• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    一道三角形最值問題的解法賞析和思考

    2018-05-21 09:16:32田衛(wèi)東
    關(guān)鍵詞:解三角形數(shù)學(xué)方法一題多解

    田衛(wèi)東

    [摘 要] 在各類考試中,不乏會(huì)有一些典型的題目值得深入探究,教師要善于帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些題目,應(yīng)該讓每一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)試題發(fā)揮其最大的價(jià)值,讓每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都滲透著重要的數(shù)學(xué)思想方法,才能體現(xiàn)出高效的學(xué)習(xí)效率.

    [關(guān)鍵詞] :解三角形;正弦、余弦定理;數(shù)學(xué)方法;一題多解

    《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5》(人教社A版)第一章中明確指出:一般地,把三角形的三個(gè)內(nèi)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫作三角形的元素. 已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫作解三角形.解三角形問題一般分為兩類. 第一類,求三角形的邊長(zhǎng)或內(nèi)角的大??;第二類,求三角形的邊長(zhǎng)或內(nèi)角的取值范圍(包括最值),一般第二類問題難度往往更大些. 2017年我校第二次模擬考試中就出現(xiàn)了這樣一道題,下面將此題及其解答過(guò)程與各位讀者分享一下,希望在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)過(guò)程中對(duì)大家有所啟示和借鑒.

    試題呈現(xiàn)與簡(jiǎn)要分析

    題目:如圖1,在△ABC中,A=,BC=3,D是BC的一個(gè)三等分點(diǎn),則AD的最大值是_______.

    這是2017年河北省唐山市第二次模擬考試第16題,也是填空題的壓軸題,本題主要考查在三角形中運(yùn)用正弦、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化及三角函數(shù)的有關(guān)公式的運(yùn)用,利用求函數(shù)最值的各種數(shù)學(xué)方法求解三角形邊長(zhǎng)的最大值,同時(shí)考查學(xué)生的運(yùn)算求解、邏輯推理能力,數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 試題言簡(jiǎn)意賅,內(nèi)涵豐富,對(duì)學(xué)生能力要求較高,有較大的難度,是一道值得研究的優(yōu)秀模擬試題. 從學(xué)生答題結(jié)果看,正答率僅為2%左右,根據(jù)學(xué)生考后反饋情況,一部分學(xué)生沒有思路,放棄作答,大部分學(xué)生運(yùn)用正弦、余弦定理做到一半時(shí),無(wú)法繼續(xù)求解,然后考慮特殊三角形,即△ABC為正三角形時(shí),得到AD=的錯(cuò)誤結(jié)果. 另有極少數(shù)學(xué)生考慮到借助三角形的外接圓,運(yùn)用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題,只可惜計(jì)算有誤,著實(shí)令人可惜. 下面,我們從不同的角度對(duì)此題進(jìn)行分析和求解.

    思路分析及解法點(diǎn)評(píng)

    (一)“兩個(gè)定理”相得益彰,“三角函數(shù)”水到渠成

    思路1:欲求三角形邊長(zhǎng)的最值,可以考慮用正弦、余弦定理將邊長(zhǎng)用某個(gè)內(nèi)角的正弦或余弦值表示,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題. 為此,要選擇一個(gè)角作為變量.

    為說(shuō)明問題方便,令A(yù)D=t,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.

    解:如圖1,在△ACD中,由余弦定理得t2=b2+1-2bcosC①.

    在△ABC中,由正弦定理得=. 因?yàn)?=2,所以b=2sin+C②.

    將②代入①得t2=12sin2+C-4sin+CcosC+1③,整理得t2=4+2sin2C,顯然當(dāng)sin2C=1,即C=時(shí),t2的最大值為4+2,所以AD的最大值是+1.

    點(diǎn)評(píng):在三角形中將邊長(zhǎng)用角的正弦、余弦表示,應(yīng)屬通性通法,這種方法的特點(diǎn)是將代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的運(yùn)算,減少了思維量,降低問題的求解難度,是解題者比較喜歡的方式之一.題中所給的A=,BC=3為對(duì)角和對(duì)邊的關(guān)系,為進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化提供了有力保障. 此方法的難點(diǎn)在于③式的化簡(jiǎn)需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力,稍有不慎,便會(huì)前功盡棄,所以此解法對(duì)學(xué)生的三角函數(shù)運(yùn)算能力往往有比較高的要求.

