關(guān)注基本圖形，滲透數(shù)學(xué)思想
——2017年浙江溫州中考第24題解法賞析與教學(xué)啟示

☉浙江省樂(lè)清市大荊鎮(zhèn)第一中學(xué) 俞衛(wèi)勝

☉浙江省溫州市教研室 章才岔

一、寫在前面

2018年的中考已悄悄來(lái)臨，作為九年級(jí)的教師，研究歷年的中考題顯得非常重要，尤其是關(guān)鍵問(wèn)題，如選擇題第10題，填空題第16題，綜合題第24題等.2017年溫州市中考數(shù)學(xué)壓軸題較往年有了新的變化，在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中注重邏輯推理，考查學(xué)生在變化過(guò)程中對(duì)圖形的分析能力，提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)在分類上難度降低了，讓更多的學(xué)生能正確分類，在解法上凸顯多樣性、層次性.試題內(nèi)涵豐富，突出對(duì)基本圖形，數(shù)學(xué)思想方法的考查.本文從試題、解法賞析、點(diǎn)評(píng)，變式再探，教學(xué)啟示等幾方面嘗試研究，并整理成文，供分享與研討.

二、試題呈現(xiàn)

如圖1，已知線段AB=2，MN⊥AB于點(diǎn)M，且AM=BM，P是射線MN上一動(dòng)點(diǎn)，E，D分別是PA，PB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，M，D的圓與BP的另一交點(diǎn)C（點(diǎn)C在線段BD上），連接AC，DE.

（1）當(dāng)∠APB=28°時(shí)，求∠B和C（M的度數(shù).

（2）求證：AC=AB.

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

（ⅰ）當(dāng)MP=4時(shí)，取四邊形ACDE一邊的兩端點(diǎn)和線段MP上一點(diǎn)Q，若以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，且Q為銳角頂點(diǎn)，求所有滿足條件的MQ的值；

（ⅱ）記AP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為F，將點(diǎn)F繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在MN上時(shí)，連接AG，CG，DG，EG，直接寫出△ACG和△DEG的面積之比.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于動(dòng)態(tài)探究綜合題，巧妙地將圓與三角形有機(jī)融合在一起，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)P的位置變化，帶動(dòng)圓及整個(gè)圖形的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)又隱含著圖形的形狀不變，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，內(nèi)涵豐富，考查了圓周角定理，直角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形等核心知識(shí).解題的關(guān)鍵是能夠厘清題中隱含著的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造基本圖形，滲透方程，數(shù)形結(jié)合，分類討論，對(duì)稱變換等數(shù)學(xué)思想方法.題中，以動(dòng)點(diǎn)P為導(dǎo)火線，引起圖形形狀、數(shù)量的變化，但也蘊(yùn)含著動(dòng)中不變的量，隱含著許多經(jīng)典的基本圖形.總體設(shè)計(jì)由易到難逐步推進(jìn)，梯度合理.入口易，深入難，解題方法多樣.在整個(gè)圖形中雖然線條較多，但沒(méi)有重疊部分，總體上具有一定的關(guān)系，整體構(gòu)思很嚴(yán)密，既注重邏輯推理，又凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì).

圖1

三、解法賞析

（1）∠B=76°，C（M的度數(shù)56°.

點(diǎn)評(píng)：利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，并結(jié)合直角三角形兩銳角互余，容易得到∠B的度數(shù).求C（M的度數(shù)，關(guān)鍵將弧的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓周角，此題結(jié)合D是中點(diǎn)，如圖2，添加MD這條中位線顯得比較自然，從而求出C（M的度數(shù).

（2）利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠MDC=∠MAC.而∠MDC=∠APB，即 ∠MAC=∠APB，所以∠ACB=∠BAP=∠B，從而得到AB=AC.

點(diǎn)評(píng)：這題設(shè)置在第（2）小題，命題者的意圖是利用第（1）小題，引導(dǎo)學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，凸顯從特殊到一般的思維方式，第（1）小題為第（2）小題的解決作了思維的鋪墊，但測(cè)試中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都是利用第（1）小題的28°，計(jì)算出兩個(gè)底角的度數(shù)，從而得到AB=AC.這說(shuō)明學(xué)生審題不是很仔細(xì)，在平時(shí)教學(xué)中要引起重視.

（3）（?。└鶕?jù)四邊形ACDE一邊的兩端點(diǎn)及Q為銳角頂點(diǎn)這兩個(gè)條件，可以分四類進(jìn)行分類討論.

①如圖3，以AE為一邊，只有∠PEQ1=90°.

圖2

圖3

②如圖4，以DE為一邊，這種情況不存在Q為銳角頂點(diǎn)的直角三角形.

③如圖5，以CD為一邊，只有∠PCQ2=90°及∠PDQ1=90°（由等腰三角形的軸對(duì)稱性可得這種情況與第1種情況一樣），所以只要探究∠PCQ2=90°即可.

圖4

圖5

由（2）知，△ABC∽△PAB，則AB2=BC·BP，

④以AC為一邊，只有∠ACQ3=90°，連接AQ3.

方法1：如圖6，因?yàn)椤螦CQ3=∠AMP=90°，易得Q3就是MP與圓的交點(diǎn).

圖6

圖7

圖8

方法3：如圖8，過(guò)C作CK∥MN交AB于點(diǎn)K，過(guò)Q3作Q3J⊥KJ交KC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J.

