例談“函數(shù)圖像問題”的解題策略

☉江蘇省南通市第一中學(xué) 瞿子茗

在高考數(shù)學(xué)考查范圍中，函數(shù)占據(jù)了重要的地位.函數(shù)的類型千變?nèi)f化，解法也靈活多變.對于一些高次函數(shù)或是超越函數(shù)，對待它們一般只能選擇用導(dǎo)數(shù)來求解，不過，一旦遇見常規(guī)的函數(shù)，解決方法就變得多樣化了.因?yàn)榛竞瘮?shù)是可以用圖像來表示的函數(shù)，所以，圖像法就成了最能直觀反映出函數(shù)特征的函數(shù)解題方法.

不妨以以下幾個(gè)例題為例，來探究一下函數(shù)圖像問題的解題策略.

解析：高中有關(guān)函數(shù)知識(shí)常見的題型就是將函數(shù)的零點(diǎn)問題與函數(shù)圖像相結(jié)合，一般談及零點(diǎn)存在問題，必然最后要使用函數(shù)圖像直觀觀察，用所變換而得的函數(shù)交點(diǎn)來決定參數(shù)變量的范圍.

本題中所給出的函數(shù)較為混雜，存在分?jǐn)?shù)函數(shù)及二次函數(shù)，甚至分?jǐn)?shù)函數(shù)的分子未知數(shù)出現(xiàn)絕對值，顯然無法畫出函數(shù)的圖像，所以應(yīng)當(dāng)使用分離參數(shù)的基本思想使之適當(dāng)變形，將參變量與未知量分開與放在號(hào)兩側(cè).仔細(xì)觀察題目易知x=0，即為其中一個(gè)零點(diǎn)，所以k的范圍只需滿足存在且僅有第二個(gè)零點(diǎn)即可.將原函數(shù)適當(dāng)轉(zhuǎn)化：令（fx）.不過這樣的函數(shù)還是顯得有些別扭，再作變形，可得=|x（|x+2）.因此，y=1的圖像有1個(gè)交點(diǎn)，畫出y2的圖像，如圖1：

綜上所述：0＜k＜1或k＜0，即得正解.

點(diǎn)評：由上例題可知，在遇到零點(diǎn)問題時(shí)活用圖像法，將函數(shù)用分離參數(shù)或者通過一系列的變化轉(zhuǎn)化為淺顯易懂的函數(shù)，畫出圖像，從而使原本相對煩瑣的函數(shù)問題迎刃而解.

圖1

解析：本題中所給的原函數(shù)f（x）顯得比較常規(guī)，此分段函數(shù)極易畫出其圖像，如圖2，但是本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于所要求的函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，這為畫圖尋找零點(diǎn)增加了諸多不便，因此我們可以通過先畫出f（x）的圖像，再進(jìn)行分段討論得出答案.

（1）當(dāng)x≤0時(shí)，y=f［f（x）］-1=f（2x）-1=log22x-1=x-1.

寫字樓林立的杭州文三路上，一場餐飲新零售的變革正在上演。排隊(duì)、點(diǎn)餐、下單、取餐，整個(gè)用餐過程的核心環(huán)節(jié)全部依靠消費(fèi)者獨(dú)立完成，就連菜品推薦、營銷方案也都由系統(tǒng)基于口碑大數(shù)據(jù)自主完成。這個(gè)有別于傳統(tǒng)快餐門店的五芳齋無人智慧餐廳，處處散發(fā)著科技的色彩，自助點(diǎn)餐、智能取餐柜、24 小時(shí)無人零售機(jī)等新元素都一一落地。

令y=f［f（x）］-1=0，得x=1（舍去）.

（2）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，y=f［f（x）］-1=f（log2x）-1=2log2x-1=x-1.

令y=f［f（x）］-1=0，x=1（符合）.

（3）當(dāng)x＞1時(shí)，y=f［f（x）］-1=f（log2x）-1=log2（log2x）-1=x-1.

令y=f［f（x）］-1=0，得x=4（符合）.

所以，一共存在2個(gè)零點(diǎn)，分別為x=1和x=4.

圖2

例3已知周期為4的函數(shù)則方程3（fx）=x根的個(gè)數(shù)為______.

解析：本題是一道有關(guān)周期函數(shù)的題目，因此只須畫出其中一個(gè)周期的圖像即可.先將3（fx）=x轉(zhuǎn)化為（fx）=x方便解題，作出圖像，如圖3：

觀察圖像知，有3個(gè)根.

點(diǎn)評：應(yīng)對周期函數(shù)問題，應(yīng)當(dāng)先畫出其中一個(gè)周期的函數(shù)圖像，再尋找規(guī)律，通過圖像直觀分析出函數(shù)與函數(shù)之間的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程根的個(gè)數(shù).

例4（2015年江蘇卷13）已知函數(shù)f（x）=|lnx|，g（x）=，則方程|f（x）+g（x）|=1實(shí)根個(gè)數(shù)為______.

圖3

解析：本題中所給出的f（x）與g（x）圖像都可以通過解析式較易繪出，但由于|f（x）+g（x）|存在絕對值，且兩者相加即成為超越函數(shù)，因而圖像無法畫出.對于超越函數(shù)，第一想法就是求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)的圖像來解決原函數(shù)的實(shí)根個(gè)數(shù)問題.由此可有解法一：

解法一：不妨設(shè)h（x）=f（x）+g（x），f（x）+g（x）=±1，分段考慮函數(shù)：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，h（x）=-lnx，h（x）的值域?yàn)椋?，+∞），且該函數(shù)單調(diào)遞減，故存在1個(gè)實(shí)根；當(dāng)1＜x≤2，h（x）=lnx-x2+2，那么對h（x）進(jìn)行求導(dǎo)所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此函數(shù)h（x）的值域?yàn)椋踠n2-2，1），又因?yàn)閘n2-2＜-1，故存在一個(gè)實(shí)根；當(dāng)h（x）=lnx+x2－6，該函數(shù)在（2，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)的值域?yàn)椋╨n2-2，+∞），故存在2個(gè)實(shí)根.綜上所述，該方程一共存在4個(gè)實(shí)根.

此法是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用.那是否可以用直觀的圖像法來解決實(shí)根問題？答案是肯定的.由此我們可以得出解法二：

圖4

解法二：由|f（x）+g（x）|=1可得f（x）+g（x）=±1，即g（x）=-f（x）±1，原問題就等價(jià)于函數(shù)y=g（x）與y=-f（x）+1或y=g（x）與y=-f（x）-1的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可在同一平面直角坐標(biāo)系中作數(shù)y=g（x），y=-f（x）+1，y=-f（x）-1的圖像，如圖4所示：

y=g（x）與y=-f（x）+1有2個(gè)交點(diǎn)，y=g（x）與y=-f（x）-1有2個(gè)交點(diǎn).

綜合上述，由圖像可知，方程有4個(gè)實(shí)根.

點(diǎn)評：這類實(shí)根問題，如果遇見高次或超越型的函數(shù)，在無法直接利用圖像進(jìn)行明確表示時(shí)，可直接利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分段討論；當(dāng)然也可以對該方程進(jìn)行適當(dāng)變形，通過圖像觀察兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，同樣也可以視作該方程的實(shí)根.一種題目未必只存在一種解決方案，可以通過代數(shù)運(yùn)算和幾何方法同時(shí)進(jìn)行解決.F