    (二)“余弦定理”一枝獨(dú)秀,“三角換元”助力求解

    思路2:可借助∠ADB與∠ADC互補(bǔ),在△ABD和△ACD中分別使用余弦定理建立邊長(zhǎng)之間的關(guān)系,將b2-bc+c2=9進(jìn)行配方處理,借助圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角換元,從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.

    解:如圖1,在△ABC中,由余弦定理得b2-bc+c2=9①.

    同理,在△ABD中,得c2=t2+4-4tcos∠ADB②,在△ACD中,得b2=t2+1-2tcos∠ADC③.

    由②③得3t2=2b2+c2-6④,由b2-bc+c2=9可得b-+=9.

    設(shè)b-=3cosθ,=3sinθ,其中θ∈[0,2π).

    則3t2=2b2+c2-6=2(sinθ+3cosθ)2+12sin2θ-6=6sin2θ+12≤6+12,當(dāng)sin2θ=1時(shí),等號(hào)成立,所以t2≤4+2,t≤+1,即AD的最大值是+1.

    點(diǎn)評(píng):雖然此解法最終也是轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解,但它與思路1相比,存在明顯不同. 首先,本解法在三個(gè)三角形中分別利用余弦定理得到邊長(zhǎng)之間的關(guān)系,而思路1則是通過(guò)正弦定理和余弦定理直接得到了三角函數(shù)關(guān)系式;其次,本解法的難點(diǎn)也是亮點(diǎn)在于對(duì)b2-bc+c2=9進(jìn)行配方換元,它不同于普通的三角換元,讀者可以仔細(xì)加以比較,這種變形技巧在求解二元函數(shù)最值問題時(shí)比較常見.

    (三)“平面向量”當(dāng)仁不讓,“均值定理”彰顯威力

    思路3:在△ABC中,由于A=,b,c是變化量,可以用余弦定理得到邊長(zhǎng)a,b,c的等量關(guān)系,再借助向量的運(yùn)算,將AD也用b,c表示,從而轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的最值問題.

    解:如圖1,因?yàn)?+,所以2=2+·+2,即t2=①.

    在△ABC中,由余弦定理得b2-bc+c2=9②,由①②可得t2=,令u=∈(0,+∞),則t2==1+3=1+.

    所以t2≤1+=4+2,當(dāng)且僅當(dāng)u+1=,即u=-1時(shí),“=”成立,此時(shí)c=(-1)b. 可得AD的最大值是+1.

    點(diǎn)評(píng):向量,是溝通代數(shù)與幾何的橋梁,其中以數(shù)量積公式最為重要,平面向量的數(shù)量積公式包含了長(zhǎng)度和角度的運(yùn)算關(guān)系,在三角形中,經(jīng)常會(huì)運(yùn)用數(shù)量積公式進(jìn)行邊角之間的相互表示,題中D是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)是聯(lián)想到用向量求解的重要條件.本解法的另一個(gè)難點(diǎn)在于等式b2-bc+c2=9,常規(guī)想法是一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示,將t2轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)變量的函數(shù)式,顯然運(yùn)算量較大,考場(chǎng)上不宜實(shí)施. 將①②相結(jié)合,考慮到“齊二次”的結(jié)構(gòu),令u=,使得t2成為u的函數(shù)值,是本解法最大的亮點(diǎn),這種替換在求解二元函數(shù)最值時(shí)經(jīng)常用到,但需要存在“齊次”結(jié)構(gòu)這樣的特殊條件.若令v=u+1,運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)運(yùn)算量會(huì)更小些.

    (四)“解析幾何”錦上添花,“參數(shù)方程”化難為易

    思路4:考慮到條件中的A=,BC=3,容易聯(lián)想到△ABC的外接圓,即BC為圓的一條定弦,點(diǎn)A是該圓一段優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn). 為此,可建立平面直角坐標(biāo)系,求得外接圓方程后,再利用它的參數(shù)方程可建立t2的三角函數(shù)關(guān)系式,從而問題可解.

    解:在△ABC中,由正弦定理得=2R,其中R為△ABC的外接圓半徑,可解得R==. 如圖2,作出△ABC的外接圓,由題意可知BC為⊙O的弦,因?yàn)锳=,所以點(diǎn)A在⊙O的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng).

