一道三角形最值問題的解法賞析和思考

田衛(wèi)東

[摘 要] 在各類考試中，不乏會(huì)有一些典型的題目值得深入探究，教師要善于帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些題目，應(yīng)該讓每一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)試題發(fā)揮其最大的價(jià)值，讓每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都滲透著重要的數(shù)學(xué)思想方法，才能體現(xiàn)出高效的學(xué)習(xí)效率.

[關(guān)鍵詞] ：解三角形；正弦、余弦定理；數(shù)學(xué)方法；一題多解

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5》（人教社A版）第一章中明確指出：一般地，把三角形的三個(gè)內(nèi)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫作三角形的元素. 已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫作解三角形.解三角形問題一般分為兩類. 第一類，求三角形的邊長(zhǎng)或內(nèi)角的大??；第二類，求三角形的邊長(zhǎng)或內(nèi)角的取值范圍（包括最值），一般第二類問題難度往往更大些. 2017年我校第二次模擬考試中就出現(xiàn)了這樣一道題，下面將此題及其解答過(guò)程與各位讀者分享一下，希望在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)過(guò)程中對(duì)大家有所啟示和借鑒.

試題呈現(xiàn)與簡(jiǎn)要分析

題目：如圖1，在△ABC中，A=，BC=3，D是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，則AD的最大值是_______.

這是2017年河北省唐山市第二次模擬考試第16題，也是填空題的壓軸題，本題主要考查在三角形中運(yùn)用正弦、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化及三角函數(shù)的有關(guān)公式的運(yùn)用，利用求函數(shù)最值的各種數(shù)學(xué)方法求解三角形邊長(zhǎng)的最大值，同時(shí)考查學(xué)生的運(yùn)算求解、邏輯推理能力，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 試題言簡(jiǎn)意賅，內(nèi)涵豐富，對(duì)學(xué)生能力要求較高，有較大的難度，是一道值得研究的優(yōu)秀模擬試題. 從學(xué)生答題結(jié)果看，正答率僅為2%左右，根據(jù)學(xué)生考后反饋情況，一部分學(xué)生沒有思路，放棄作答，大部分學(xué)生運(yùn)用正弦、余弦定理做到一半時(shí)，無(wú)法繼續(xù)求解，然后考慮特殊三角形，即△ABC為正三角形時(shí)，得到AD=的錯(cuò)誤結(jié)果. 另有極少數(shù)學(xué)生考慮到借助三角形的外接圓，運(yùn)用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，只可惜計(jì)算有誤，著實(shí)令人可惜. 下面，我們從不同的角度對(duì)此題進(jìn)行分析和求解.

思路分析及解法點(diǎn)評(píng)

（一）“兩個(gè)定理”相得益彰，“三角函數(shù)”水到渠成

思路1：欲求三角形邊長(zhǎng)的最值，可以考慮用正弦、余弦定理將邊長(zhǎng)用某個(gè)內(nèi)角的正弦或余弦值表示，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題. 為此，要選擇一個(gè)角作為變量.

為說(shuō)明問題方便，令A(yù)D=t，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.

解：如圖1，在△ACD中，由余弦定理得t2=b2+1-2bcosC①.

在△ABC中，由正弦定理得=. 因?yàn)?=2，所以b=2sin+C②.

將②代入①得t2=12sin2+C-4sin+CcosC+1③，整理得t2=4+2sin2C，顯然當(dāng)sin2C=1，即C=時(shí)，t2的最大值為4+2，所以AD的最大值是+1.

點(diǎn)評(píng)：在三角形中將邊長(zhǎng)用角的正弦、余弦表示，應(yīng)屬通性通法，這種方法的特點(diǎn)是將代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的運(yùn)算，減少了思維量，降低問題的求解難度，是解題者比較喜歡的方式之一.題中所給的A=，BC=3為對(duì)角和對(duì)邊的關(guān)系，為進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化提供了有力保障. 此方法的難點(diǎn)在于③式的化簡(jiǎn)需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力，稍有不慎，便會(huì)前功盡棄，所以此解法對(duì)學(xué)生的三角函數(shù)運(yùn)算能力往往有比較高的要求.

（二）“余弦定理”一枝獨(dú)秀，“三角換元”助力求解

思路2：可借助∠ADB與∠ADC互補(bǔ)，在△ABD和△ACD中分別使用余弦定理建立邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，將b2-bc+c2=9進(jìn)行配方處理，借助圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角換元，從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.

解：如圖1，在△ABC中，由余弦定理得b2-bc+c2=9①.

同理，在△ABD中，得c2=t2+4-4tcos∠ADB②，在△ACD中，得b2=t2+1-2tcos∠ADC③.

由②③得3t2=2b2+c2-6④，由b2-bc+c2=9可得b-+=9.

設(shè)b-=3cosθ，=3sinθ，其中θ∈[0，2π）.

