利用好換元，解題變輕松

彭飛　王平

[摘 要] 在高考或模擬考試試卷中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)利用基本不等式解決的最值問(wèn)題，并且大多以復(fù)雜的分式形式出現(xiàn). 文章主要以五種類型的分式題目為載體，深入剖析暴露題目本質(zhì)的幾種常見(jiàn)的換元方法，以達(dá)到解題變得更為輕松的目的.

[關(guān)鍵詞] 基本不等式；換元；本質(zhì)；分式

基本不等式是高考重要的考點(diǎn)，每年必考的內(nèi)容，因此在高考或模擬考試中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)利用基本不等式解決的最值問(wèn)題，并且大多以分式的形式出現(xiàn). 本文針對(duì)此類最值問(wèn)題，與大家一起討論它的解題策略，供參考.？搖

分母是一次，換元就變易

例1：若實(shí)數(shù)x，y滿足xy+3x=3（0

分析：很多學(xué)生看到本題后，會(huì)對(duì)目標(biāo)函數(shù)式進(jìn)行通分運(yùn)算，然后再進(jìn)行減元化簡(jiǎn).

解法1：因?yàn)閤y+3x=3，所以得到y(tǒng)=.

所以，+===-1+（1）.

令35x-18=t（-18

對(duì)（1）式進(jìn)行換元，得到-1+=-1+=-1+

由于t<0，故（-2t）+-≥12，所以2t+≤-12，當(dāng)且僅當(dāng)2t=時(shí)，即t=-3（滿足題意給出的范圍）取“=”，所以原題的最小值為8.

反思：本題利用了減元法思想，使題中目標(biāo)函數(shù)式由兩個(gè)變量減少為一個(gè)變量，使得題目更易于去處理，但是在實(shí)際計(jì)算的過(guò)程中，并沒(méi)有想象中的美好. 為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況呢？主要原因是分母不夠簡(jiǎn)潔，導(dǎo)致后期的計(jì)算量逐步增加，一不小心將會(huì)有算錯(cuò)的可能，這樣的問(wèn)題也存在于其他諸多的分式問(wèn)題中. 那么如何處理才能使得計(jì)算更加簡(jiǎn)潔呢？

先換元！通過(guò)換元的手法，將形式復(fù)雜的分母看作為一個(gè)整體，這樣整個(gè)分式將變得“整潔、漂亮”. 我們通過(guò)觀察本題的目標(biāo)函數(shù)式+，分母都是一次形式，而且加號(hào)后面的分式分母較為復(fù)雜，故只需要將y-3看成整體，進(jìn)行換元，具體解決過(guò)程如下.

解法2：令y-3=t，即y=t+3，由題意得：x（t+3）+3x=3，

xt+6x=3，即為x（t+6）=3，所以得到t+6=，

因?yàn)?0，因此+=t+6+≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，取“=”.

注：解法1是基于思維慣性的作用下，將y轉(zhuǎn)化為x，使得后續(xù)需要很強(qiáng)的計(jì)算能力才能解決問(wèn)題；解法2通過(guò)換元后，將題意中的形式變得十分簡(jiǎn)潔，解題思路也就變得非常明朗，很顯然本題應(yīng)是將x轉(zhuǎn)化為y更為簡(jiǎn)單易操作，由此可以看出先換元的優(yōu)越性.

變式訓(xùn)練1：已知x，y滿足xy=y+4（x>1），求+的最小值.

解：令2x-1=m，則x=，m>1，

代入xy=y+4得，（m-1）y=8，所以y=，

+=+=+-≥，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)，取“=”.

所以+的最小值為.

兩個(gè)分式分母都復(fù)雜，全部換元，暴露本質(zhì)

例2：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x>0，y>0，求+的最大值.

分析：本題的目標(biāo)函數(shù)式也是分式的形式，且都是一次形式，但是兩個(gè)分式的分母都比較復(fù)雜，所以在利用換元法時(shí)，就必須要引入兩個(gè)參數(shù)，將兩個(gè)分母看成不同的整體進(jìn)行換元.

解：令4x+y=a，x+y=b，解得x=，y=，且a>0，b>0

故+=+=-+≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，即2x=y時(shí)，取“=”.

注：解該題時(shí)，不能像例1那樣進(jìn)行減元處理，但通過(guò)換元的手法，“丑陋”的形式就會(huì)變得“漂亮”，同時(shí)題意的真面目就會(huì)暴露，應(yīng)用基本不等式，一下子就可以得到最大值.

變式訓(xùn)練2：設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+2y+z=1，求+的最小值.

解：設(shè)x+y=a，y+z=b，由題意得，a+b=1，且a>0，b>0，

+=+=+=++1≥2+1=7.

當(dāng)且僅當(dāng)b=3a時(shí)，即a=，b=時(shí)，取“=”.

條件是分式，換元一樣用，“1”的代換不能忘

例3：若a>0，b>0，且+=1，求a+2b的最小值.