    如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則⊙O的方程為x2+y2=3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為,-,D是BC的一個(gè)三等分點(diǎn),且BC=3,所以D,-.

    設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(cosθ,sinθ),由兩點(diǎn)間距離公式可得AD2=-cosθ+--sinθ,整理得AD2=4-cosθ+3sinθ=4+2sinθ-,當(dāng)θ-=,即θ=時(shí),AD取得最大值+1.

    點(diǎn)評(píng):解三角形問題中經(jīng)常會(huì)將已知一邊的長(zhǎng)度及其對(duì)角大小作為條件,若與正弦定理結(jié)合,很容易知道該三角形與其外接圓之間的關(guān)系,并可求得外接圓半徑,點(diǎn)A在圓弧上運(yùn)動(dòng)為圓的參數(shù)方程的使用創(chuàng)造了條件. 經(jīng)了解,在本次考試中有幾個(gè)學(xué)生正是利用了這種辦法成功地破解此題,展示了較高的思維水平和解題能力. 毋庸置疑,解析法在求解三角形問題中應(yīng)該占有一席之地,在平時(shí)的訓(xùn)練考試中,應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力.

    (五)“平面幾何”揭示本質(zhì),“三點(diǎn)共線”方得始終

    思路5:見圖3,由于點(diǎn)D是定點(diǎn),而點(diǎn)A在圓周上運(yùn)動(dòng),可以多畫幾條線段,得到不同長(zhǎng)度的“AD”,直覺告訴我們,當(dāng)AD經(jīng)過(guò)圓心時(shí),AD或許最長(zhǎng),于是“兩邊之和大于第三邊”便成為此猜想正確的堅(jiān)實(shí)后盾.

    解:如圖3,由思路4可知,點(diǎn)A在⊙O的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng),由正弦定理計(jì)算出AO=R=,由勾股定理可得OD==1,顯然AD≤AO+OD=+1,所以當(dāng)A,O,D三點(diǎn)共線,即圖中A與A′重合時(shí),AD取得最大值+1.

    點(diǎn)評(píng):這“神來(lái)之筆”的解法令人嘆為觀止,可謂巧妙至極.原來(lái),這題的“老巢”在這里,既然如此,D點(diǎn)可以為四等分點(diǎn)、五等分點(diǎn)……. 所以,若將條件改為=λ,依思路5,問題照樣輕松求解,所以點(diǎn)D的位置并不是最重要的,關(guān)鍵在于A,O,D共線會(huì)使得AD取得最大值. 由此,只從單純的解題角度來(lái)說(shuō),學(xué)生掌握一定的平面幾何技能是非常有必要的,若從培養(yǎng)人的角度來(lái)說(shuō),向量的引入,本來(lái)就已經(jīng)淡化了學(xué)生邏輯推理和空間想象能力的培養(yǎng),而2017年考綱又刪掉了選修4-1平面幾何選講的內(nèi)容,這對(duì)于學(xué)生上述能力的培養(yǎng)來(lái)講是否也算得上一個(gè)小小的損失呢?筆者位卑言輕,只能一聲小小的嘆息罷了.

    若將A=改為A=,見圖4,顯然AD≥AO-OD=-1,當(dāng)且僅當(dāng)A,O,D三點(diǎn)共線,即A與A′重合時(shí),AD取得最小值-1.

    由此得到變式題:在△ABC中,A=,BC=3,D是BC的一個(gè)三等分點(diǎn),則AD的最小值是________.

