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    打通函數(shù)方程,妙解雙參問題

    2018-05-21 09:16:32陳曉

    陳曉

    [摘 要] 已知二次函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)取值范圍是一個(gè)重要題型,是學(xué)生得高分的瓶頸.文章列舉一些典型的考題,避開線性規(guī)劃、分類討論等常規(guī)思路,綜合運(yùn)用方程思想、以值代參、變量歸一等方法,給出問題的簡(jiǎn)潔解法.

    [關(guān)鍵詞] 函數(shù)零點(diǎn);以值代參;變量歸一

    函數(shù)零點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,特別是二次函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、韋達(dá)定理等內(nèi)容緊密聯(lián)系,在各級(jí)考試中屢見不鮮. 本文結(jié)合近期的一些考題,針對(duì)二次函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍的這類題型,給出一些簡(jiǎn)單的解法.

    2017年是浙江省高考改革后的首次文理合卷考試,為此在2016年12月浙江省組織了一次全省范圍的模擬考試.這次考題從文字?jǐn)⑹?、試題風(fēng)格都與高考保持高度一致,有相當(dāng)大的參考價(jià)值. 這份試卷填空題的最后一題是這樣的:已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b在(0,1)上有兩個(gè)零點(diǎn),則3a+b的取值范圍是________.

    常規(guī)解法如下:根據(jù)題意,列出a,b所滿足的不等式組:

    0<-<1,

    f(0)=b>0,

    f(1)=1+a+b>0,

    Δ=a2-4b>0.

    作出不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖1所示)

    根據(jù)線性規(guī)劃原理,當(dāng)a=-2,b=1時(shí),3a+b有最小值-5;當(dāng)a=b=0時(shí),3a+b有最大值0. 所以3a+b的取值范圍是(-5,0).

    筆者認(rèn)為此解法雖然常規(guī),但過程比較麻煩,特別是填空題,有小題大做之嫌. 經(jīng)過探索,發(fā)現(xiàn)f(3)=9+3a+b,即3a+b=f(3)-9.也就是說,要求3a+b的取值范圍,只要先求出f(3)的取值范圍. 如何求f(3)的取值范圍是一個(gè)難點(diǎn). 題目的已知條件是二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),故可設(shè)f(x)=(x-x1)(x-x2). 上式即為二次函數(shù)的零點(diǎn)式,x1,x2是f(x)的零點(diǎn).

    于是f(3)=(3-x1)(3-x2),那么我們最后把問題歸結(jié)為求(3-x1)(3-x2)的取值范圍. 因?yàn)閤1,x2∈(0,1),所以3-x1∈(2,3),3-x2∈(2,3),故f(3)=(3-x1)·(3-x2)∈(4,9). 因此3a+b=f(3)-9∈(-5,0).

    上述問題的解決過程關(guān)鍵是把參數(shù)a,b的表達(dá)式3a+b用其他變量(或者是式子)表示出來,使得問題易于解決.

    上述思想在解題中經(jīng)常用到,比如2017年4月浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第3題:設(shè)f(x)=x2+ax+b在[0,1]中有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則a2-2b的取值范圍是________.

    此題和剛才分析的題目幾乎一樣,只是最后所求的表達(dá)式不同. 有部分命題人是同時(shí)參加了這兩次考試的命題,筆者猜想命題人好像意猶未盡,又編制了一道相似的題目,像是在暗示我們盡量不要用線性規(guī)劃原理來解這類題目.

    設(shè)方程x2+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根為x1,x2∈[0,1],由韋達(dá)定理得

    x1+x2=-a,

    x1x2=b,于是a2-2b=(x1+x2)2-2x1x2=x+x∈[0,2].

    2017年3月紹興調(diào)測(cè)卷命制了一道填空題把這類問題推向深入:已知a,b∈R且0≤a+b≤1,函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間-,0上至少存在一個(gè)零點(diǎn),則a-2b的取值范圍是________.

    我們注意到f(1)=1+a+b[1,2],如果設(shè)m∈-,0使得f(m)=0,即m2+am+b=0,我們就得到關(guān)于a,b的方程組

    1+a+b=f(1),

    m2+am+b=0,

    解出a=,進(jìn)而a-2b=f(1)-3m-1. 因?yàn)閒(1)∈[1,2],所以

    -3m-1≤a-2b≤-3m-1.

    因?yàn)?3m-1=3(1-m)+-6≥2-6=0,當(dāng)m=0時(shí)等號(hào)取到;又函數(shù)y=-3m-1=+3(1-m)-8在-,0上的最大值為1. 綜上所述,a-2b的取值范圍是[0,1].

    本題的關(guān)鍵就是用f(1)和m表示參數(shù)a,b,從而把求a-2b的取值范圍轉(zhuǎn)化為求關(guān)于m的函數(shù)的最值問題.

    再往前追溯,筆者發(fā)現(xiàn)在2013年的浙江高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中就出現(xiàn)了這類問題:已知二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一個(gè)零點(diǎn),求a2+b2的最小值.

    設(shè)m是f(x)在[3,4]上的零點(diǎn),即

    am2+(2b+1)m-a-2=0(*)

    此時(shí)發(fā)現(xiàn)要把參數(shù)a,b表示出來缺少一個(gè)條件,我們?cè)O(shè)想把a(bǔ)2+b2整體用m表示.

    把(*)整理成

    2-m=a(m2-1)+2bm

    應(yīng)用柯西不等式得

    (m-2)2=[a(m2-1)+2bm]2≤(a2+b2)·[(m2-1)2+4m2]=(a2+b2)(m2+1)2

    于是a2+b2≥≥≥.

    因?yàn)閥=m-2++4是[3,4]上的減函數(shù),所以上面的不等式在m=3時(shí)取到等號(hào). 此時(shí)8a+6b+1=0,

    a2+b2=,解出a=-,

    b=-. 故a2+b2的最小值是.

    本題我們用柯西不等式成功地分離出了a2+b2,從而把雙參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為單變量的最值問題.

    從上述各題中看出,運(yùn)用韋達(dá)定理、以值代參、變量歸一等手段,可以避免分類討論,從而快速求出問題的正確答案,提高解題效率.

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