點(diǎn)評(píng)：比較往年的溫州中考第24題，在分類上難度降低了，消除學(xué)生分類不知如何分，分不全的思維盲點(diǎn)，注重解法的多樣化，不同的分類在解法上都有所不同，每一類解法的思路形成需要心中有個(gè)基本圖形，能從復(fù)雜圖形中透視出最基本的圖形，從而實(shí)現(xiàn)各個(gè)量之間的聯(lián)系，通過(guò)設(shè)元，利用相似，勾股等建立方程，滲透了分類討論，數(shù)形結(jié)合，方程等數(shù)學(xué)思想方法.其中第4類我給出了3種方法，方法1凸顯巧法，若學(xué)生能看到Q就是MN與圓的交點(diǎn)，利用勾股定理就容易解決了，考查學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)能力.但是在實(shí)際考試中，很多學(xué)生看不到這個(gè)特殊性，往往受很多因素影響.而方法2，方法3則能真正體現(xiàn)出通法.

（ⅱ）如圖9，過(guò)C作CR⊥AB交AB于點(diǎn)R，易得△DEG是等邊三角形，則DE=DG=DF， 結(jié) 合 ∠GDF=90°，得∠DEF=∠DFE=75°，則∠BAP=∠B=75°，易得∠BAC=∠BPA=30°，所以AC=2RC=2AM.連接MD，易得AM=DF，MD=DN=DB，所以∠DMP=∠DPM=15°，結(jié)合∠DGP=∠DGE=30°，易得GM=GD，所以GM=RC，即四邊形MRCG為矩形.

圖9

點(diǎn)評(píng)：要善于去挖掘AM＝MB＝MG＝DG＝CR＝GE＝DE＝DF這個(gè)重要的信息.連接它們之間的橋梁涉及到三角形的中位線、等腰三角形、矩形、直角三角形等知識(shí)，其中關(guān)鍵的地方在于圖中角的求出，這個(gè)看似沒(méi)有給予角的度數(shù)卻隱藏在圖形之中.

四、變式再探

（2018年溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模第24題）如圖10，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，以BC為直徑為⊙O，交AB于點(diǎn)D，分別過(guò)點(diǎn)C，D作⊙O的切線交于點(diǎn)E，DE交AC于點(diǎn)F，連接AE，CD.

（1）當(dāng)∠BCD＝25°時(shí)，求∠BAC的度數(shù)；

（2）求證：AE∥BC；

（3）當(dāng)∠B＝60°時(shí)，取四邊形BCFD一邊的兩端點(diǎn)和射線OA上一點(diǎn)P，若以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，且P為銳角頂點(diǎn)，求所有滿足條件的OP的值；

（4）連接EO，交AC于M，⊙O交射線OA于點(diǎn)N，連接DM，當(dāng)DM過(guò)點(diǎn)N時(shí)，則AO的長(zhǎng)為_(kāi)____________（直接寫出答案）.

圖10

五、教學(xué)啟示

1.重視挖掘題中的基本圖形

經(jīng)典試題常伴隨著基本圖形的痕跡，可見(jiàn)基本圖形非常重要，它是題中之源、之根，只有挖掘題根，才能從根本上解決問(wèn)題.在平時(shí)學(xué)習(xí)中，若沒(méi)有很好地加以積累、總結(jié)、內(nèi)化.遇到復(fù)雜的圖形，便會(huì)顯得無(wú)從下手，找不到解決問(wèn)題的方法.如本題中，就包含這樣一些基本圖形，如圖11，圖12，圖13，圖14.

圖11

圖12

圖13

圖14

2.重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)思想是聯(lián)系知識(shí)和能力的紐帶，是形成數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法的靈活.本題通過(guò)設(shè)元，用未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的線段，并利用勾股定理建立方程，這種設(shè)元建立方程的思想非常重要.另外題中還涉及到分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法.在日常教學(xué)中，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，對(duì)典型問(wèn)題的分析不能就題論題，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生追求解題成果的深化和擴(kuò)大，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三，提煉共性，真正內(nèi)化為自身的數(shù)學(xué)能力.

3.提倡問(wèn)題解法的多樣化

一題多解，可以開(kāi)闊學(xué)生思路，發(fā)散學(xué)生思維，使學(xué)生學(xué)會(huì)多角度分析和解決問(wèn)題.對(duì)同一道題多種解法的探究非常重要，在解題教學(xué)中，當(dāng)呈現(xiàn)一種解法后，教師要及時(shí)追問(wèn)一句：還有其他解法嗎？學(xué)生由此展開(kāi)不同思路的探究與交流.教師的這種基于解法多樣性需求的追問(wèn)，能在短暫時(shí)間內(nèi)激活學(xué)生的求異思維，生成與已有解法不同的思路或方法，對(duì)學(xué)生思維訓(xùn)練和能力提升是有利的.在多解之后教師要引導(dǎo)學(xué)生提煉各種解法的共性，進(jìn)行多解歸一，這可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理解，促進(jìn)對(duì)通性通法的認(rèn)識(shí)，提高解題技巧與能力.

4.關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)涵

現(xiàn)行中考試題加大了對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的探究，弱化了對(duì)特殊技巧的考查，這需要教師在平時(shí)的解題教學(xué)中善于就問(wèn)題進(jìn)行分析、挖掘，尋到隱含在其中的本質(zhì)內(nèi)涵，才能有效地形成解題思路.因此，在平時(shí)的教學(xué)中，我們要把數(shù)學(xué)本質(zhì)性的問(wèn)題滲透到教學(xué)的全過(guò)程，使學(xué)生不僅學(xué)好概念、定理、法則等內(nèi)容，而且能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，把握蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并通過(guò)不斷積累，逐漸內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，形成解決問(wèn)題的自覺(jué)意識(shí)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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