    一點(diǎn)思考和感悟

    從整個(gè)分析及求解過(guò)程看,涉及了解三角形的有關(guān)定理、三角函數(shù)公式、均值不等式、圓的方程及其參數(shù)方程、平面幾何知識(shí)等知識(shí)運(yùn)用,不僅體現(xiàn)了各種數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,也體現(xiàn)了配方法、換元法、構(gòu)造法、解析法及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)方法、思想的運(yùn)用和滲透,雖然是一道模擬試題,但如果在試卷講評(píng)時(shí)處理得當(dāng),它的作用和價(jià)值會(huì)體現(xiàn)得更有意義,對(duì)于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)、靈活解題能力的加強(qiáng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高會(huì)起到非常大的作用. 當(dāng)下,各種教輔資料鋪天蓋地,數(shù)學(xué)題目五花八門,多做題、多刷題依舊充斥著整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程,學(xué)生和老師往往會(huì)陷入題目的泥塘之中不能自拔. 因此,怎樣解題,解什么樣的題,其實(shí)應(yīng)該成為教師認(rèn)真思考的主要問題. 眾所周知,在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,知識(shí)是基礎(chǔ),方法是關(guān)鍵,能力是核心. 高三的復(fù)習(xí)就必須在課堂教學(xué)中以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為主陣地,應(yīng)該讓每一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)試題發(fā)揮其最大的價(jià)值,讓每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都滲透著重要的數(shù)學(xué)思想方法,只有對(duì)典型問題多分析、多總結(jié)解題規(guī)律,做到一題多解、多題一解、一題多變,甚至要做到自己動(dòng)手編題,才能體現(xiàn)出高效的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)效率. 筆者個(gè)人并不否認(rèn)做題的重要性,但堅(jiān)決反對(duì)通過(guò)大量做題作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法,多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們,作為學(xué)生,當(dāng)他們考入了大學(xué),乃至參加工作后,回憶起高中最難忘的事情時(shí),沒有任何一位學(xué)生會(huì)想起有哪些數(shù)學(xué)題目讓他記憶猶新,但是他們往往會(huì)記得老師教給他們?yōu)槿说牡览恚鍪碌姆椒? 愛因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“所謂的教育,就是把在學(xué)校學(xué)到的知識(shí)忘掉,剩下的那部分才是教育”. 數(shù)學(xué)教育作為教育的組成部分,在發(fā)展和完善人類的教育活動(dòng)中、在形成人們認(rèn)識(shí)世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展的進(jìn)程中起著重要的作用. 而數(shù)學(xué)學(xué)科在形成人類理性思維和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用. 它是讓學(xué)生學(xué)會(huì)終身發(fā)展、終身學(xué)習(xí)的重要學(xué)科,它的抽象,會(huì)讓我們提高理解能力,它的嚴(yán)謹(jǐn),會(huì)讓我們做事情滴水不漏,細(xì)致入微,它的解法多樣,會(huì)讓我們從多個(gè)角度審視問題,理解人生和社會(huì),數(shù)學(xué)的魅力,大概就在于此.

