的事例展示出來，通過故事讓學(xué)生深切感受到數(shù)學(xué)抽象正是數(shù)學(xué)的優(yōu)勢(shì)和長(zhǎng)處，由此抽象將不再是學(xué)生畏懼?jǐn)?shù)學(xué)的原因，它將逐漸演變?yōu)閿?shù)學(xué)獨(dú)特的美感，這在一定程度上也將改變數(shù)學(xué)枯燥、乏味、難學(xué)的表面現(xiàn)象，讓學(xué)生真正愛上數(shù)學(xué)抽象，愛上數(shù)學(xué).

作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成，數(shù)學(xué)抽象是一種文化素養(yǎng)，有關(guān)它的教育同時(shí)也是一種文化教育. 數(shù)學(xué)抽象能力的養(yǎng)成并非是一朝一夕即可實(shí)現(xiàn)，這需要廣大同仁在教學(xué)中充分的重視以及持之以恒的堅(jiān)持，因此我們?cè)诮虒W(xué)中要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)不僅有著一系列抽象知識(shí)，更蘊(yùn)含著豐富的方法、文化與思想，甚至還包含精神與態(tài)度，這些都需要學(xué)生用心來感受和體驗(yàn).