分析：本題與上述兩種情況不一樣之處在于條件是分式，且分母是一次形式，而目標(biāo)函數(shù)式不是分式的形式，但解決問(wèn)題的辦法還是一樣，思路不變，對(duì)一次形式的分母進(jìn)行換元.

解：令x=2a+b，y=b+1，則解得a=，b=y-1，且+=1，x>0，y>1，

所以，a+2b=+2y-2==-=·+-=4++-≥+，當(dāng)且僅當(dāng)x=+1，y=時(shí)，取“=”.

注：當(dāng)遇到條件也是分式時(shí)，不要擔(dān)心做不出來(lái)，大膽嘗試換元法，小心求解，或許會(huì)收到意想不到的效果. 當(dāng)然解題時(shí)，還要注意配合使用“1”的代換這一方法.

變式訓(xùn)練3：已知正數(shù)x，y滿足+=1，求xy的最小值.

解：令2+x=a，2+y=b，解得x=a-2，y=b-2，且a>2，b>2，

所以+=1即為+=1，所以ab=3（a+b），

故xy=（a-2）（b-2）=ab-2（a+b）+4=a+b+4=（a+b）++4=10++≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時(shí)，取“=”，所以xy的最小值為16.

構(gòu)造成分式，因式分解助力換元

例4：已知x2-2xy-3y2=1，求x2+y2的最小值.

分析：本題雖是整式的形式，但注意到x2-2xy-3y2=1的特點(diǎn)，可以利用“1”的代換，將目標(biāo)函數(shù)式構(gòu)造成分式來(lái)進(jìn)行求解，即x2+y2可以轉(zhuǎn)化為.

解：x2+y2==（2）.

令a=x-3y，b=x+y，解得x=，y=，且ab=1，a與b同號(hào)，即>0，>0.

（2）式轉(zhuǎn)化為：==++2≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a2=，b2=時(shí)，取“=”，x2+y2的最小值為.

注：此題分母較為復(fù)雜，與前幾題的不同之處在于分母是二次，如果直接整體換元，分子則不能順利轉(zhuǎn)化為新的未知元. 仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，分母是可以因式分解為兩個(gè)一次因式積的形式，實(shí)質(zhì)上等價(jià)于前幾題通分后的結(jié)果，特征不變，解題方法也不變，換元！

變式訓(xùn)練4：設(shè)x>y≥0，z>0，向量a=（2x-3y，z-3y），b=（z+3y，x+4y），且a∥b，若不等式4x+5y≥kz恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解：因?yàn)閍∥b，所以（2x-3y）（x+4y）=（z-3y）（z+3y），

展開(kāi)整理后得，z2=2x2+5xy-3y2=（2x-y）（x+3y）.

令a=2x-y，b=x+3y，解得x=，y=，且a>0，b>0，

因?yàn)椴坏仁?x+5y≥kz恒成立，z>0，所以k≤，即求min.

因?yàn)?====++4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，=8，由于x>y≥0，z>0，所以，min=2，所以k≤2.

多次換元，結(jié)合常規(guī)方法，解題很輕松

例5：若實(shí)數(shù)x，y滿足2x2+xy-y2=1，求的最大值.

分析：仔細(xì)觀察本題，目標(biāo)函數(shù)式雖不可以因式分解處理，但條件所給出的等式可以因式分解，分解為兩個(gè)一次因式，即為2x2+xy-y2=（2x-y）（x+y），這一形式符合了我們此處解題的特征，亦可以采用換元的思想解決問(wèn)題.

解：令2x-y=m，x+y=n，解得x=，y=，且mn=1.

所以，=. 因?yàn)橐蟮淖畲笾?，所以m>n.

再令m-n=t，t>0，平方后得，m2+n2=t2+2，所以，=，分子分母同時(shí)除以t，=≤，當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，即x-2y=時(shí)取“=”，故的最大值為.

注：高考試題或模擬試題，往往具有很強(qiáng)的綜合性，我們大家在解題時(shí)，應(yīng)抓住題目的特征，靈活、多次應(yīng)用換元法，從而降低試題運(yùn)算的次數(shù)與難度，以提高解題的效率.

變式訓(xùn)練5：已知x，y滿足y<2x-2，y>-1，且2xy-y+2x=2，求的最小值.

解：2xy-y+2x=2可變形為（2x-1）（y+1）=1.

設(shè)2x-1=a，y+1=b，解得x=，y=b-1，且ab=1.

因?yàn)閤，y滿足y<2x-2，y>-1，所以a>0，b>0，

故=（3）.

再設(shè)a-b=m，平方得a2+b2=m2+2，其中m>0，

代入（3）得==m+≥6，當(dāng)且僅當(dāng)m=3，即當(dāng)x=，y=時(shí)取“=”，所以的最小值為6.

我們大家在利用換元法解決此類問(wèn)題時(shí)，要牢牢抓住此類題目的特征，靈活運(yùn)用減元消元的思想、因式分解、除法手段、“1”的代換等多種手段，來(lái)對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而將復(fù)雜形式“漂亮”化，題目的本質(zhì)必將暴露無(wú)疑，解題思路將會(huì)柳暗花明，解題也就水到渠成.