    猜你喜歡
    解三角形數(shù)學(xué)方法一題多解
    數(shù)學(xué)方法在化學(xué)平衡學(xué)習(xí)中的重要應(yīng)用
    淺析數(shù)學(xué)方法在金融學(xué)中的應(yīng)用
    月牙肋岔管展開圖的數(shù)學(xué)方法解析
    解三角形的題型
    例析初中數(shù)學(xué)的多解問題
    一題多解的教學(xué)問題分析
    以解三角形為例研究高中數(shù)學(xué)新課程的變革方向
    考試周刊(2016年84期)2016-11-11 22:49:49
    高中數(shù)學(xué)“一題多解”的學(xué)習(xí)心得
    考試周刊(2016年78期)2016-10-12 13:13:51
    四川卷與全國(guó)卷試題對(duì)比之“解三角形”
    考試周刊(2016年50期)2016-07-12 13:11:52
    論簡(jiǎn)單估算數(shù)量級(jí)的數(shù)學(xué)方法
    狠狠婷婷综合久久久久久88av| 久久 成人 亚洲| 亚洲av欧美aⅴ国产| 岛国毛片在线播放| 制服诱惑二区| 一级片'在线观看视频| 亚洲欧美日韩高清在线视频 | 一二三四社区在线视频社区8| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 香蕉丝袜av| 人成视频在线观看免费观看| 久久久国产一区二区| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 搡老乐熟女国产| 亚洲一码二码三码区别大吗| 男人爽女人下面视频在线观看| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 久久久久视频综合| 精品一区二区三区四区五区乱码 | 免费高清在线观看视频在线观看| 国产在线视频一区二区| 人妻 亚洲 视频| 日本91视频免费播放| 国产爽快片一区二区三区| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 久久久久网色| 欧美日韩亚洲高清精品| 亚洲 国产 在线| 精品视频人人做人人爽| 国产高清不卡午夜福利| av福利片在线| 国产精品一区二区在线不卡| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 黄色 视频免费看| 欧美在线黄色| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 视频在线观看一区二区三区| 国产精品 国内视频| 在线观看国产h片| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 99热网站在线观看| e午夜精品久久久久久久| 国产一区二区在线观看av| 首页视频小说图片口味搜索 | 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 大片电影免费在线观看免费| 久久热在线av| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 国产男人的电影天堂91| 成年女人毛片免费观看观看9 | 一级a爱视频在线免费观看| 啦啦啦啦在线视频资源| 99热全是精品| 丰满饥渴人妻一区二区三| 中文字幕高清在线视频| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 青草久久国产| 最新的欧美精品一区二区| 黑丝袜美女国产一区| 一二三四社区在线视频社区8| 久久天堂一区二区三区四区| 免费在线观看影片大全网站 | 亚洲欧美色中文字幕在线| 亚洲,欧美精品.| 最近中文字幕2019免费版| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 午夜激情久久久久久久| 一本久久精品| 日本五十路高清| 欧美人与善性xxx| 51午夜福利影视在线观看| 亚洲人成电影免费在线| xxxhd国产人妻xxx| 97人妻天天添夜夜摸| 日韩制服丝袜自拍偷拍| 欧美av亚洲av综合av国产av| 午夜福利,免费看| 欧美成狂野欧美在线观看| √禁漫天堂资源中文www| 亚洲成人手机| 亚洲 国产 在线| 亚洲人成网站在线观看播放| 久久久亚洲精品成人影院| 少妇人妻久久综合中文| 午夜91福利影院| 天堂俺去俺来也www色官网| 搡老岳熟女国产| 久久精品人人爽人人爽视色| 99精品久久久久人妻精品| 多毛熟女@视频| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 日本91视频免费播放| 美女高潮到喷水免费观看| 一级片免费观看大全| 最新在线观看一区二区三区 | 99热全是精品| 91麻豆精品激情在线观看国产 | 久久久欧美国产精品| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 超碰成人久久| 多毛熟女@视频| 久久国产精品人妻蜜桃| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 欧美日韩综合久久久久久| 国产欧美日韩精品亚洲av| a级片在线免费高清观看视频| 蜜桃在线观看..