則3t2=2b2+c2-6=2（sinθ+3cosθ）2+12sin2θ-6=6sin2θ+12≤6+12，當(dāng)sin2θ=1時(shí)，等號(hào)成立，所以t2≤4+2，t≤+1，即AD的最大值是+1.

點(diǎn)評(píng)：雖然此解法最終也是轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解，但它與思路1相比，存在明顯不同. 首先，本解法在三個(gè)三角形中分別利用余弦定理得到邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，而思路1則是通過(guò)正弦定理和余弦定理直接得到了三角函數(shù)關(guān)系式；其次，本解法的難點(diǎn)也是亮點(diǎn)在于對(duì)b2-bc+c2=9進(jìn)行配方換元，它不同于普通的三角換元，讀者可以仔細(xì)加以比較，這種變形技巧在求解二元函數(shù)最值問題時(shí)比較常見.

（三）“平面向量”當(dāng)仁不讓，“均值定理”彰顯威力

思路3：在△ABC中，由于A=，b，c是變化量，可以用余弦定理得到邊長(zhǎng)a，b，c的等量關(guān)系，再借助向量的運(yùn)算，將AD也用b，c表示，從而轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的最值問題.

解：如圖1，因?yàn)?+，所以2=2+·+2，即t2=①.

在△ABC中，由余弦定理得b2-bc+c2=9②，由①②可得t2=，令u=∈（0，+∞），則t2==1+3=1+.

所以t2≤1+=4+2，當(dāng)且僅當(dāng)u+1=，即u=-1時(shí)，“=”成立，此時(shí)c=（-1）b. 可得AD的最大值是+1.

點(diǎn)評(píng)：向量，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，其中以數(shù)量積公式最為重要，平面向量的數(shù)量積公式包含了長(zhǎng)度和角度的運(yùn)算關(guān)系，在三角形中，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用數(shù)量積公式進(jìn)行邊角之間的相互表示，題中D是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)是聯(lián)想到用向量求解的重要條件.本解法的另一個(gè)難點(diǎn)在于等式b2-bc+c2=9，常規(guī)想法是一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示，將t2轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)變量的函數(shù)式，顯然運(yùn)算量較大，考場(chǎng)上不宜實(shí)施. 將①②相結(jié)合，考慮到“齊二次”的結(jié)構(gòu)，令u=，使得t2成為u的函數(shù)值，是本解法最大的亮點(diǎn)，這種替換在求解二元函數(shù)最值時(shí)經(jīng)常用到，但需要存在“齊次”結(jié)構(gòu)這樣的特殊條件.若令v=u+1，運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)運(yùn)算量會(huì)更小些.

（四）“解析幾何”錦上添花，“參數(shù)方程”化難為易

思路4：考慮到條件中的A=，BC=3，容易聯(lián)想到△ABC的外接圓，即BC為圓的一條定弦，點(diǎn)A是該圓一段優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn). 為此，可建立平面直角坐標(biāo)系，求得外接圓方程后，再利用它的參數(shù)方程可建立t2的三角函數(shù)關(guān)系式，從而問題可解.

解：在△ABC中，由正弦定理得=2R，其中R為△ABC的外接圓半徑，可解得R==. 如圖2，作出△ABC的外接圓，由題意可知BC為⊙O的弦，因?yàn)锳=，所以點(diǎn)A在⊙O的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng).

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則⊙O的方程為x2+y2=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，-，D是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，且BC=3，所以D，-.

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（cosθ，sinθ），由兩點(diǎn)間距離公式可得AD2=-cosθ+--sinθ，整理得AD2=4-cosθ+3sinθ=4+2sinθ-，當(dāng)θ-=，即θ=時(shí)，AD取得最大值+1.

點(diǎn)評(píng)：解三角形問題中經(jīng)常會(huì)將已知一邊的長(zhǎng)度及其對(duì)角大小作為條件，若與正弦定理結(jié)合，很容易知道該三角形與其外接圓之間的關(guān)系，并可求得外接圓半徑，點(diǎn)A在圓弧上運(yùn)動(dòng)為圓的參數(shù)方程的使用創(chuàng)造了條件. 經(jīng)了解，在本次考試中有幾個(gè)學(xué)生正是利用了這種辦法成功地破解此題，展示了較高的思維水平和解題能力. 毋庸置疑，解析法在求解三角形問題中應(yīng)該占有一席之地，在平時(shí)的訓(xùn)練考試中，應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力.

（五）“平面幾何”揭示本質(zhì)，“三點(diǎn)共線”方得始終

思路5：見圖3，由于點(diǎn)D是定點(diǎn)，而點(diǎn)A在圓周上運(yùn)動(dòng)，可以多畫幾條線段，得到不同長(zhǎng)度的“AD”，直覺告訴我們，當(dāng)AD經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，AD或許最長(zhǎng)，于是“兩邊之和大于第三邊”便成為此猜想正確的堅(jiān)實(shí)后盾.

