抓住圖形變化本質(zhì)，“變換”視角追根溯源
——中考第一輪復(fù)習(xí)“圖形的變換”設(shè)計(jì)

☉湖北武漢市鋼城第二中學(xué) 龍金鳳

初中階段“圖形變換”主要涉及圖形的軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及位似.不同變換下的圖形都有各自的性質(zhì)，這些性質(zhì)不僅能為合理推理提供依據(jù)，同時(shí)也是解決許多實(shí)際問題的重要工具.圖形變換考查學(xué)生對基本圖形本質(zhì)的理解，又能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐與操作能力，形成空間觀念和運(yùn)動(dòng)變化的意識(shí)［1］，也是中考的熱點(diǎn)與難點(diǎn).在中考復(fù)習(xí)中，怎樣讓學(xué)生能夠?qū)⑷陮W(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行梳理并提升知識(shí)板塊間的深層次認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效率呢？筆者在近期進(jìn)行了一次第一輪復(fù)習(xí)的研討課，談?wù)勛约旱南敕白龇?，以供大家一起研?

一、案例分析

1.課前憶學(xué).

（1）思考：平面內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，如何讓點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處？

按一定的方法把一個(gè)圖形變成另一個(gè)圖形，叫作幾何變換.

問題1：初中階段我們學(xué)過哪幾類幾何變換？

問題2：教材是如何定義的？

問題3：它們有哪些性質(zhì)？

請同學(xué)們完成下表1：

表1

課中追問：

（1）平移的性質(zhì)梳理時(shí)，追問：為什么平移中對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或共線）且相等呢？

（2）在三種變換共同點(diǎn)的梳理時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們都是全等變換.追問：有沒有不全等的變換？將相似變換補(bǔ)充到知識(shí)體系中.

設(shè)計(jì)意圖：（1）通過提出圖形變換中最本質(zhì)的問題——點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生回顧復(fù)習(xí)初中階段學(xué)習(xí)的變換.學(xué)生能夠想到按照平移、軸對稱、中心對稱及普通的旋轉(zhuǎn)達(dá)到運(yùn)動(dòng)的效果.為學(xué)生梳理這幾類變換都是按照一定的方法把一個(gè)圖形變成另一個(gè)圖形，也就是幾何變換，切入本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容.

（2）回歸課本，梳理三類變換的概念及性質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生梳理性質(zhì)時(shí)從點(diǎn)、線、面的層面關(guān)注變換前后兩個(gè)圖形間的關(guān)系.同時(shí)在課中追問：為什么平移中對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或共線）且相等呢？讓學(xué)生體會(huì)對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或共線）是由于平移的方向一樣，對應(yīng)點(diǎn)的連線相等是由于平移的距離一樣.也讓學(xué)生能夠體會(huì)幾何圖形間的關(guān)系包括數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

2.目標(biāo)導(dǎo)學(xué).

表2

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生能夠明確知道中考要求學(xué)生會(huì)利用圖形的變換作圖及利用圖形變換的性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用.

3.集中研學(xué).

復(fù)習(xí)平面圖形中最基本的元素——點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的變化規(guī)律：

（1）點(diǎn)P（x，y）向右平移a個(gè)單位，再向上平移b個(gè)單位長度，得到的對應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為_____.

（2）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為____.

點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P3的坐標(biāo)為____.

（3）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P4的坐標(biāo)為____.

設(shè)計(jì)意圖：先從點(diǎn)的變化規(guī)律復(fù)習(xí)，再逐步發(fā)展到線（直線、曲線）、面（平面圖形）的運(yùn)動(dòng)變換.

例1如圖1，在直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、C（3，0）.

①畫出線段AC關(guān)于y軸的對稱線段AB.

②將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，得到對應(yīng)線段CD，使得AD∥x軸，請畫出線段CD.

③寫出從線段AB到線段DC的變換過程.

④寫出從線段AB到線段CD的變換過程.

課中追問：（1）在第①問完成后，追問學(xué)生：AC還可以怎樣變換到AB？

（2）在第②問中，追問學(xué)生：需要什么作圖工具？

（3）從線段AB到線段DC與到線段CD有何不同？

設(shè)計(jì)意圖：（1）本題為武漢市2014年與2015年中考題目的融合，考查學(xué)生的作圖能力.其中第一問考查學(xué)生的軸對稱變換，在追問①中讓學(xué)生用不同的變換視角看待問題，將靜態(tài)的平面圖形“動(dòng)態(tài)”化，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力.

（2）從線段AB到線段DC的過程可以是平移、也可以是先沿y軸軸對稱（或旋轉(zhuǎn)）再沿直線x=3軸對稱（或旋轉(zhuǎn)）得到，讓學(xué)生能夠體會(huì)到幾種運(yùn)動(dòng)變換之間的關(guān)聯(lián).

（3）通過第③和④問的對比，讓學(xué)生能夠再次體會(huì)變換前后圖形的對應(yīng)關(guān)系.

