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    例談構(gòu)造函數(shù)妙解不等式問(wèn)題

    2018-05-21 09:16:32李永永
    關(guān)鍵詞:構(gòu)造函數(shù)不等式導(dǎo)數(shù)

    李永永

    [摘 要] 不等式和函數(shù)是高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容,導(dǎo)數(shù)又是解決函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要工具,在一些不等式問(wèn)題中,若可以依據(jù)解決問(wèn)題的需要恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù),并借助導(dǎo)數(shù)來(lái)處理,定能節(jié)約時(shí)間,事半功倍.

    [關(guān)鍵詞] 不等式;構(gòu)造函數(shù);導(dǎo)數(shù)

    導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要工具,如:求函數(shù)的切線、單調(diào)區(qū)間、最值等,學(xué)生只要掌握基本方法和思路,這些問(wèn)題便可順利解決. 而一些與函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題,則需要根據(jù)所給不等式的特點(diǎn)靈活地運(yùn)用化歸思想將之轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題,較為常見(jiàn)的手段是恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù),將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理,從而使得原本棘手的問(wèn)題迎刃而解,給人一種技高一籌的美感.讓我們先從簡(jiǎn)單的入手:

    證明不等式

    例1 求證:當(dāng)x>-1時(shí),恒有:1-≤ln(x+1)≤x成立.

    分析:由于在目標(biāo)式中出現(xiàn)兩次x+1,因此通過(guò)換元令t=x+1,則t>0.

    要證1-≤ln(x+1)≤x,即證1-≤lnt≤t-1.

    構(gòu)造函數(shù)f(t)=1--lnt(t>0),則f ′(t)=-=.

    令f ′(t)=0,則t=1.

    當(dāng)00;當(dāng)t>1時(shí),f ′(t)<0.

    從而f(t)在t∈(0,1)上為增函數(shù),在t∈(1,+∞)上為減函數(shù).

    故f(t)有最大值f(1)=0. 所以f(t)≤f(1)=0,即1-≤lnt.

    令g(t)=lnt-t+1,則g′(t)=-1=.

    令g′(t)=0,則t=1. 同理,可知g(t)在t∈(0,1)上為增函數(shù),在t∈(1,+∞)上為減函數(shù).

    故g(t)≤g(1)=0,即lnt≤t-1. 因此原不等式成立.

    點(diǎn)評(píng):在此類題的分析過(guò)程中,需要牢牢抓住目標(biāo)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn):一般地,要證明f(x)≤g(x),x∈(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),x∈(a,b),利用導(dǎo)數(shù)給出單調(diào)性,求出最大值h(x)max,只要得出h(x)max≤0,便可證得f(x)≤g(x). 其他的,要證f(x)≥g(x),f(x)g(x),方法類似.

    例2 求證:當(dāng)a≥1且x>0時(shí),aex-x2>1+x.

    證:令f(x)=aex-x2-x-1(x>0),則f ′(x)=aex-x-1.

    令g(x)=f ′(x),則g′(x)=aex-1. 因?yàn)閍≥1,且x>0,所以aex>1,所以g′(x)>0.

    故g(x)在x∈(0,+∞)上為增函數(shù),所以g(x)>g(0)=a-1≥0,即f ′(x)>0.

    故f(x)在x∈(0,+∞)上為增函數(shù).?搖所以f(x)>f(0)=a-1≥0,即f(x)>0.

    因此aex-x2-x-1>0,即aex-x2>1+x.

    點(diǎn)評(píng):例2與例1的區(qū)別在于:構(gòu)造函數(shù)后,需要利用導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性. 當(dāng)然了,這兩個(gè)例子都是根據(jù)不等式的特點(diǎn)直接構(gòu)造,命題人不會(huì)總出思路這么明顯的問(wèn)題.那么,在哪些問(wèn)題中,命題者可以把構(gòu)造函數(shù)的思路變得不那么明顯呢?大家可以跟著筆者一起來(lái)看下一個(gè)例子.

    求不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍

    例3 已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2-bx(b為常數(shù)). 若b>1,對(duì)于區(qū)間[1,2]內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)成立,求b的取值范圍.

    分析:因?yàn)閒(x)=lnx在x∈(0,+∞)上為增函數(shù),不妨設(shè)1≤x1

    則f(x1)g(x1)-g(x2),

    所以f(x2)-f(x1)>g(x1)-g(x2),所以f(x1)-f(x2)

    即f(x1)-g(x1)

    觀察不等式組,可以發(fā)現(xiàn)其中每個(gè)不等式左右的形式一致,所以可以將問(wèn)題化歸為兩個(gè)函數(shù)f(x)-g(x)與f(x)+g(x)單調(diào)性問(wèn)題處理.