| 国产伦理片在线播放av一区| 黄片小视频在线播放| 岛国毛片在线播放| 在线精品无人区一区二区三| 欧美人与性动交α欧美软件| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 一边摸一边做爽爽视频免费| 亚洲国产精品国产精品| 久久久精品免费免费高清| 中文字幕人妻丝袜制服| 久久精品成人免费网站| 天天添夜夜摸| 国产精品av久久久久免费| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 日韩电影二区| 国产淫语在线视频| 国产免费又黄又爽又色| 亚洲国产看品久久| 人妻一区二区av| 国产色视频综合| 精品一区在线观看国产| 妹子高潮喷水视频| av有码第一页| 一区二区三区精品91| 日韩制服骚丝袜av| av又黄又爽大尺度在线免费看| av天堂久久9| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 午夜激情av网站| 我要看黄色一级片免费的| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 国产免费一区二区三区四区乱码| 日日夜夜操网爽| 大片免费播放器 马上看| 美国免费a级毛片| 亚洲国产欧美网| 热re99久久国产66热| 热re99久久国产66热| 精品国产国语对白av| 老司机影院成人| 亚洲一区中文字幕在线| 一个人免费看片子| 亚洲图色成人| 最新在线观看一区二区三区 | 亚洲精品美女久久av网站| 国产又色又爽无遮挡免| 美女中出高潮动态图| 日本五十路高清| 国产又爽黄色视频| 欧美成人午夜精品| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 国产精品熟女久久久久浪| 亚洲欧美清纯卡通| 亚洲国产欧美网| 我要看黄色一级片免费的| 黄色视频在线播放观看不卡| 狂野欧美激情性bbbbbb| 999久久久国产精品视频| 亚洲精品国产av蜜桃| 在线观看免费视频网站a站| 午夜免费成人在线视频| 日本a在线网址| 99热网站在线观看| 午夜福利视频精品| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 亚洲av片天天在线观看| 青春草亚洲视频在线观看| 欧美国产精品va在线观看不卡| 久久影院123| 啦啦啦视频在线资源免费观看| av电影中文网址| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 国产不卡av网站在线观看| 国产高清不卡午夜福利| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| av又黄又爽大尺度在线免费看| 在线av久久热| 欧美中文综合在线视频| 国产免费一区二区三区四区乱码| 一级黄片播放器| 亚洲熟女毛片儿| 日韩制服丝袜自拍偷拍| 亚洲第一av免费看| 国产不卡av网站在线观看| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 老汉色av国产亚洲站长工具| 天天添夜夜摸| 国产有黄有色有爽视频| 亚洲av日韩在线播放| 欧美日韩一级在线毛片| 精品熟女少妇八av免费久了| 两人在一起打扑克的视频| 国产激情久久老熟女| 黄色a级毛片大全视频| 男人爽女人下面视频在线观看| 男人爽女人下面视频在线观看| 国产一级毛片在线| 欧美av亚洲av综合av国产av| 免费看不卡的av| 国产精品av久久久久免费| 国产精品久久久久久人妻精品电影 | 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 午夜激情av网站| 丝袜在线中文字幕| 日韩电影二区| 成人亚洲精品一区在线观看| 日韩人妻精品一区2区三区| cao死你这个sao货| 日韩伦理黄色片| 国产一区亚洲一区在线观看| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 一本久久精品| 老汉色∧v一级毛片| 在线观看免费视频网站a站| 黄色一级大片看看| 久久久久久久久久久久大奶| 亚洲国产av影院在线观看| 欧美久久黑人一区二区| 午夜激情av网站| 蜜桃国产av成人99| 亚洲欧美色中文字幕在线| av视频免费观看在线观看| 国产精品九九99| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| xxx大片免费视频| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 国产免费一区二区三区四区乱码| av电影中文网址| 蜜桃国产av成人99| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 男人添女人高潮全过程视频| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 男女下面插进去视频免费观看| 99香蕉大伊视频| 精品一区二区三区四区五区乱码 | 国产成人精品无人区| 男女床上黄色一级片免费看| 久久九九热精品免费| 亚洲欧美日韩高清在线视频 | 国产精品一国产av| 另类精品久久| 蜜桃国产av成人99| 精品亚洲成a人片在线观看| 亚洲精品一二三| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 日韩中文字幕欧美一区二区 | tube8黄色片| 免费看不卡的av| 久久女婷五月综合色啪小说| 在线看a的网站| 成年人黄色毛片网站| 国产成人91sexporn| 国产精品 欧美亚洲| 看免费av毛片| 久久精品国产综合久久久| 欧美精品亚洲一区二区| 亚洲国产成人一精品久久久| 搡老岳熟女国产| 国产精品二区激情视频| 久久人妻福利社区极品人妻图片 | 久久精品国产综合久久久| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 老司机靠b影院| 美女中出高潮动态图| 黄色视频不卡| 一级,二级,三级黄色视频| 麻豆国产av国片精品| 成人三级做爰电影| 免费在线观看日本一区| av不卡在线播放| 国产高清视频在线播放一区 | 乱人伦中国视频| 国产91精品成人一区二区三区 | 高清不卡的av网站| 久久久久网色| 男人舔女人的私密视频| 久久久精品免费免费高清| 老司机影院毛片| 国产黄频视频在线观看| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 久久青草综合色| 97人妻天天添夜夜摸| 亚洲国产精品国产精品| 尾随美女入室| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 欧美成狂野欧美在线观看| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 欧美人与性动交α欧美软件| 丝袜美足系列| 国产精品久久久久成人av| 