解：如圖3，由思路4可知，點(diǎn)A在⊙O的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，由正弦定理計(jì)算出AO=R=，由勾股定理可得OD==1，顯然AD≤AO+OD=+1，所以當(dāng)A，O，D三點(diǎn)共線，即圖中A與A′重合時(shí)，AD取得最大值+1.

點(diǎn)評(píng)：這“神來(lái)之筆”的解法令人嘆為觀止，可謂巧妙至極.原來(lái)，這題的“老巢”在這里，既然如此，D點(diǎn)可以為四等分點(diǎn)、五等分點(diǎn)……. 所以，若將條件改為=λ，依思路5，問題照樣輕松求解，所以點(diǎn)D的位置并不是最重要的，關(guān)鍵在于A，O，D共線會(huì)使得AD取得最大值. 由此，只從單純的解題角度來(lái)說(shuō)，學(xué)生掌握一定的平面幾何技能是非常有必要的，若從培養(yǎng)人的角度來(lái)說(shuō)，向量的引入，本來(lái)就已經(jīng)淡化了學(xué)生邏輯推理和空間想象能力的培養(yǎng)，而2017年考綱又刪掉了選修4-1平面幾何選講的內(nèi)容，這對(duì)于學(xué)生上述能力的培養(yǎng)來(lái)講是否也算得上一個(gè)小小的損失呢？筆者位卑言輕，只能一聲小小的嘆息罷了.

若將A=改為A=，見圖4，顯然AD≥AO-OD=-1，當(dāng)且僅當(dāng)A，O，D三點(diǎn)共線，即A與A′重合時(shí)，AD取得最小值-1.

由此得到變式題：在△ABC中，A=，BC=3，D是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，則AD的最小值是________.

一點(diǎn)思考和感悟

從整個(gè)分析及求解過(guò)程看，涉及了解三角形的有關(guān)定理、三角函數(shù)公式、均值不等式、圓的方程及其參數(shù)方程、平面幾何知識(shí)等知識(shí)運(yùn)用，不僅體現(xiàn)了各種數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也體現(xiàn)了配方法、換元法、構(gòu)造法、解析法及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)方法、思想的運(yùn)用和滲透，雖然是一道模擬試題，但如果在試卷講評(píng)時(shí)處理得當(dāng)，它的作用和價(jià)值會(huì)體現(xiàn)得更有意義，對(duì)于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)、靈活解題能力的加強(qiáng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高會(huì)起到非常大的作用. 當(dāng)下，各種教輔資料鋪天蓋地，數(shù)學(xué)題目五花八門，多做題、多刷題依舊充斥著整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，學(xué)生和老師往往會(huì)陷入題目的泥塘之中不能自拔. 因此，怎樣解題，解什么樣的題，其實(shí)應(yīng)該成為教師認(rèn)真思考的主要問題. 眾所周知，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，知識(shí)是基礎(chǔ)，方法是關(guān)鍵，能力是核心. 高三的復(fù)習(xí)就必須在課堂教學(xué)中以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為主陣地，應(yīng)該讓每一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)試題發(fā)揮其最大的價(jià)值，讓每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都滲透著重要的數(shù)學(xué)思想方法，只有對(duì)典型問題多分析、多總結(jié)解題規(guī)律，做到一題多解、多題一解、一題多變，甚至要做到自己動(dòng)手編題，才能體現(xiàn)出高效的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)效率. 筆者個(gè)人并不否認(rèn)做題的重要性，但堅(jiān)決反對(duì)通過(guò)大量做題作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法，多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，作為學(xué)生，當(dāng)他們考入了大學(xué)，乃至參加工作后，回憶起高中最難忘的事情時(shí)，沒有任何一位學(xué)生會(huì)想起有哪些數(shù)學(xué)題目讓他記憶猶新，但是他們往往會(huì)記得老師教給他們?yōu)槿说牡览恚鍪碌姆椒? 愛因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“所謂的教育，就是把在學(xué)校學(xué)到的知識(shí)忘掉，剩下的那部分才是教育”. 數(shù)學(xué)教育作為教育的組成部分，在發(fā)展和完善人類的教育活動(dòng)中、在形成人們認(rèn)識(shí)世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展的進(jìn)程中起著重要的作用. 而數(shù)學(xué)學(xué)科在形成人類理性思維和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用. 它是讓學(xué)生學(xué)會(huì)終身發(fā)展、終身學(xué)習(xí)的重要學(xué)科，它的抽象，會(huì)讓我們提高理解能力，它的嚴(yán)謹(jǐn)，會(huì)讓我們做事情滴水不漏，細(xì)致入微，它的解法多樣，會(huì)讓我們從多個(gè)角度審視問題，理解人生和社會(huì)，數(shù)學(xué)的魅力，大概就在于此.