    于是構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)=lnx-x2+bx,則F(x1)

    所以F(x)在x∈[1,2]上為增函數(shù),即F′(x)≥0對(duì)x∈[1,2]恒成立.

    整理并分離參數(shù),可得b≥x-,則b≥x-max

    因?yàn)閥=x-在x∈[1,2]上為增函數(shù),所以x-max=,所以b≥.

    同理令G(x)=f(x)+g(x)=lnx+x2-bx,可得b≤x+min.

    利用導(dǎo)數(shù)可知y=x+在x∈[1,2]上為增函數(shù),所以x+min=2,所以b≤2.

    綜上:≤b≤2.

    點(diǎn)評(píng):例3的解決思路是先對(duì)原不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換,在此基礎(chǔ)上靈活構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,化歸為與導(dǎo)函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題,然后進(jìn)行參變分離,將不等式恒成立問(wèn)題,化歸為函數(shù)最值問(wèn)題,從而得出參數(shù)b的取值范圍,可謂是峰回路轉(zhuǎn),柳暗花明.

    解決與不等式相關(guān)的數(shù)列綜合問(wèn)題

    例4 (2015南京、鹽城、徐州二模)?搖給定一個(gè)數(shù)列{an},在這個(gè)數(shù)列中,任取m(m≥3,m∈N*)項(xiàng),并且不改變它們?cè)跀?shù)列{an}中的先后次序,得到數(shù)列{an}的一個(gè)m階子數(shù)列. 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(n∈N*,a為常數(shù)),等差數(shù)列a2,a3,a6是數(shù)列{an}的一個(gè)3階子數(shù)列.

    (1)求a的值;

    (2)若等差數(shù)列b1,b2,…,bm是{an}的一個(gè)m(m≥3,m∈N*)階子數(shù)列,且b1=(k為常數(shù),k∈N*,k≥2),求證:m≤k+1;

    (3)若等比數(shù)列c1,c2,…,cm是{an}的一個(gè)m(m≥3,m∈N*)階子數(shù)列,求證:c1+c2+…+cm≤2-.

    分析:(1)(2)略.

    (3)看起來(lái)有難度,似乎無(wú)從下手.

    首先設(shè)c1=(t∈N*),等比數(shù)列c1,c2,…,cm的公比為q. 然后牢牢抓住目標(biāo)結(jié)構(gòu)特點(diǎn),左邊是等比數(shù)列前m項(xiàng)和的形式,要達(dá)到化簡(jiǎn)的目標(biāo),就需要得到公比q的值或取值范圍. 因此,在已設(shè)c1的前提下,利用特殊化思想,考察c2. 根據(jù)所給m階子數(shù)列的題設(shè),可知c2≤,所以q=≤.

    從而cn=c1qn-1≤n-1,1≤n≤m,n∈N*.

    所以c1+c2+…+cm≤0+·1+…+m-1==1-?搖=-與右邊2-形式類似.

    因此令x=,因?yàn)閠∈N*,所以1

    只要設(shè)f(x)=x-,m≥3,m∈N*,其中10,故函數(shù)f(x)在(1,2]上為增函數(shù). 所以f(x)≤2-. 由不等式的傳遞性,即有c1+c2+…+cm≤2-成立.

    點(diǎn)評(píng):此題以數(shù)列知識(shí)為背景,以等比數(shù)列前m項(xiàng)求和公式為突破口. 筆者認(rèn)為,在處理此類不等式問(wèn)題時(shí),首先需要從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā),將目標(biāo)形式進(jìn)行整理化簡(jiǎn);然后再設(shè)法構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性,從而得到結(jié)論.在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中,可以多關(guān)注歸納一些常見(jiàn)函數(shù)的構(gòu)造模型,以提高解決此類問(wèn)題的手段和能力.

    上面幾個(gè)具體的例子告訴我們,巧妙構(gòu)造函數(shù)解題是一種創(chuàng)造性的思維過(guò)程,技巧性很強(qiáng),很受命題人青睞. 很多時(shí)候,有些數(shù)學(xué)問(wèn)題直接處理難以入手,可以考慮通過(guò)化歸等價(jià)轉(zhuǎn)換,然后巧妙地構(gòu)造函數(shù),并運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具,使問(wèn)題迎刃而解,達(dá)到事半功倍的效果!

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