丰满少妇做爰视频| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 国产xxxxx性猛交| 九草在线视频观看| 免费看十八禁软件| 成年女人毛片免费观看观看9 | 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| av国产久精品久网站免费入址| 亚洲熟女毛片儿| 男人添女人高潮全过程视频| 国产精品一区二区在线观看99| 亚洲五月婷婷丁香| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 老司机亚洲免费影院| 性色av一级| 久久久国产欧美日韩av| 欧美在线黄色| av不卡在线播放| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 日韩制服丝袜自拍偷拍| 国产成人系列免费观看| 国产xxxxx性猛交| 亚洲av电影在线进入| 男女免费视频国产| 日韩人妻精品一区2区三区| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 高清av免费在线| 久久综合国产亚洲精品| 高清不卡的av网站| 亚洲成人免费电影在线观看 | 热99久久久久精品小说推荐| 青春草视频在线免费观看| 国产av精品麻豆| 伊人亚洲综合成人网| 日本av免费视频播放| 国产成人91sexporn| 777米奇影视久久| 9191精品国产免费久久| 九色亚洲精品在线播放| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 欧美变态另类bdsm刘玥| 久久久国产精品麻豆| 欧美精品一区二区大全| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 久久久精品94久久精品| 看免费av毛片| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲 | 国产日韩欧美在线精品| 国产精品一区二区在线观看99| 久久99一区二区三区| 欧美日韩视频精品一区| av片东京热男人的天堂| 久久久亚洲精品成人影院| 少妇的丰满在线观看| 日韩中文字幕视频在线看片| 午夜91福利影院| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 欧美亚洲日本最大视频资源| 欧美激情 高清一区二区三区| 看十八女毛片水多多多| 交换朋友夫妻互换小说| 国产精品人妻久久久影院| 久久ye,这里只有精品| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| www.精华液| 丰满迷人的少妇在线观看| 欧美国产精品va在线观看不卡| 在现免费观看毛片| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡 | 亚洲欧美一区二区三区黑人| 亚洲av日韩在线播放| 国产国语露脸激情在线看| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 亚洲av国产av综合av卡| 人成视频在线观看免费观看| 欧美在线一区亚洲| 青草久久国产| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 亚洲欧美成人综合另类久久久| av片东京热男人的天堂| 色综合欧美亚洲国产小说| 久久热在线av| 好男人视频免费观看在线| 高清欧美精品videossex| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 在线观看www视频免费| 欧美 日韩 精品 国产| 欧美+亚洲+日韩+国产| 免费黄频网站在线观看国产| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 黄片小视频在线播放| 国产精品一区二区在线观看99| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 色综合欧美亚洲国产小说| 精品第一国产精品| 丰满迷人的少妇在线观看| 精品国产国语对白av| av在线播放精品| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 久久久久久免费高清国产稀缺| 丝瓜视频免费看黄片| 久久毛片免费看一区二区三区| 男女床上黄色一级片免费看| 午夜福利在线免费观看网站| 成人亚洲欧美一区二区av| 中文字幕人妻熟女乱码| 狂野欧美激情性xxxx| 精品一区二区三区av网在线观看 | 亚洲美女黄色视频免费看| 美女扒开内裤让男人捅视频| 久久综合国产亚洲精品| 大片免费播放器 马上看| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 老司机亚洲免费影院| 免费黄频网站在线观看国产| 亚洲成人国产一区在线观看 | 久久精品成人免费网站| 大片电影免费在线观看免费| av在线播放精品| 9热在线视频观看99| 亚洲精品中文字幕在线视频| 在线天堂中文资源库| 国产成人精品久久二区二区91| 免费观看a级毛片全部| 成年女人毛片免费观看观看9 | 国产精品秋霞免费鲁丝片| 亚洲综合色网址| 免费日韩欧美在线观看| 老司机靠b影院| 久久狼人影院| 亚洲精品美女久久av网站| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 老司机在亚洲福利影院| 亚洲图色成人| 深夜精品福利| 嫁个100分男人电影在线观看 | 欧美精品av麻豆av| 久久国产亚洲av麻豆专区| 纯流量卡能插随身wifi吗| 男女无遮挡免费网站观看| 国产亚洲欧美在线一区二区| 国产精品.