從邏輯推理角度對(duì)中學(xué)幾何的研究

☉江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué) 李曉艷

邏輯推理與數(shù)學(xué)有著密不可分的關(guān)系，數(shù)、形都是人類(lèi)在實(shí)踐過(guò)程中抽象出來(lái)的概念，其數(shù)學(xué)對(duì)象表現(xiàn)形式非常簡(jiǎn)單，與其他事物的物理性質(zhì)沒(méi)有聯(lián)系，只單純地表現(xiàn)出客觀的事物特征及空間關(guān)系和形式，也就是說(shuō)其是說(shuō)明事理最理想的模型.邏輯推理的依據(jù)具有不同的思維方向，并且歸納整理、類(lèi)比推理及演繹推理都各有不同，目前最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木褪茄堇[推理.

一、幾何意義及課程改革現(xiàn)狀

1.幾何學(xué)的意義

幾何具有較高的實(shí)用價(jià)值及自然價(jià)值.由于現(xiàn)實(shí)世界中人們所看到的物體都是物質(zhì)形態(tài)，比數(shù)量關(guān)系更加直接和具體.形在自然中表示物體存在的外殼，能夠?yàn)槿藗冎苯犹峁┡R摹.自然界中沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)的幾何圖形，但是在生活及實(shí)踐過(guò)程中，人們不斷構(gòu)造出多種形狀的物品，這些物品的出現(xiàn)為人們提供了相互比較的機(jī)會(huì)，獲取了具有抽象意義的幾何圖形及能力，從而創(chuàng)建了幾何概念，在我們的生活過(guò)程中，處處充滿(mǎn)著立體幾何.

2.幾何課程改革現(xiàn)狀

我國(guó)《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》自制定到目前已經(jīng)經(jīng)歷了多次修改，這就體現(xiàn)了我國(guó)教育部門(mén)對(duì)于數(shù)學(xué)教育的改革在不斷地探索，對(duì)于現(xiàn)實(shí)社會(huì)的需求及社會(huì)的未來(lái)發(fā)展，選取在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有較高應(yīng)用價(jià)值的知識(shí)，調(diào)整其內(nèi)容結(jié)構(gòu).在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，高中數(shù)學(xué)的改革滿(mǎn)足了人們的發(fā)展需求及社會(huì)進(jìn)步的需求，首先，要求學(xué)生具有數(shù)學(xué)基本知識(shí)、技能及思想；另外，提高學(xué)生演繹證明、直覺(jué)猜想、空間想象、運(yùn)算求解、體系構(gòu)建等能力；最后，要求學(xué)生具有提出、分析及解決問(wèn)題的能力，并且具有創(chuàng)新意識(shí)及數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

幾何教育的主要價(jià)值就是：通過(guò)使學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何，以此提高自身把握空間及圖形能力，使其更好地理解及認(rèn)知人類(lèi)生存空間.［1］

二、從邏輯推理角度看中學(xué)幾何教學(xué)的改革研究

幾何教學(xué)不僅具有形象思維，還具有邏輯思維.在目前信息時(shí)代中，現(xiàn)實(shí)生活中越來(lái)越多的問(wèn)題都需要通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助處理，幾何圖形是一種待遇語(yǔ)言，編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序的工作是非常普遍的.數(shù)學(xué)課程改革的基本理念就是發(fā)展性及基礎(chǔ)性，高中學(xué)生在義務(wù)教學(xué)階段實(shí)現(xiàn)了平面幾何的學(xué)習(xí)，為培養(yǎng)自身邏輯推理能力打下了良好的基礎(chǔ)，步入高中階段，學(xué)習(xí)立體幾何，能夠滿(mǎn)足自身發(fā)展及社會(huì)發(fā)展的需求.

數(shù)學(xué)新課程的基本理念就是面向?qū)W生，使每個(gè)人都能夠?qū)W到具有價(jià)值的數(shù)學(xué)，使不同的人能夠在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)之后得到不同的發(fā)展.總有人說(shuō)幾何特別難學(xué)，其實(shí)將數(shù)學(xué)的美術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生容易接受的教育形態(tài)，那么幾何學(xué)起來(lái)就容易多了.［2］

例1（2017年江蘇高考數(shù)學(xué)試題第15題）如圖1，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD、BD上，且EF⊥AD.

圖1

（1）求證：EF∥平面ABC；

（2）求證：AD⊥AC.

分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行的判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結(jié)合平幾知識(shí)，如三角形中位線性質(zhì)，以及利用柱體性質(zhì)，如上下底面對(duì)應(yīng)邊相互平行；（2）證明線線垂直，一般從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面垂直的證明，可以利用面面垂直的性質(zhì)定理.

證明：（1） 在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.因?yàn)锳B?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC.

（2）因?yàn)锽C⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以BC⊥平面ABD.因?yàn)锳D?平面ABD，所以BC⊥AD.因?yàn)锳B⊥AD，BC，AD?平面ABC，BC∩AD=B，所以AD⊥平面ABC.又AC?平面ABC，所以AD⊥AC.

例2（2017年高考數(shù)學(xué)理（全國(guó)Ⅰ卷）第18題）如圖2，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

圖2

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD.

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角APB-C的余弦值.

分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)即可求得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系即可.

解：（1）因?yàn)锳B∥CD，CD⊥PD，所以AB⊥PD.

又因?yàn)锳B⊥PA，PA∩PD=P，PA?面PAD，PD?面PAD，故而可得AB⊥面PAD.又AB?面PAB，故而平面PAB⊥平面PAD.