圖1

為曲線C1，將其向左平移2個(gè)單位長度，得到曲線C2，請?jiān)趫D中畫出C2，并直接寫出C1平移至C2處所掃過的面積并思考：能求出C2的解析式嗎？

課中追問：除了將C1平移，我們還可能將C1進(jìn)行什么樣的變換呢？請獨(dú)立思考，設(shè)計(jì)一種與變換相關(guān)的題目，課后與同學(xué)交流.

設(shè)計(jì)意圖：（1）本題選自2016年武漢市中考，讓學(xué)生通過中考來感受對圖形變換的考查.

（2）由例1直線型的變換過渡到曲線型的變換，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)動(dòng)變換的本質(zhì)是點(diǎn)的變換.

（3）讓學(xué)生自己想象C1的運(yùn)動(dòng)變換，激發(fā)學(xué)生的空間想象能力，思考C2的解析式的求法，發(fā)展學(xué)生的推理能力.

圖2

圖3

解法1：解法2：

圖4

圖5

課中追問：

（1）線段AB和AC有什么關(guān)系？

（2）∠BAD與∠CAE有什么關(guān)系？

（3）我們?nèi)绾螌D、CE以及相關(guān)信息合理利用呢？

設(shè)計(jì)意圖：（1）本題選自2017年武漢市中考，為學(xué)生提供最直接的中考考題方式.

（2）利用有公共端點(diǎn)的相等線段的信息，以及∠BAD+∠CAE＝60°這兩方面把關(guān)于線段和角的信息整合，引導(dǎo)學(xué)生用變換的角度思考問題.

（3）利用“合”的想法產(chǎn)生解法1，利用“分”的想法產(chǎn)生解法2，與證線段和與差中的“截長補(bǔ)短”的思想方法的內(nèi)核相通.讓學(xué)生能夠體會(huì)運(yùn)動(dòng)變換后可以將圖形中的線段及角這些分散的信息集中.

練習(xí)2：如圖6，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°，若DF＝3，EF＝，則AD的長為________.

解法1：

圖7

圖6

解法2：（化歸為例2）

圖8

解法3：（相似）

圖9

課中追問：（1）目前可以挖掘一些什么信息？和例2比起來有什么區(qū)別呢？是否還是可以借助例2的想法呢？

（2）此題和例2的區(qū)別在于載體變成了四邊形，45°的角在∠DAB中，但∠DAB所在的不是三角形，你能夠化歸成與例2類似的情況嗎？

設(shè)計(jì)意圖：（1）發(fā)展學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生活學(xué)活用，不拘泥于之前老師總結(jié)的解題規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生遇到新題目如何思考問題.

（2）引導(dǎo)學(xué)生抓住核心要素，思考需要集中的信息有哪些？我們?nèi)绾芜M(jìn)行集中？遇到新題目的呈現(xiàn)，我們?nèi)绾位瘹w為已學(xué)過的知識(shí).

二、課后思考

1.抓住本質(zhì)，尋找知識(shí)的生長點(diǎn).

第一輪復(fù)習(xí)起到了知識(shí)梳理與整合的作用，應(yīng)以學(xué)生為知識(shí)梳理的主體，讓他們自主經(jīng)歷題組解答和互動(dòng)交流的過程，推動(dòng)基礎(chǔ)知識(shí)的有效入網(wǎng)［2］.本節(jié)課著手于圖形的運(yùn)動(dòng)變化，以點(diǎn)、線、面的方式鋪開，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)思考問題，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)變換的作用，為學(xué)生的中考復(fù)習(xí)備考提供有力支撐.

2.培養(yǎng)學(xué)生能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何思考.

在平時(shí)的教學(xué)中，教師常給學(xué)生總結(jié)各種幾何基本圖形的方法，學(xué)生機(jī)械化記憶或者訓(xùn)練能夠讓學(xué)生形成條件反射，可是為什么我們要這樣作輔助線呢？學(xué)生可能并沒有理解.基于對知識(shí)本身的追溯，引導(dǎo)學(xué)生如何思考應(yīng)成為教師教學(xué)中的著力點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、聯(lián)想，形成自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).

如果教師能夠幫助學(xué)生在中考備考中梳理好知識(shí)脈絡(luò)，形成知識(shí)體系，打通各個(gè)知識(shí)板塊中的關(guān)聯(lián)，做到心中有教材，心中有學(xué)生，多引導(dǎo)學(xué)生思考問題的本源，可以提高學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的成就感，實(shí)現(xiàn)有效中考復(fù)習(xí)備考，為考生助一臂之力.

參考文獻(xiàn)：

1.黃云興.圖形變換問題在中考中的應(yīng)用探究［J］.新課程學(xué)習(xí)（上），2014（7）.

2.孫來扣.中考復(fù)習(xí)，從“起點(diǎn)”再出發(fā)——以“一次方程（組）”復(fù)習(xí)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（6）.