久久久| 女警被强在线播放| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 91九色精品人成在线观看| 欧美亚洲日本最大视频资源| 亚洲久久久国产精品| 99国产精品一区二区蜜桃av | 午夜日韩欧美国产| 一二三四在线观看免费中文在| 人人妻,人人澡人人爽秒播 | 女人久久www免费人成看片| 亚洲av日韩精品久久久久久密 | 欧美成狂野欧美在线观看| 国产成人欧美在线观看 | 免费高清在线观看视频在线观看| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 亚洲国产欧美网| 久久久精品区二区三区| 一区二区日韩欧美中文字幕| 亚洲黑人精品在线| 国产成人免费观看mmmm| 亚洲 欧美一区二区三区| 下体分泌物呈黄色| 午夜免费男女啪啪视频观看| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 波多野结衣一区麻豆| 脱女人内裤的视频| 亚洲中文字幕日韩| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 五月开心婷婷网| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 搡老乐熟女国产| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 国产主播在线观看一区二区 | 大片电影免费在线观看免费| 中文字幕色久视频| a级毛片黄视频| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 国产三级黄色录像| 日韩制服骚丝袜av| netflix在线观看网站| 欧美亚洲日本最大视频资源| 亚洲av日韩精品久久久久久密 | 一区二区av电影网| 男男h啪啪无遮挡| 午夜免费成人在线视频| 大型av网站在线播放| 男女高潮啪啪啪动态图| 狂野欧美激情性bbbbbb| 成人免费观看视频高清| 视频区图区小说| 人妻人人澡人人爽人人| 国产91精品成人一区二区三区 | 十分钟在线观看高清视频www| 又黄又粗又硬又大视频| 国产精品二区激情视频| 精品熟女少妇八av免费久了| 丝袜美足系列| 无遮挡黄片免费观看| 免费人妻精品一区二区三区视频| 久久99热这里只频精品6学生| 精品国产一区二区三区四区第35| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 婷婷丁香在线五月| 在线亚洲精品国产二区图片欧美| 久久女婷五月综合色啪小说| 国产成人免费无遮挡视频| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 99re6热这里在线精品视频| 亚洲成国产人片在线观看| 老司机在亚洲福利影院| 亚洲男人天堂网一区| 亚洲综合色网址| 国产免费视频播放在线视频| 精品亚洲成a人片在线观看| 在线看a的网站| 亚洲中文日韩欧美视频| 天天影视国产精品| 美女主播在线视频| 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 欧美黄色片欧美黄色片| 国产极品粉嫩免费观看在线| av电影中文网址| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 少妇人妻久久综合中文| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 女性生殖器流出的白浆| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 老汉色∧v一级毛片| 久久久国产精品麻豆| av又黄又爽大尺度在线免费看| 国产亚洲av高清不卡| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 黑人猛操日本美女一级片| 少妇粗大呻吟视频| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 国产av国产精品国产| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 欧美精品一区二区免费开放| 欧美精品亚洲一区二区| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 女人精品久久久久毛片| 欧美日韩亚洲高清精品| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 国产高清国产精品国产三级| 蜜桃国产av成人99| 最近中文字幕2019免费版| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| av一本久久久久| 97精品久久久久久久久久精品| 国产成人一区二区在线| 超色免费av| 91麻豆av在线| 国产高清视频在线播放一区 | 国产深夜福利视频在线观看| 亚洲熟女精品中文字幕| 国产在视频线精品| 五月开心婷婷网| 国产成人av教育| 久久久久久免费高清国产稀缺| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 美女午夜性视频免费| 观看av在线不卡| 女性被躁到高潮视频| 丝袜美腿诱惑在线| 黑人欧美特级aaaaaa片| 国产精品国产三级国产专区5o| 久久人妻福利社区极品人妻图片 | 国产精品久久久久成人av| 午夜福利在线免费观看网站| 制服人妻中文乱码| 晚上一个人看的免费电影| 欧美成狂野欧美在线观看| 婷婷色综合www| 99国产综合亚洲精品| 久久影院123| 91成人精品电影| 色婷婷av一区二区三区视频| 麻豆乱淫一区二区| 午夜福利免费观看在线| av国产精品久久久久影院| 久久亚洲精品不卡| 色综合欧美亚洲国产小说| 欧美日韩亚洲高清精品| 老鸭窝网址在线观看| a 毛片基地| 天天添夜夜摸| 国产在视频线精品| 十八禁网站网址无遮挡| 国产精品三级大全| 久久亚洲精品不卡| 免费不卡黄色视频| 精品人妻一区二区三区麻豆| 青草久久国产| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 精品免费久久久久久久清纯 | 香蕉丝袜av| 在线观看国产h片| 久久狼人影院| 亚洲欧洲日产国产| 新久久久久国产一级毛片| 婷婷色麻豆天堂久久| 欧美成人午夜精品| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 亚洲国产欧美网|