處理立體幾何問(wèn)題，最大的難點(diǎn)在于空間想象力.學(xué)生在義務(wù)教育階段已經(jīng)掌握了平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，要進(jìn)一步學(xué)好立體幾何，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，可不是那么容易的事情.很多學(xué)生由于空間想象力不夠，一看到立體幾何就不知所措.而產(chǎn)生這種困難的原因是立體幾何比平面幾何的研究對(duì)象多了一個(gè)“面”，而多出的一個(gè)“面”，使得在平面幾何中點(diǎn)和直線之間的三種位置關(guān)系拓展為立體幾何中，點(diǎn)、直線、平面之間的六種位置關(guān)系.

因此，學(xué)好立體幾何，首先，應(yīng)提高學(xué)生的空間想象力，要能根據(jù)畫(huà)在平面上的“立體”圖形，想象出原來(lái)空間圖形的真實(shí)形狀.其次，應(yīng)熟練掌握好書(shū)本上的公理、定理及推論，因?yàn)闀?shū)寫(xiě)的規(guī)范性也是高考的重要考查點(diǎn)之一，在學(xué)習(xí)或解決立體幾何問(wèn)題的時(shí)候，可以用手邊現(xiàn)有的筆、直尺、書(shū)本之類(lèi)的東西搭出一個(gè)圖形框架，可以很好地幫助提高空間想象能力.第三，學(xué)好立體幾何，還應(yīng)不斷提高各方面的能力.學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷進(jìn)步的過(guò)程，我們應(yīng)不斷地將所學(xué)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，從整體到局部、從高層到低層來(lái)認(rèn)識(shí)，從所學(xué)的知識(shí)中悟出隱含的思想方法.同時(shí)，可以將同類(lèi)型的問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，例如，線面平行與面面平行，線面垂直與面面垂直，通過(guò)比較它們的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，從而形成一個(gè)整體的知識(shí)體系.此外，還要注意解決問(wèn)題的策略，將面面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面問(wèn)題，再把線面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線問(wèn)題等，從探索未知問(wèn)題到發(fā)現(xiàn)已知問(wèn)題，進(jìn)而不斷提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

上述列舉的兩個(gè)例題也是我們高中立體幾何中的典型題型，雖然例2的第（2）問(wèn)不在我們2017年江蘇高考卷Ⅰ的要求范圍之內(nèi)，但是跟卷Ⅱ的22題有異曲同工之處.

總之，立體幾何目前為高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的阻礙之一，而空間立體幾何又能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力及思維能力.在立體幾何教學(xué)中，我們運(yùn)用的推理形式是演繹推理，演繹推理就是從一般性的前提出發(fā)，通過(guò)推導(dǎo)即“演繹”，得出具體陳述或個(gè)別結(jié)論的過(guò)程.但在立體幾何的教與學(xué)中，有時(shí)候也會(huì)遇到挫折，最主要的就是幾何較難演繹，容易忽視數(shù)學(xué)邏輯及系統(tǒng)性，從而將數(shù)學(xué)課程演變?yōu)榱艘环N不連通的學(xué)科.初中階段的邏輯推理主要是平面幾何，而高中的立體幾何也是邏輯推理.故一味地講述抽象及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍?，只?huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

針對(duì)此問(wèn)題，就要在學(xué)生具有分步驟寫(xiě)證題的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生周密思考的習(xí)慣，提高學(xué)生的邏輯推理及論證能力，使學(xué)生能夠全面掌握方法，從而尋找解題思路及途徑.另外，要求教師具備好的教學(xué)方法，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率.我們可以通過(guò)三種方式進(jìn)行：其一，創(chuàng)建教學(xué)情境.立體幾何來(lái)源于生活，又高于生活，在教學(xué)課堂中展示與生活息息相關(guān)的幾何模型，能夠有助于學(xué)生的理解，從而使學(xué)生更加容易地掌握知識(shí)；其二，要求學(xué)生自主參與到教學(xué)中，將學(xué)生熟悉的生活情境引入到學(xué)習(xí)內(nèi)容中，使學(xué)生通過(guò)觀察、探究，從而發(fā)現(xiàn)幾何基本概念、原理的方法，以此全面掌握立體幾何知識(shí).

三、結(jié)束語(yǔ)

中學(xué)教育為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)及走入社會(huì)打下良好的基礎(chǔ)，并且培養(yǎng)了學(xué)生的能力.立體幾何教學(xué)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的一部分，是高考的必考內(nèi)容，但立體幾何教學(xué)卻一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，給老師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)都帶來(lái)了很大的困難，因此，對(duì)立體幾何的研究顯得尤為重要.基于此，中學(xué)數(shù)學(xué)的改革就應(yīng)該符合社會(huì)的發(fā)展趨勢(shì)及學(xué)生自身的特點(diǎn)，不應(yīng)該墨守成規(guī)，也不能盲目地添加全新的知識(shí).目前，我國(guó)在此課題中已經(jīng)有了良好的研究成果，相信在今后，教育部門(mén)能夠編制出更加適合我國(guó)高中生及社會(huì)發(fā)展的教材，高中教師也能夠研究出良好的教學(xué)模式.

1.張萍.平面幾何教學(xué)中學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)［J］.課程教材教學(xué)研究：中教研究，2004（5）.

2.周茂生.幾何教學(xué)中學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（下），2005（4）.F