張志華 余隆蘭
[摘 要] 文章先從不定方程的一個特例入手,借助向量的工具進(jìn)行處理得到唯一解,這啟發(fā)我們?nèi)ニ伎计鋷缀我饬x:平面與球面相切,切點(diǎn)是唯一一個交點(diǎn),其坐標(biāo)即為方程組的解. 在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變換與推廣,就得出了一類不定方程組ax2+by2+cz2=d(a,b,c,d同號),Ax+By+Cz=D的完全解.
[關(guān)鍵詞] 不定方程;向量法;完全解
一些數(shù)學(xué)問題經(jīng)過轉(zhuǎn)化,最終可變成三元二次方程ax2+by2+cz2=d在限制條件Ax+By+Cz=D下解的情況,即求解不定方程組ax2+by2+cz2=d,Ax+By+Cz=D,所以有必要對這類方程組加以深入研究. 若給出一個限制條件:a,b,c,d同號,我們便能得到其完全解.
一個特例
先從一個特例入手:求解方程組x2+y2+z2=,①-8x+6y-24z=39.②
分析:咋一看,三個未知數(shù)兩個方程,未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù),似乎解不出來.若我們采用消元的思想,將②式變形為z=-x+y-,代入①式,再往下計算也極其煩瑣,而且未必解得出來. 那是否我們就束手無策了呢?
仔細(xì)一琢磨,我們從①②兩式的幾何意義入手,①式表示以原點(diǎn)為球心、半徑為的球面,②式表示空間中的一個平面. 這樣我們很容易聯(lián)想到借助向量方法來處理.
解析:設(shè)a=(x,y,z)為方程組的任意一組解(向量表示式),
b=(-8,6,-24)(表示平面的法向量),
則a·b=-8x+6y-24=39
另一方面,a·b=a·b·cosθ
=··cosθ
=39cosθ(θ為向量a,b的夾角),
所以39cosθ=39,cosθ=1.
注意到θ∈[0,π],故θ=0.
從而a與b共線,則存在非零實數(shù)t∈R,使得===t,
即x=-8t,y=6t,z=-24t,代入②,即得t=,x= -,y=,z=-.
驗證知x=-,y=,z=-是方程組的解.
反思:未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù),但卻只有唯一的解,這意味著什么呢?聯(lián)想到兩個方程的幾何意義,只有這樣一種情況:平面與球面相切,切點(diǎn)是唯一一個交點(diǎn),其坐標(biāo)即為方程組的解. 我們只需檢驗球心O(0,0,0)到平面π:8x-6y+24z+39=0的距離ρ是否等于球的半徑r即可,ρ===r,ρ果然恰好等于r!這樣方程組的解為x=-,y=,z=-,是十分容易理解的了.
那么,若ρ不等于r時結(jié)果又如何呢?受到上述思路的啟發(fā),我們易知:若ρ>r,此時平面與球面相離,二者無交點(diǎn),方程組無解;若ρ 一般情況 回到文章開始提出的問題,有上述特例做基礎(chǔ),我們就可以迎刃而解了.處理的思路如下:不妨設(shè)a,b,c,d>0,否則,只需方程兩邊同乘以(-1),就轉(zhuǎn)化成上述情況.先做伸縮變換x′=x,y′=y,z′=z,原方程組就變成(x′)2+(y′)2+(z′)2=d,x′+y′+z′=D, 再令A(yù)′=,B′=,C′=,問題即轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型(x′)2+(y′)2+(z′)2=d,A′x′+B′y′+C′z′=D(?鄢). 以下我們先考慮球心O′(0,0,0)到平面π:A′x′+B′y′+C′z′-D=0的距離ρ=與半徑r=的關(guān)系,以此作為分類討論的標(biāo)準(zhǔn). (1)若ρ>r時,平面與球相離,方程組(?鄢)無解,從而原方程無解; (2)若ρ=r時,此時平面與球相切,二者有唯一交點(diǎn)即切點(diǎn),方程組(?鄢)有唯一解,可參照類似特例的方法,采用向量工具來處理,可得方程組(?鄢)的唯一解為x′=,y′=,z′=,從而原方程組的解為x=,y=,z=, 即x=,y=,z=; (3)若ρ r′==. 以下我們來確定此圓的圓心P(xP,yP,zP). 注意到向量(xP,yP,zP)與平面π的法向量n(A′,B′,C′)共線,故存在非零實數(shù)t∈R,使得xP=A′t,yP=B′t,zP=C′t,再在平面π:A′x′+B′y′+C′z′=D上任取一點(diǎn)Q(x0,y0,z0)(x0,y0,z0只需滿足A′x0+B′y0+C′z0=D即可),則(xP-x0,yP-y0,zP-z0)與n(A′,B′,C′)垂直,從而·n=0,即A′(xP-x0)+B′(yP-y0)+C′(zP-z0)=0. 故 因此方程組(?鄢)的解表示平面π上的以P(xP,yP,zP)為圓心,半徑為 r′=的一個圓,即(x′-xP)2+(y′-yP)2+(z′-zP)2=(r′)2,A′x′+B′y′+C′z′=D. (其顯式可由球面的參數(shù)方程給出,但較為煩瑣,本文限于篇幅,不詳加探討).從而原方程組的解表示的是以P,,為中心,三條主半軸長分別為,,的橢球面與平面π的交線,即為橢圓++=1,Ax+By+Cz=D. 至此,已給出了此類方程組ax2+by2+cz2=d(a,b,c,d同號),Ax+By+Cz=D的完全解.